指向儿童高阶思维发展的数学一致性教学

李 坚 孙红英

【摘要】数学一致性教学立足于儿童高阶思维能力和核心素养的发展，采取整体设计，关联核心概念，沟通内在联系，把握知识本质，挖掘数学思想，实现认知在更高思维层面上的统一。开展一致性教学，可让儿童的认知体系能形成整体化与结构化，可让儿童能深入地理解和把握数学知识的本质与蕴含的数学思想，可以很好地促进儿童高阶思维能力与核心素养的发展。一致性教学与高阶思维能力发展的目标是一致的。数学一致性教学可以围绕“核心概念的统领”、“内在联系的沟通”、“数学思想的凝练”三个维度去开展与实施。

【关键词】一致性教学；高阶思维；核心概念；内在联系；数学思想。

数学教学在实施结构化教学的同时，要让学生在學习中充分感悟与理解学科知识本质的一致性，即立足于儿童高阶思维和核心素养的发展，采取整体设计，关联核心概念，沟通内在联系，把握知识本质，挖掘数学思想，实现认知在更高思维层面上的统一。“一致性”教学就是不同数学知识的学习，都可用同样的公认事实、基本概念、或基本原理与思想方法去解释，让不同知识或知识的各个要素融合成一个和谐的整体。实施一致性教学，可让儿童的认知体系能形成整体化与结构化，可让儿童能深入地理解和把握数学知识的本质与蕴含的数学思想，从而促进儿童思维能力与核心素养的发展，以有效地降低儿童的认知负荷和思维负担。

高阶思维是当前数学教学改革与研究的热点问题。通常认为，高阶思维是一种高层次、高水平的思维形式，是一种发生在较高认知水平层次上的心智活动或较高层次的认知能力。在布鲁姆教育目标的分类中表现为分析、综合和评价三个思维层次。数学是思维的体操，数学核心素养的形成依赖数学思维的发展，数学教学最终都要指向学生数学思维能力的发展，尤其是高阶思维能力的发展。《义务教育数学课程标准（2022版）》在“三会”中明确指出：“会用数学的思维思考现实世界。”郑毓信教授提出：“要在更高观念下指导与开展教学活动，要很好地渗透各种重要的数学思想与方法，包括高层次思维的发展，要超越具体知识和技能，深入到思维层面，用思维分析带动具体知识和技能的学习。”

综上可知，一致性教学与高阶思维发展的目标是一致的，都指向儿童思维能力与核心素养的发展，二者相互促进，相辅相成。践行一致性教学可以较好地促进儿童高阶思维能力的发展，因为一致性教学对应着众多的高阶思维能力要素，如：推理与归纳、关联与拓展、抽象与概括、评价与综合、发散与创新等；儿童高阶思维能力的发展需要抓手，一致性教学为高阶思维能力的落地生根提供了新的途径与视角。

在实际教学中，可以“核心概念的统领”为出发点、以“内在联系的沟通”为着力点、以“数学思想的凝练”为生长点，去开展与实施着眼于整体建构的、指向学科本质和高阶思维发展的一致性教学。

一、统领核心概念，感受内容一致性

马云鹏教授指出：“知识的关联是通过学科的核心概念来实现的。核心概念是打通知识之间关联的钥匙。” 数学核心概念是居于数学知识结构中心具有持久和迁移价值的关键性概念、性质、原理或思想方法等，其是高位、抽象和概括的，体现着数学内容的本质、内在的逻辑结构和思维特征。数学核心概念对理解和掌握相关数学知识不可缺少，其是学生理解数学知识、解决实际问题、感悟数学思想与形成结构化知识体系的关键，是提升思维能力与核心素养的主要抓手，是达到数学内容认知一致性的重要途径。

布鲁纳强调：“一门课程在它的教学过程中，应反复回到这些基本观念，以这些基本观念为基础，直至学生掌握了这些观念相适应的一整套体系为止。”因此，数学一致性教学就应该以体现基本原理的主题核心概念为统领，把一个或几个核心概念始终贯穿于整个学习之中并反复强化与不断运用，使得主题内零散的内容能建立起紧密地关联并形成整体性的结构，以有效地实现知识与方法的吸纳、建构、迁移与应用。

