例析轨迹方程的几种求法

常建伟　常海波

动点的轨迹问题常与直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知識相结合，具有较强的综合性.这类问题的命题形式多变，解题时的计算量大，很容易出现半途而废的情况.对此，同学们在日常学习中，要熟悉并掌握一些常规题型的通性通法，以便在考试时能轻松应对此类问题.本文主要介绍轨迹方程的几种求法：直接法、定义法、相关点法、参数法等.

一、直接法

直接法是根据动点满足的几何条件直接列出等量关系式的方法.常涉及的几何条件有向量关系、线段之间的比例关系、角之间的数量关系、点之间的位置关系.运用直接法求动点的轨迹方程，需根据动点所满足的几何关系，灵活运用点到直线的距离公式、直线的斜率公式、夹角公式等建立关于动点的方程或关系式.

例1.已知点 P（-3， 0），点 A 在 y 轴上，点Q 在 x 轴迹 C 的方程.

解：

二、定义法

若动点的轨迹与直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线相吻合，则可采用定义法，根据直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义建立关系式，从而求得动点的轨迹方程.

例2.如图2，已知两个定圆 O1：（x+2）2+y2=1和 O2：（x-2）2+y2=4的半径分别是1和2，动圆 M 与圆 O1内切，与圆 O2外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.

解：

解答本题的关键是明确三个圆的位置关系：动圆M 与圆 O1内切，与圆 O2外切，据此建立三个圆半径之间的关系：MO2-MO1=3.然后将 O1、O2视为定点， M 视为动点，根据双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线，将 M 的轨迹视为双曲线的左支，进而求得 M 的轨迹方程.

三、参数法

如果动点所满足的条件中涉及了参数，或者在运动的过程中受到某个变量的制约，那么就可以运用参数法，以此变量为参数，建立关于该参数的方程，再设法消去参数，即可得到动点的轨迹方程.在选参数时，要考虑到制约变量的条件对动点坐标的范围的影响.另外，选取的参数不同，解题中的运算量也会不同，需选取合适的参数，以减少运算量.

例3.已知点 A，B 分别是射线 l1：y = xx≥0， l2：y =-xx≥0上的动点，O 为坐标原点，且ΔOAB 的面积为2，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.

解：

因为 M 为 AB的中点，随着 A、B 两动点的运动而运动，因此要求 M 的轨迹方程，需采用参数法，设A、B两点的坐标，根据 AB 满足的几何条件，建立关系式，间接求出M 的轨迹方程.

四、相关点法

若动点随着另一个或多个相关点的运动而运动，且已知相关点的运动轨迹，此时很难直接根据动点所满足的条件列出关系式，需采用相关点法，建立动点与相关点的坐标的关系式，通过代换求得动点的轨迹方程.

运用相关点法解题的步骤为：

1.设出动点的坐标以及相关点的坐标；

2.建立动点与相关点的坐标之间关系，并用动点的坐标表示相关点的坐标；

3.把相关点的坐标代入所满足的条件或方程；

3.消去相关点的坐标，即可得到动点的方程.

例4.

解：

仔细分析题目，不难发现点 C、D、P 与 M 为相关点，而点C、D为抛物线的切点，既满足切线的方程，又满足抛物线的方程，点P在圆上，据此可建立方程，这为运用相关点法解题创造了条件.于是分别设出几个点的坐标，再根据方程消去C、D、P三点的坐标，即可得出点M的轨迹方程.另外，在求动点的轨迹方程后要注意对所求的结果进行检验.

总而言之，求动点的轨迹方程，实质上是将“形” 转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过研究等量关系式、方程来明确动点的轨迹和曲线之间的位置关系.同学们在求动点的轨迹方程时，要注意灵活运用数形结合思想和转化思想来辅助解题.