小学数学结构化学习课时作业设计策略研究

毛文波

摘要：结构化学习作业设计要以素养培养为目标。以“整十数、整百数乘一位数口算和估算”为例，探索小学数学结构化学习课时作业设计的有效策略：理清知识结构，设计基础性作业；构建思维层级，设计进阶性作业；打破学科壁垒，设计创新性作业。

关键词：小学数学结构化学习；课时作业设计；策略

“素养导向”是2022版课程标准提出的重要教学理念，作为新课程标准视域下的作业设计也应体现这一理念。作业是“教、学、评”整体实施的重要一环，贯穿于学生学习的始终。课时作业是作业的一种类别，不同于课前前置作业的学情侦察、课堂作业对学习内容的理解探究、单元作业的阶段评价等其它类型，它是一课时学习后知识的巩固、技能的形成、思维的提升和情感的培育等“三维”目标有效落实的重要载体。现实中数学课时作业一般只强化知识掌握与技能大动量的训练（这也是“减负”要减的内容），弱化数学思考与情感态度价值观的培养，不利于“核心素养与关键能力”的落实。如何设计出符合“素养导向”的结构化学习课时作业，学生通过作业既能看到“树木”，也能走进“森林”，促进素养有效发展？下面结合“整十数、整百数乘一位数口算和估算”，谈谈基于单元视角下的结构化学习课时作业设计的策略。

一、理清知识结构，设计基础性作业

知识是一切能力的基础，没有知识的理解与掌握，也就无所谓素养的发展，所以一定要重视基础知识的学习。单元视域下的课时基础性作业设计，首先要理清所学知识的整体结构，建立课时学习内容的坐标（如图1）。这个坐标基于领域内的知识，以课时学习内容为原点，横坐标上要找到跨单元相关联的学习单元内容，纵坐标上要找到此课时直接相关的已学内容和单元内密切相关的学习内容，还要找到后续与本课时学习内容密切联系的可迁移的内容。建好了坐标，也就找到了各知识点之间的联系，形成了知识网，这样在设计作业时，就明白本课时知识内容的前世后身。其次要找准课时内容的知识结构的核心。知识结构，即知识的系统。知识结构的核心即在知识系统中处于最基础、最重要的知识，具有一定的稳定性和基础性。例如，代数知识结构的核心是“运算律”。[1]数的运算是小学数学学习的重要内容，属于“数与代数”领域，口算、估算、笔算俗称“三算”，它们之间的关系密切联系（如图2）。口算是基础，估算是口算的直接应用，笔算是口算、估算的应用，如除法试商就应用估算。除此，最重要的是这三种计算有着内在的相同点，或者说是核心的知识是相同的，那就是隐藏于算法后加法和乘法的五条运算律。运算律既是计算的核心，也是学生学习的重心，它是数学的“理”，即计算中的算理，只有基于算理理解基础上的算法学习才是“概念性理解”。[2]基于知识结构的厘清，“整十数、整百数乘一位数口算和估算”这课时的基础性作业目标、作业设计与说明如下：

