例谈求解多元函数最值问题的三种措施

王咏梅

多元函数最值问题中往往涉及了多个变量，无法直接运用简单基本函数的性质、图象来求得最值，因而此类问题一般较为复杂，需灵活运用基本不等式及其变形式，通过三角换元、数形结合来求得问题的答案.下面结合实例来探讨一下求解多元函数最值问题的三种措施.

一、利用基本不等式及其变形式

基本不等式是指若 a，b > 0 ，则 a + b ≥ 2 ab .在求 解多元函数最值问题时，通常需用到基本不等式及其 变 形 式 ，如 2 1 a + 1 b ≤ ab ≤ a + b 2 ≤ a2 + b 2 2 （a、b > 0）、 a2 + b 2 ≥ 2ab、a + b + c ≥ 3 ab 3 c、 n ∑i = 1 n 1 xi ≤ ∏i = 1 n xi n ≤ ∑i = 1 n xi n ≤ ∑i = 1 n x2 i n n 等.利用基本不等式及其变形式求解多元函 数最值问题需注意几个条件：（1）每个变量是否都为 正数；（2）是否可配凑出几个变量的和或积，并使其中 之一为定值；（3）几个变量相等时等号是否成立.

例1.

解：

目标式中含有三个变量，需先找出变量之间的关系，通过恒等变换减少变量的个数，将目标式放缩为关于 a、b 的函数式；然后根据该式的结构特点，将其变形为几个简单分式的和，并使其中每两个式子的积为定值，即可根据基本不等式 a + b ≥2 求得M的最值.

例2.

解：

对于本题，需运用基本不等式的变形式 a2+ b2≥2ab 以及 a + b + c ≥33 c ，才能顺利求得最值.在多次使用基本不等式及其变形式时，需确保在各个变量相等时，由基本不等式及其变形式得到的每个不等式的等号成立.

二、三角换元

由于多元函数最值问题中的变量较多，所以常常需通过三角换元，将问题中的变量化为关于某个角的三角函数，这样就能将问题转化为单变量函数最值问题来求解.通常可先根据题目中所给的条件，用三角函数 sin α、cos α、tan α替换问题中的变量；然后通过三角恒等变换化简目标函数式，利用三角函数的图象、性质来求得最值.

例3.已知实数 x，y 满足 x2+ y2≤1，求|x2+2xy - y2| 的最大值.

解：

由 x2+y2≤1可联想到同角的三角函数关系式 sin2θ+ cos2θ=1，于是令 x =rcos θ、y =rsin θ ， 且0

例4.已知实数 x，y ∈ R，x2- y2=2，求| 2x +3y | 的最小值.

解：

我們根据已知关系式 x2- y2=2，分别令 x =sec θ、3 y = tan θ 通过三角换元将问题中的双变量 x 、y 用单变量θ表示出来，就能将问题转化为关于θ的三角函数问题，利用辅助角公式以及正余弦函数的有界性进行求解即可.

三、数形结合

运用数形结合法求解多元函数最值问题，需深入挖掘目标函数式中代数式的几何意义，熟悉简单基本函数的解析式和图象，画出相应的图形，即可将问题转化为几何图形问题，通过移动点、直线、曲线的位置，确定取得最值时的临界情形，列出关系式，求得最值.

例5.已知 a＞0，b＞0，+ =3，求 a + b 的最小值.

解：

通过数与形之间的互相转化，将函数最值问题转化为直线 b =-a +t 与函数 b = 图象之间的位置关系问题，即可通过分析直线与函数图象的临界情形：相切，确定 a、b 的取值，进而求得函数的最值.

例6.已知 x，y ∈ R ，则 f（x，y） =（x -y）2+ x + +12的最小值是    .

解：

我们先将目标函数式变形为两式的平方和，即可根据两点间的距离公式，将目标式看作两点（x，x +1） 、y，-之间的距离的平方；然后结合图形，确定直线上的点到双曲线 xy =-1上的点的最短距离，即可解题.

解答多元函数最值问题，关键是研究问题中的变量和目标式，可通过变形目标式，利用基本不等式及其变形式求解；也可通过三角换元，将多变量化为单变量的三角函数问题来求解；还可以通过数形结合，将变量视为动点的坐标，通过研究动点、动直线、动曲线的位置关系，求得最值.同学们在解题时需仔细研究变量之间的关系，明确目标函数式的结构特点，选择与之相应的思路进行求解.

（作者单位：江苏省启东市东南中学）