带多参数的Bézier曲线扩展及参数几何意义

程黄和　王凤兰

摘 要：提出一类新的带多参数的Bernstein基函数，该类基函数具有与Bernstein基函数相类似的非负性、规范性、对称性和端点性，并定义了一类带多形状参数的Bézier曲线，分析了该类曲线中形状参数的几何意义，通过选取不同的形状参数，对曲线形状的调整可以精确偏向某一确定的控制顶点，使曲线形状的调整更加灵活多变．

关键词：Bézier曲线；调配函数；形状参数

中图分类号：TP 391.41文献标识码：A文章编号：1007-6883（2023）03-0006-07

DOI：10.19986/j.cnki.1007-6883.2023.03.002

Bézier曲线是自由型曲线曲面设计中常用的曲线之一．虽然Bézier曲线具有诸多优点，但也有一些不足．例如：对于Bézier曲线曲面而言，当选定曲线曲面次数以后，其形状便由控制頂点唯一确定，当对曲线的形状不满意时，只能通过调整控制顶点来实现．但有理Bézier曲线［1］和有理B-样条曲线［2］中的权因子以及带形状参数的均匀B样条曲线［3］中的形状参数都具有调整曲线形状的作用．为此，近年来学者们提出了多种带形状参数的Bézier曲线曲面［3-19］．这些曲线曲面有的定义在多项式函数空间上［2-15］，利用多项式思想对Bézier曲线进行拓展，有的定义在非多项式函数空间上［15-20］，利用代数双曲思想对Bézier曲线进行拓展［15-19］，或利用三角多项式思想对Bézier曲线进行拓展［20］．按形状参数的个数划分，有带单形状参数的扩展曲线［2-8］，带双形状参数的扩展曲线［12-14］，带三形状参数的扩展曲线［11］，还有形状参数的个数随着曲线的次数变化而变化的多参数曲线扩展［9-10］．带形状参数的曲线曲面在自由曲线曲面设计中有着广泛的应用［20-21］．

这些曲线曲面的共同点是通过构造含参数的调配函数，然后用调配函数与控制顶点来定义曲线曲面．正是因为调配函数中含有参数，参数值的选取不同，即使不改变控制顶点的情况下，曲线曲面的形状依然可以通过改变形状参数的取值来进行调整．

针对现有带形状参数Bézier曲线曲面中形状参数的几何意义不明确，本文首先分析一类二次扩展Bézier曲线中形状参数的几何意义，然后根据其形状参数的几何意义提出了一类带多参数的Bézier曲线，并分析了各形状参数的几何意义．

1 扩展二次Bézier曲线中形状参数的几何意义

文献［4］中定义了以下带参数的二次Bernstein基函数

即曲线需要偏向控制顶点[Pi]还是偏向控制顶点[Pi-1]，通过调整[ωni（i=1，2，…，n）]的值，对[P2（t）]的形状进行微调，同时带多形状参数的Bézier曲线[P（t）]的形状也会做类似的调整．

图3和图4是具有相同控制顶点[P0（-0.8，0）]，[P1（-0.5，0.8）]，[P2（0.5，0.8）]，[P3（0.8，0）]，和参数 [λ=ω32=0.5]，图4中[ω33=0.5，][ω31]依次取[1，0.8，0.6，0.4，0.2，0]，而图4中[ω31=0.5，][ω33]依次取1，0.8，0.6，0.4，0.2，0的带多形状参数的三次Bézier曲线．比较图3和图4可以看出，随着参数[ωni]取值的改变，带多形状参数的三次Bézier曲线的形状会得到调整，与图2比较发现，形状参数[ωni]取值的改变对曲线形状的调整与形状参数[λ]取值的改变对曲线形状的调整具体不同的效果．形状参数[ωni]取值的改变对曲线形状的调整形状的调整可以偏向某一确定的控制顶点，更加灵活多变．因此通过改变参数[ωni]的取值，可以更好的对曲线形状进行更加精细的微调．

图5是花瓣图形．每片花瓣都是由若干条带多形状参数的三次Bézier曲线构成，其首末端点为坐标原点，中间控制顶点为六边形的边所对应的两个顶点．每片花瓣的形状略有不同．这是因为每片花瓣对应的带多形状参数的三次Bézier曲线中，参数[λ]都依次取0.2，1，1.4，1.8，且每片花瓣参数[λ]的都取相同值，这样确保了每片花瓣的整体形状相同，但每片花瓣对应的参数[ωni]取值不同，花瓣Ⅰ至花瓣Ⅵ，[ωni]的取值为以下[ω]矩阵所对应的行向量，因此每片花瓣的形状可以细微的调整．

5 总结

文章分析了一类扩展二次Bézier曲线中形状参数的几何意义，提出一类带多参数的Bernstein基函数，定义了一种带多形状参数的Bézier曲线，指出了带多形状参数Bézier曲线中形状参数的几何意义，在自由曲线曲面设计时，可以通过调整不同形状参数，更好地对曲线形状进行微调．

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Extension of Bézier Curves with Multiple Parameters and

Geometric Significance of the Parameters

CHENG Huang-he1， WANG Feng-lan2

（1. Department of Public Basic Course Education， Shantou Preschool Education College in Guangdong， Shantou， Guangdong， 515078；2. College of Electronic and Information Engineering， Shantou Polytechnic， Shantou， Guangdong， 515078）

Abstract：In this paper，a new class of Bernstein basis functions with multiple parameters is proposed，which have non-negativity，normality，symmetry and endpoint property similar to Bernstein basis functions. A class of Bézier curves with multiple shape parameters is defined，and the geometric significance of shape parameters in these curves is analyzed. By selecting different shape parameters，the curve shape can be adjusted to precisely favor a certain defined control vertex，making the curve shape adjustment more flexible and variable.

Key words：Bézier curves；blending functions；shape parameters

责任编辑 朱本华

收稿日期：2022-09-01

作者简介：程黄和（1980-），男，安徽安庆人，广东汕头幼儿师范高等专科学校公共基础课教学部讲师．