【作业目标】

1.学生在现实问题情境中理解整十数、整百数乘一位数的意义及算理，能应用表内乘法口诀正确口算整十数、整百数乘一位数；

2.学生在真实问题情境中根据数据的特征和问题的现实背景，能正确地估算乘数是两位数、三位数乘一位数，体会到估算结果与正确结果相比多（或少）的关系。

【作业设计】

1.开学前，美术张老师买了4盒水彩笔，每盒20支。一共买了多少支？

列式：20×4=（       ）（支）

怎样口算出结果呢？把口算的过程填完整：

2.张老师买了3张高铁票，每张198元，估一估，张老师大约花了多少元？

想：估算时先把198看成（   ），再算（     ）×（     ）＝（     ）。

【设计说明】

计算教学中，在理解算理的基础上形成的技能才更巩固，这是中国数学教育的优良传统，马立平教授在她的博士论文中曾专门作过论述。数的运算是数与代数领域的内容，代数的本质结构就是运算律。整十数、整百數乘一位数口算的算理是把“整十数、整百数”先根据计数单位想成“几个十”或“几个百”乘一位数，这样就转化为表内乘法。这里的本质是运用乘法的交换律或结合律，口算算理如20×4=2×10×4=2×4×10=8×10=80或20×4=10×（2×4）=10×8=80。算法的生成是基于算理的理解，更多的体现思维的跳跃性，是一种程序性思维，更多的展现了运算的技术或称方法。这里口算的技术就是“先把0前面的数相乘，再看乘数末尾有几个0，就在乘得的积后添写几个0”。这又与后面学习乘数末尾有0的乘法笔算是相通的。估算是口算的应用，同时这里还包含近似数的概念，学习中要凸显近似数的核心，同时也要考虑学生的认知水平与已有知识基础，因此，要以“最接近”这个概念，也就是近似数的内涵，即“最接近一个标准数”，这里的“标准数”就是整十数、整百数。当然，这课还涉及积的近似值，但不能将此概念显性化，只能在计算中感悟，多积累经验，为后续学习作铺垫。对积的近似值的学习不能只追求绝对化的极值，要考虑具体情境，也就是在一定的语境下，常规的“四舍五入法”求极值的方法可能会失效，教材练习中就有这个的例子（苏教版数学三年级上册练习一第11题）。但一定要体现“近似”，学生的理解就是“大约”、“大概”等即可。

通过以上分析，可以看出，第1题学业评价体现在三个方面，一是评价学生对整十数、整百数乘一位数乘法意义的理解，这是基础，是学生学习的生长点，即能否联系旧知，使知识发生正向迁移；方法二评价学生算理的理解，这是重点；方法三评价学生算法的掌握情况，重在形成技能。第2题评价学生在实际问题情境中乘法估算方法的理解与掌握。

二、构建思维层级，设计进阶性作业

通过数学学习到底能给学生带来怎样的变化？这是每位数学教育工作者始终要思考的一个哲学问题。郑毓信先生提出“我们应始终牢记这样一点：数学教育的基本目标是帮助学生学会思维”。[3]也就是他一直主张的“通过数学帮助学生学会思维”。抛开各种分类标准的思维类型，不管哪一种类的思维都是“渗透于各种具体的数学活动之中”。活动中，既包括基础知识与基本技能的学习，也包括真实问题的解决。如何将思维培养与数学学习紧密有机结合起来，郑先生给出了两条建议：一是“将思维方法的分析渗透于具体数学知识内容教学中”，二是“深入揭示隐藏在具体数学知识内容背后的思维方法”。[4]先生的建议对数学作业设计以有益的启发：学生做作业的过程就是培养学生思维的过程，不同质量的作业影响学生的思维发展层次，设计的作业要体现培养学生不同类型的思维，通过做作业，要引导学生不断的观察与思考隐藏在知识背后的数学规律。一言蔽之，就是要设计进阶性作业，形成思维的进阶层级。

如何设计进阶性作业？除了深入分析教材与学情，特别重要的是把握课标的要求，也就是通过这一内容的学习，要达成什么样的核心素养，重点评价核心素养中的哪些内容。另外，还要了解此学习内容的“内容要求”、“学业评价”与“教学提示”的相关要求，努力使设计出的作业评价内容与核心素养相匹配，这样，“教、学、评”的一致性与整体性就更适切了。通过查阅课标，“整十数、整百数乘一位数口算和估算”这课时作业重点目标要评价学生“数感”“运算能力”和“推理意识”素养的达成。[5]

