对一道分式三角函数最值问题的解法的探究

梁馨

分式三角函数比较常见，函数式中往往含有一个、两个，甚至多个不同名称的三角函数式，因而分式三角函数最值问题通常较为复杂，无法直接利用三角函数的单调性和有界性求得最值.此时需运用一些技巧，如运用化一法、换元、借助几何图形的性质等求解.下面结合实例进行探讨.

例题：求函数 f（x） = 的最小值.

解法一：利用化一法

若分式函数式中含有或可化为有关正弦、余弦函数的式子，则可采用化一法求函数的最值.首先令 y =f（x） ，并将其化为整式；然后根据辅助角公式将函数式化为只含有一种三角函数名称的式子，如 y = sin（ωx+φ） 、y = cos（ωx+φ） ；再根据正余弦函数的有界性和单调性来确定三角函数的最值.

解：

运用化一法求分式三角函数的最值，需灵活运用辅 助角公式，以及正余弦函数的有界性和单调性.这就要求 我们熟记辅助角公式 a sin x + b cos x = a2 + b 2 sin（x + φ） = a2 + b 2 cos（x + θ） ，熟練掌握正余弦函数的有界性和 单调性.一般地，若x∈R，则|sinx|≤1，|cosx|≤1.

解法二：利用换元法

换元法是简化复杂函数式的重要方法.对于分式三角函数式，我们可以将分子、分母或频繁出现的式子用一个字母 t 替换，将分式三角函数式化为简单的一元函数，根据一元函数的图象、性质进行求解，即可得到分式三角函数的最值.

解：

令 t = cos x + 3 ，即可将分式函数式化为关于 t 的 一元函数式，根据一元二次函数和 y = x 的性质，快 速求得分式函数的最值.

解法三：借助几何图形的性质

形如 y = c（a）c（s）os x（in x） d（b）的分式三角函数式与直线的斜率公式的结构类似，可将三角函数式看作单位圆上的点（cos x， sin x） 与点 ， 连线的斜率.结合圆的性质以及两点的连线与单位圆的位置关系，寻找直线的斜率取得最值时的情形，即可解题.

解：

将函数式 f（x） =4?cos（si）x（n）x--03） 看作圆上的点（cos x， sin x） 与点（-3，0） 连线的斜率 k 的4倍，即可将问题转化定点（-3，0） 的直线 y = k（x +3） 与单位圆的位置关系问题，利用圆的性质和点到直线的距离公式进行求解即可.

（作者单位：西华师范大学）