首先，应在概念的透彻理解中明晰出核心概念。

概念的学习特别是有关各种数的概念的学习是数学学习的重要基础。数的概念较多，即使有部分学生在生活中已经有所接触与了解，但这种了解还是比较片面与肤浅的，还达不到准确与透彻地程度，尤其是还未能提炼出有关核心概念从认知的一致性角度去理解和表达数的本质。

数学知识是人类漫长历史发展过程中不断的积淀与创造，是人类智慧的结晶，每个数学知识包括各种数的产生和发展都有其独特的背景与历史，并且人们对数的认识是不断深化和丰富的，数系也是逐步扩展的。因此，对于数的认识的教学，就不能让学生只根据各个数各自所具有的现实背景而简单地去理解其意义，那样学习就缺乏关联性，认知就缺乏整体性，思维水平就达不到高阶，而是需要我们帮助学生能从数的产生背景、数系扩展的内在逻辑和数的计数方法这三个方面去深入地厘清相关数的由来与发展、内在的关联与本质及其附有的文化属性与价值，以在对数的认识的不断深化中逐步地明晰和提炼出核心概念，实现在核心概念的统领下达到对数的认识的“一致性”。

例如，在教学整数时，可让学生理解整数是对生活中的数量的抽象而产生的，并且采用单位和具有位值的十进制方式来计数，可实现“有限”表示“无限”；在教学分数时，可以让学生明白是在等分物体或度量物体时得不到整数个而产生的，需要“细分”单位才能准确地表示数的大小；在教学小数时，可通过安排人民币或长度单位来解决实际的计数或度量问题时，需要用“十分”的方式来“细化”单位才能准确地表示数的大小，且其与整数连结比分数更加自然。这样，实现了用单位的计数和度量对数的产生背景认识的一致性，即它们都是源于对数量或数量关系的抽象，都需用单位来计数和度量，只不过整数是单位的逐渐累加，而分数和小数是单位的逐渐细化。

同时，在教学中要借助数的产生背景帮助学生理清数系扩展的脉络及其之间的联系，即整数是加1的运算，从1开始不断加1，满十进一，以致无穷，可归结为加法的运算。分数无论是“等分除”还是“包含除”得到的数，都是一种“新”数，是为了表示两个数相除商不是整数的情况，可归结为除法的运算。而小数是从1开始的细化，是特殊的分数，是整数十进制体系向相反方向的拓展和延伸，且运算比分数更为方便。这样，学生可从整体上理解了整数、小数和分数之间的内在逻辑关系的一致性，即数系扩展是数的运算的需要。

在此基础上，再运用“计数单位”这个核心概念，从整体上对各种数的计数方式进行一致性的解释，帮助学生真正形成对于数的认识的本质理解。但由于“计数单位”这个核心概念相对较抽象，所以教师应该根据学生的年龄特点和认知规律帮助学生逐步地去明晰和提炼，并需在数的意义学习中初步认识、在数的读写中深化理解、在数的大小比较中强化应用。比如整数认知，在低年级教学20以内整数时，可借助小棒等实物来直观理解数的意义与满十进一，初步了解数位、位值及其单位“个”与“十”，再通过数的读写与大小比较深化对单位的认识。如，从9开始，一个一个的加分别是多少？11表示什么？怎么读？两个1的意思一样吗？11与13谁大？……在教学万以内的整数时，可借助计数器理解数的意义、计数单位和“十进制”计数方式，并在数的读写、大小比较等中凸显计数单位的应用与价值。如，从99开始，一个一个的加分别是多少？从900开始，一百一百的加分别是多少？6345其是由几个千、几个百、几个十和几个一组成的？怎么读？要读出什么和什么？ 6345与6341谁大？……在中年级教学较大的整数时，可借助数位顺序表继续用“计数单位”去帮助学生理解与掌握数的意义、分级、读写、大小比较以及“十进制”计数体系等，理解其计数方式的实质是表示整数计数单位个数的多少，并与低年级的学习形成一致性。如，3个忆、8904个万和5708个一组成的数是多少？怎么读？与89045708相比谁大？……对于分数和小数认知，同样类比整数的教学，让学生理解它们计数方式的实质也都是表示计数单位个数的多少。最后，在总复习时，可借助于直观图形用核心概念“计数单位”来统领整数、分数和小数的计数方式：806345=8×100000+0×10000+6×1000+3×100+4×10+5×1，，0.33=3×0.1+3×0.01……在这样的比较和联系中，学生就能整体地理解它们计数方式的一致性，即都是用“计数单位”的个数来表达数的大小的。