基于思维的层级与学业评价的课程标准要求，“整十数、整百数乘一位数口算和估算”这课时的进阶性作业目标、作业设计与说明如下：

【作业目标】

3.学生经历整十数、整百数乘一位数的口算和两位数、三位数乘一位数的估算过程，培养学生的数感、运算能力和推理意识。

【作业内容】

3.根据7×8=56，直接写出下面各式的结果。

70×8=       7×80=      700×8=

根据7×8=56，你还能口算哪些乘法算式？请写出这些算式和结果。

（                            ）。

4.中秋节快到了，妈妈到超市里打算买8盒月饼送给长辈，如果从下面2款月饼中选择一种，400元够买哪款？估一估，写出理由。

5.在○里填上>、<或=。

40×8○80×4   500×8○7×600    48×7○7×52

6.小明估算一个两位数乘5，结果如下。请在方框里填出这个数。

··×5≈400

【设计说明】

培养数感主要表现在“能够在真实情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序；能在简单的真实情境中进行合理估算，作出合理判断；能初步体会并表达事物蕴含的简单数量规律。”[6]本课时数感培养主要表现在两个方面，一是数的意义，二是估算的合理性。数的意义主要表现在近似数，如在数的估算过程中要把两位数、三位数想成与它相邻的整十数、整百数，通常情况下是想成“最接近”的那一个。估算的合理性主要体现在能根据问题的实际情况作出解释，培养学生的推理能力。运算能力的培养，本课时重点表现在能够明晰两、三位数乘一位数的“运算意义”，“理解算法与算理之间的关系”；“能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题”；“能够通过运算促进数学推理能力的发展”。[7]推理作为一种基本数学思想，贯穿于数学学习始终，小学阶段主要是推理意识的培养。本课推理意识的培养主要表现在“能够通过简单的归纳”，“猜想或发现一些初步的结论”；通过乘法口算方法运用，体验数学从一般到特殊的思维过程；“对自己及他人的问题解决过程给出合理解释”。[8]

“数感”“运算能力”和“推理意识”素养这三个方面的评价在本课时作业设计中具体表现在：第3题评价学生数感和推理意识，学生要明白几十（或百）乘一位数，得到的结果就是多少个十（或百），也就是利用计数单位进行计算。在学生运用乘法口诀进行口算的基础上，由此类推一类数的口算，可以迁移到整千、整万等，这样就实现了“能够通過运算促进数学推理能力的发展”的课程目标。第4题评价学生的数感、运算能力、推理意识和应用意识，培养估算能力和推理意识是重点。学生首先要根据乘法的意义建立乘法模型，再运用估算方法算出结果，并比较。前两步则体现了估算能力的培养，比较并作出选择就是推理意识的培养，设计“我是这样想的”，促进学生数学表达要有理有据，有逻辑。第5题具有一定的综合性，结合了运算与大小比较。评价要点有：口算与估算能力，数感。数感表现在运算结果的大小比较。第6题评价学生推理意识，这是一道逆向思维题，把乘法估算题倒过来设计，体现思维的可逆性、发散性，答案的开放性，渗透推理思想。

三、打破学科壁垒，设计创新性作业

2022年版课程标准明确提出“跨学科主题学习活动”，目的是“加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求”，[9]“跨”，就是要打破长期单一学科课程学习的壁垒。“跨”，是手段，“旨在培养学生综合运用多门学科知识解决复杂真实性问题的能力”[10]。跨学科学习是“综合与实践”的主要内容，根据学生年龄特征，第一、二、三学段主要是采用主题式学习，第四学段采用项目式学习。“第二学段的主题活动涉及综合性、实践性较强的跨学科内容”，在自行设计主题活动的内容时，“要指向综合数学知识、融合其他学科知识的实际情境和真实问题，设计具有操作性的活动。”[11]跨学科主题学习内容的遴选，首先要基于学生的年龄特征，其次要关注学生的生活经验与认知水平，第三还要考虑现实的学习条件。三年级学生的认知世界是以感性直观为主，常常以自己的喜好及以经历的经验为出发点，这样才能更好地激起学习的兴趣。一项技能的形成，常常要通过一定量的练习，如何做到量的适宜，这既是科学问题，也是机智问题。如果学生乐此不疲，即使练习的量再大，也能乐在其中。所以要赋予练习游戏性与趣味性，让学生在玩中学，在玩中创。

【作业目标】

4.学生在玩扑克牌游戏中，体会到数学的乐趣；在设计玩法中，培养学生的创新意识、交流能力，树立学好数学的自信心。

【作业内容】

7.玩扑克。

扑克牌是大家喜闻乐见地一种娱乐益智工具。扑克牌最早诞生于中国，由唐代天文学家张遂发明，最初称作“叶子戏”。元朝时由马可·波罗把它传播到了欧洲，经过发展，逐渐为世人喜爱。