当我们用了研究对象+式的认识方式来逐步深化对数的认识，即从数的产生背景，数系扩展的内在逻辑和数的计数方式这三个维度来理解数的认识之后，就会帮助学生打通数域之间的关联，理清数之间的内在联系，达到对数的意义的全方位的、透彻地本质理解，并认识到核心概念的统领价值，从而能站在更高地思维层面上用“计数单位”帮助学生实现数的认识的一致性。

其次，应在算理的多元表征中概括出核心概念。

运算教学不仅要掌握算法，更要理解算理。离开算理支撑只知道算法，计算就是空中楼阁，学生就会走不稳行不远。没有提炼算法只理解算理，计算就没形成技能，学生就会走不快行不准。并且算理的理解方式不能单一，必须是多元的表征，要从“数”和“形”两方面去把握，才能丰富与深化学生对运算核心概念的本质理解。

虽然小学数的运算内容众多、形式复杂，不仅涉及加减乘除四则运算，以及整数、小数和分数形态，还涉及各种运算律和性质，但是它们还是可用“计数单位”这个核心概念来统领并实现算法提炼与算理理解学习的一致性。因为，数的运算是以数的认识为基础并且与数的认识紧密地融为一体的，同时四则运算之间的联系也是紧密的，它们相互依存并互为可逆。因此，在教学中应避免将各种数的运算割裂开来各说各理，而是应该从其局部和整体这两个方面并借助计数单位来理解运算本质的一致性。

首先，需联系数的认识概括核心概念来理解运算本质的一致性，实现思维从感性具体到理性具体的上升。如，在教学整数、小数和分数的加减法时，可创设具体情境借助竖式和算式结合数的认识运用实物图形表征和言语表征来理解计算过程，并在横式中概括算理、在竖式中提炼算法，即它们都是相同数位对齐或分母相同才能相加减，其一致性的本质就是用相同的计数单位才能做加减；再如，在教学整数、小数和分数乘法时，也可创设具体情境借助实物图形表征和言语符号表征，让学生结合数的计数方式通过比较和观察理解算理，概括出它们的运算过程和结果都是：“（计数单位×计数单位）×（计数单位个数×计数单位个数）”，即“新的计数单位×新的计数单位个数”，如图所示；对于除法，我们可联系除法的两种意义“等分除”与“包含除”，结合多元表征让学生在充分理解算理的基础上概括出算法：“（计数单位÷计数单位）×（计数单位个数÷计数单位个数）”，即“新的计数单位×新的计数单位个数”。如，80÷4=（10÷1）×（8÷4），0.3÷0.02=（0.1÷0.01）×（3÷2），÷=（÷）×（  / × 。虽然数的形态不同，但从运算的局部来看，同一形式的运算其本质是一样的，都能在核心概念“计数单位”的统领下实现运算的一致性。

其次，需利用四則运算之间的联系概括核心概念来理解运算本质的一致性，实现思维从理性具体到理性一般的上升。正整数是加1的结果，可知加法是所有运算的基础，所有运算都可以还原为加法。因此，可利用数轴进行图形表征，知道加法在数轴上就是计数单位向右移动不断累加的结果。减法是加法的逆运算，在数轴上就是计数单位向左移动不断累减的结果。乘法是加法的简便计算，在数轴上就是一群数向右移动不断累加的结果。除法是乘法的逆运算也是减法的简便计算，其在数轴上就是一群数向左移动不断累减的结果。虽然运算的形式有很多，但从运算的整体来看，它们之间是紧密联系的，还是都能在核心概念“计数单位”的统领下实现运算的一致性。

立足于数的运算的局部和整体，通过多元表征，联系数的认识，沟通不同运算之间的关联，建立系统地数学结构，统领核心概念“计数单位”，在算理理解和算法提炼的过程中，以及推理能力尤其是高阶思维能力的提升中，让学生充分感受数的运算的内容一致性，即数的运算都是计数单位的运算。

再次，应在方法的自主迁移中归纳出核心概念。

在新知的学习中，教师应该充分利用学生已有的经验、知识和思想方法来实现学习的自主迁移。在迁移的过程中，要引导学生寻找新旧知识之间的联系，辨别新旧知识之间的区别，归纳出能统领新旧知识的核心概念，实现对新知的深度理解、问题的自主解决和认知的一致性认识。

在学习平面图形的面积推导与立体图形的体积推导时，学生会提出：“为什么在面积推导或体积推导开始，都要先学长方形或长方体，然后再学习其它图形的推导呢？长方形或长方体的面积或体积推导方法与后继探究的图形怎么不一致呢？”学生有这样的疑问和困惑，说明对面积和体积的度量还没有形成一致性的本质认识，还缺少用核心概念去统领认知。因此，在教学时，需用“度量单位”这个核心概念去帮助学生理解与把握，即在教学长方形的面积时或平面图形面积复习与整理时，可引导学生回顾和思考：面积单位是如何定义的？有没有面积单位形状不是正方形的？如何度量一个图形面积的大小？度量长方形具有的面积单位数量容易，还是度量其它平面图形容易？不能直接铺满的图形，其面积公式又该如何推导呢？通过一系列高质量地富有挑战性的问题引领，让学生在比较中明晰、联系中建构、思考中深入，直指图形测量的核心概念“度量单位”，并在“度量单位”的解释下形成对平面图形面积度量认识的一致性。然后在立体图形体积推导的教学时，可以联系与类比平面图形教学，提出：“度量单位能不能不用又方又正的正方体？”这样，让学生在迁移中归纳、联系中思考、追问中提升，思维得到不断进阶，对图形测量的学习形成更为深刻地一致性认识。

二、沟通内在联系，感受结构一致性

《义务教育数学课程标准（2022版）》明确提出“加强课程内容的内在联系，突出课程内容的结构化。”马云鹏教授指出：“内容结构化，有助于更好地理解学科基本原理、有助于实现知识与方法的迁移、有助于准确把握核心概念的进阶。”可见，沟通内在联系，突出内容结构化，有助于教师准确地理解和合理地运用核心概念进行教学，有助于学生将零散的、碎片的知识主动建构为整体化、系统化和逻辑化的知识结构，减少那些毫无价值的、机械重复的学习，实现知识和方法的有效自主迁移以及数学结构的一致性，从而促进高阶思维能力的发展。

因此，在教学中我们要善于引导学生会用联系的、整体的眼光看待问题，善于沟通新旧知识的内在联系，善于建立结构化地认知体系和思维方法，善于达成认知结构的一致性。

首先，运用联系的观点增强结构化的意识。

普遍联系是数学学科的一个重要特征，也是数学能不断焕发生命力的一个重要原因。郑毓信教授指出：“数学基础知识的教学，不应求全、而应求联。”采用联系的观点来学习数学可以很好地把握数学的本质和实现数学内容结构的一致性。因此，在学习中，要采用“联系的观点”进行分析，揭示知识之间的内在关联，运用数学的一些基本原理让学生的认知在更高层面上实现结构的一致性，以使学生发现和推理出更多的、新的规律与结论。