（1）上网查一查扑克牌的更多知识，和同学交流你的收获。

（2）我们小学生也可以玩一玩，还能在玩中学呢！下面介绍两种玩法：

两人玩：把A、2、3……9这些点数的36张牌放一摞[luò]，再取自制卡片一张（如“×30”、“×600”整十、整百的卡片若干张）。两人依次翻牌（或由一人翻牌），同时口算，算得快且正确的即得到所翻的那张牌，牌翻完后，得到牌张数多的人获胜。获胜者，可以决定下一轮选哪张自制的卡片继续玩（也可以轮流确定选哪张自制的卡片）。

（3）联系数学学习内容，创造一种新玩法，把这种方法写下来，再和同学交流。

【设计说明】

作业如何避免枯燥乏味的单一形式？这是我们每一位教师必须要思考并做出回答的重要问题。长期以来，计算能力的形成常常采用简单化的大运动量的机械重复作业，这显然是与当下素养导向相背离。如何克服？本课作了一点尝试。第8题以数学为主，融入语文、历史、体育、信息技术几个学科，体现了游戏性、操作性、合作性、开放性、长程性、创造性等特点，既能达到口算技能的形成，又能培养学生学好数学的进取心和好胜心；既能收获同伴间的友谊，又能培养学生创造精神；既能收获丰富的人文知识，又能激发学生爱国情感。具体每一部分学科指向与评价目标如下表：

“玩扑克”游戏经过实践，收到意想不到的效果。一是“扑克牌”是学生熟知的娱乐工具。经调查本校三年级两个班的学生，发现有91%的学生“认识扑克牌”，有69%的学生“玩过扑克牌”，经常玩的游戏有“算24”“小猫钓鱼”“十点半”等。二是学生兴趣高。布置此作业的第二天，经访谈，玩的学生都兴趣高昂，有的一次就玩了半小时，玩了还想玩。家长对此作业反馈也很好（图3），部分家长也乐意参与了进来。

下面再根据比格斯SOLO分类理论对“整十数、整百数乘一位数口算和估算”这一课时的作业作总体分析与说明。SOLO分类理论根据学习结果将学生思维分为五个层次，三年级学生的学习多数处于单点结构和多点结构，少数处于关联结构和前结构。[12]据此理论并结合新课标对核心素养的要求，下面从作业评价结果结构（SOLO层次）、核心素养及学业表现情况作进一步的简要梳理，具体如下表：

素养导向单元视角下的结构化学习课时作业设计，是基于课程的视角，以目标达成为导向，选择学习内容，并使之结构化、层级化，实施教学及评价。只有基于课程视角，才能落实素养目标。素养导向单元视角下的结构化学习课时作业设计，才能解决“缺乏统一设计”“缺乏个性化”的问题，实现“从设计到实施一体化”的需求。[13]通过对知识结构的梳理，能准确定位学习核心，瞄准素养，围绕三维目标整体设计作业。除了上述策略，课时作业还要处理好与课堂作业、单元作业之间的关系，把握各自的特点与功能，课时作业要特别重视螺旋上升；要注意作业量的控制，内容与形式的动与静结合，学生的个性能力差异等。

参考文献

[1]布鲁纳.教育过程［M］.北京：文化教育出版社，1982：28.

[2]马立平.小学数学的掌握与教学［M］.上海：华东师范大学出版社，2017.

[3] [4]郑毓信.新数学教育哲学［M］.上海：华东师范大学出版社，2015：389，170.

[5] [6] [7] [8] [9] [11]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：21，7，8，11，4，49.

[10]张玉华.核心素养视域下跨学科学习的内涵认识与实践路径[J].上海教育科研，2022（05）：57-63

[12]约翰B·比格斯，凯文 F·科利斯.学习质量评价——solo分類理论[M].北京：人民教育出版社，2010：27-28.

[13]王月芬.重构作业——课程视域下的单元作业[M].北京：教育科学出版社，2021：89.

作者简介：

毛文波，男，中学高级教师，研究方向是小学教育。江苏省“教科研先进个人”，市“小学数学学科带头人”，特级后备，南京市金陵小学教科室主任。先后在《中小学教师培训》、《教学与管理》、《江苏教育》、《江苏教育研究》、《中小学数学》、《小学教学》、《小学教学设计》等期刊上发表教学论文三十余篇，有3篇被人大复印资料《小学数学教与学》全文转载，多次在江苏省“教海探航”“师陶杯”征文大赛中获奖。

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