例如，学生在学习中遇到的两个这样问题：“把一个真分数的分子与分母同时增加相同的数，其分数值会如何变化？”、“两车在做相遇运动时，如果其中甲车速度增加，乙车速度不变，则相遇时甲车所行路程与原来相比会有怎样的变化？”当然学生可能会用设具体数的方法求解这两个问题，不难得出分数值以及甲车所行路程的占比会变大的结论。但是，教学不能停留于此，可联系“糖水中加糖糖水变甜即含糖率变大”的道理来说明，会让学生有“豁然开朗”的感觉，发现不同领域的内容可拥有相同的本质与一致性的结构。此外，我们还需要继续关联分数的基本性质来解释其中奥妙，以促进学生的高阶思维能力得到进一步地提升，即当分子分母扩大相同的倍数其分数值是不变的，但当分子扩大的倍数比分母扩大的倍数多时，分数值自然会变大。同时，还可以追问：“生活中还有哪些数学问题也可用这个道理来解释呢？”“一石头激起千层浪”，学生的思维会更加发散，理解会更加深度。用“联系的观点”处理数学知识，可以化抽象为直观、化孤立为联系、化零散为结构、化肤浅为深度、化多样为一致，并让学生在关联中建构，在建构中统一，很好地达成认知结构的一致性。

其次，抓住内在的逻辑建立结构化的体系。

布鲁纳说“一个人越是具有学科结构化的观念，就越能毫不疲乏地完成内容充实和时间较长的学习情节。”喻平教授指出：“对于一个数学概念、命题的理解，不仅要理解它的内涵，明晰它的外延，更重要的是要将其置于一个体系中，厘清它与其他概念之间的关系，形成概念或命题体系”。因此，在教学中，需要从整体上架构学习，把知识嵌入数学结构当中，理清知识体系，探寻知识联系，在循序渐进之中引导学生理解知识的本质内涵，并用核心概念统领学习寻找到知识背后的逻辑意义。

例如，在六年级学习体积单位时，教材上出现1厘米线段、1平方厘米的正方形和1立方厘米的正方体，让学生比较并说说它们的不同点。如果只让学生理解到它们分别是长度、面积和体积的单位这个程度，那么学生的认知水平和思维是低下的。如果我们能从运动、维数和进率这三个视角及其联系进行说明与比较，学生的认知会得到极大地提升，并可实现度量单位在数学结构上的统一。即可先通过动画演示引导学生知道：“点动成线、线动成面、面动成体”，长度对应着一维，面积对应着二维，体积对应着三维。再借助图形或方块引导学生理解：一维长度大小只受一个方向的量决定即左右方向，二维面积大小是受两个方向的量同时决定即左右（长或底）和前后（宽或高）相乘，三维体积大小是受三个方向的量同时决定即左右（长）、前后（宽）和上下（高）相乘，所以一维相邻单位之间进率表现为101，二维相邻单位之间进率表现为102，三维相邻单位之间的进率表现为103。通过大胆想象、巧妙联系、发散思维、深层比较，不仅让学生深入理解了体积单位的本质内涵，又让学生在与长度、面积单位的关联中实现了一次对“度量单位”结构体系的一致性认识。

三、凝练数学思想，感受本質一致性

《义务教育数学课程标准（2022版）》在阐述数学本质时指出：“数学抽象、推理、建模是数学发展所必须的三个最基本的数学思想。”史宁中教授指出：“数学思想是数学产生与发展所必须依赖的，是学习数学的人应该具有的思维特征。”数学思想是数学的灵魂。数学思想凝炼不仅可使学习者的思考深邃、学习深度与思维提升，而且让学习者还能透过表象实现对数学知识本质的一致性理解。

因此，在教学中不仅要让学生掌握具体的数学知识，更为重要的是应当在性质探究、运算律理解以及问题解决中由隐及显地揭示其中所蕴含的数学思想，使孤立、零散的知识能串联起来并形成相互关联的整体，使貌似毫不相同的数学对象产生内在联系并能在数学思想的统摄下在新的层面上获得统一。

1.在性质探究中感悟数学思想

数学性质的掌握和运用是形成数学学科素养的基本要求，其直接决定着学生能否正确地理解数学和运用数学，能否将相关的数学知识在数学性质背后蕴含的数学思想的统领下形成认知的一致性。在小学，需要掌握和运用的数学性质有很多，但它们通常都比较抽象，要想真正理解和掌握它，需要深入性质的本质和揭示其背后所蕴含的数学思想，才能让我们的认知水平、问题解决的本领以及思维能力得到更好地提升。

例如，在学习“能被2、3、5整除的数的特征”时，如果教师只注重让学生去探索、发现和运用性质，忽略性质的验证，即使验证也只是通过安排有限的举例而已，那么学生的思维过程是不严密的，学生对性质的认识和理解也是表面与浅层的，难以达到深度的本质理解，并且对整除性质的认知还没有形成一致性。因此，在实际的教学中，教师要创设一定的探究性活动，让学生明白能被2、3、5整除的数的性质背后的道理及其之间的关联，以及它们蕴含的共同数学本质与思想。所以，在教学中可以借助计数器、小正方体模型或方格图等学具进行表征演示，直观的把整数进行不同形式的拆分，如，3132=3×1000+1×100+3×10+2×1，3132=（3×999+3）+（1×99+1）+（3×9+3）+2×1=（3×999+1×99+3×9）+（3+1+3+2），让学生在数的“分”与“合”之中明白“为什么被2、5整除只看它的个位而被3整除需看各个数位上的数字之和”的道理，直指性质的本质。同时，教学还可继续延伸：“用此方法，能找到被9整除的数的特征吗？以及4与25、8与125呢？……”学生可迁移前面的方法，继续借助学具从数的“分”与“合”的角度进行操作与理解，不难发现相关性质及其与前面性质的关联。最后再通过整理，让学生从整体上去感悟与理解它们都是运用了“数形结合”的数学思想在探寻整除的性质，本质上都是整数的“分”与“合”，是“同余数理论思想”的一种实际应用，实现了数学学习的化归与转换、简化与优化。

这样的教学安排，让学生在数学思想的统领下实现了对数的整除性质认识的本质一致性，同时学生的数学高阶思维能力和核心素养也得到了极大提升。

2.在算律理解中启发数学思想

运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律。运算律是学生探索算法与理解算理的推理基础和依据，在数与运算中处于核心地位。

小学阶段的运算律主要包括：加法结合律与交换律，乘法交换律、结合律和分配律。以往，教师在教学运算律时，通常是让学生在解决问题的过程中得到一些等式，然后组织观察、比较、分析，再概括出相关的运算律，最后运用其去解决运算或实际问题。这是一个具体到抽象、特殊到一般的归纳过程，能很好地发展学生的合情推理能力，但其是一个不完全归纳的过程，学生的认识还不够深入，思维还不够严密，还缺少一个借助其他方式来验证规律、解释规律和说明相关结论的正确性的过程，更为重要的是，学生对运算律中所蕴含的数学思想的感悟还不充分，还未能用数学思想从整体上实现对运算律内容的本质认识和知识体系建构的一致性。

首先，需要从“数”与“形”两个方面来增强学生对运算律的理解。也就是在开始学习运算律时，教师需要引导学生用多元方法解决实际问题，然后从“数”的方面去理解：尽管计算顺序不同，但不同算式通過计算其结果是相等的，又由于它们解决的同一个问题，所以不计算也肯定相等。例如，学习加法结合律时，可设置这样的问题情境：课间操场上有21名男生在跳绳，35名女生在跳绳，还有15名女生在踢毽子。操场上跳绳和踢毽子的学生一共有多少人？学生可能列出算式“（21+35）+15”即先求出跳绳的人数再加上踢毽子的人数。还可能列出算式“21+（35+15）”即先求出女生的人数再加上男生的人数。在此基础上，进行仿写得到更多类似的算式，然后从计算结果和问题解决这两个方面进行验证和说理，初步明确结合律。同时，还要借助几何直观图形从“形”的方面来解释结合律的成立原因。如图，即三角形的周长可列式为 （a+b）+c、a+（b+c）或为（a+c） +b，三个算式都指向三角形的周长，所以计算结果肯定相等，等式也必然成立。这样，让学生经历了从运算律的“数”和“形”两个方面来认识规律、验证规律和解释规律，进一步增强了学生对运算律的本质理解，同时又让学生的思维在数学思想的启发之下更加严密而又富有逻辑。

其次，还要从“变”与“不变”两个方面来深化学生对运算律的理解。也就是在整理和运用运算律时，在充分地回顾五个运算律的推导和验证的基础上，让学生借助下面的图形直观地感悟运算律当中蕴含的“变”与“不变”：变的是顺序与方法，即可以变换方向列出不同的算式去解决问题。不变的是结果与思想，即都可借助几何直观去解释一维线段总长、二维面积总和与三维体积大小都是确定与唯一的。通过这样的教学安排，让学生的学习经历了一个从合情推理到演绎推理的完美之旅，让学生真正理解了运算律的关联和本质，形成了结构化的认知体系，并在数学思想的统领下实现了对运算律本质认识的一致性。

3.在问题解决中揭示数学思想

近些年来，“问题解决”比较盛行，已经成为数学知识领域中的一个重要版块与内容。但教师在“问题解决”的教学中，更多关注的是解决问题的策略形成和方法掌握，较少重视其背后的数学思想的感悟和凝练。从而造成这样一个状况：尽管学生已经具备了足够的数学知识，也已经掌握了一定的解决问题的策略和方法，但却依然不能灵活、有效地去解决实际问题。

郑毓信教授指出：“问题解决不能满足于某些具体结果或结论的获得，而是需要通过实例的考察与解决获得更为深入的理解，即进一步探寻并关联事实背后隐藏的某种普遍理论和数学思想，并能把它们纳入到一个新的、统一的数学结构中，引出更为普遍性的思维方法或模式，从而帮助学生学会‘数学地思维。”因此，在问题解决的教学中，不能只着眼于具体问题的求解，否则就不能打开和发展学生的思维，而是需要我们能从整体出发，站在思维的高度，运用联系的眼光，清楚地帮助学生揭示一些数学结构相近、数学思想相同的问题所包含的共性，从而实现问题解决内容学习的一致性。

例如，在六年级学习“假设替换”内容时，不能只满足于“假设”策略的形成和“替换”方法的掌握，即只满足于“把两个或多个未知数转化成一个未知数得以解决问题”的方法掌握。还需将“假设替换”与“假设调整”、“假设消去”以及方程等解决问题的方法与结构进行比较，以帮助学生在横向结构上获得一致性认识，即虽然它们解决问题的具体的方法不一样，但运用的策略都是一致的，都是“假设”。同时，我们还要进一步地将“假设问题”与“和差问题”、“和倍问题”、“差倍问题”、“盈亏问题”等类型的问题进行比较，以帮助学生在纵向结构上获得一致性认识，即虽然它们问题的结构与类型不一样，但本质上都运用了“化歸”的数学思想把两个或多个未知数转化成一个未知数。这样，学生的学习就会在横向结构和纵向结构上同时得到延伸和发展，它们相互支撑、相互补充，学生的认知会更加深入富有逻辑性，知识体系会更加系统富有统一性，思维层次更加上位富有高阶性。

以具体的假设策略为立足点，将问题解决内容的教学从横向结构和纵向结构上发散出去，揭示各个相关内容学习的共同本质以及它们背后蕴藏的数学思想，从而达到数学学习的“一般化”与“问题解决”教学的一致性。

综上，实施一致性教学是学生深入理解知识本质、建立知识之间的联系、以及感悟数学思想的重要抓手，是发展学生高阶思维能力和核心素养的重要途径。一致性是一种意识，需要在实践中不断增强；一致性是一种能力，需要在过程中不断培养；一致性是一种思维，需要在学习中不断强化；一致性是一种素养，需要在教学中不断落实。一致性教学是教学改革的方向，对于指向儿童高阶思维发展的一致性教学的具体实施原则和方法，还需要进一步讨论和研究。

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责任编辑：陈国庆