超空泡鱼雷双雷齐射命中概率解析方法

谢 超,周景军,万亚民,宋书龙,王梦豪

(中国船舶集团有限公司 第705 研究所,陕西 西安,710077)

0 引言

俄罗斯研制的“暴风雪”鱼雷是世界上第1 枚超空泡鱼雷[1],其直径534.4 mm,长8.2 m,重2.7 t,以攻击水面目标为主要任务。该雷前端装配有椭圆形空化器,可在航行中产生圆截面空泡。空化器后方装配导流碗,可通入不溶于水的燃气,以辅助空泡的产生、发展和稳定。超空泡鱼雷攻击过程中的航行状态主要包括全沾湿、局部空化和超空化3 个阶段。在超空化阶段,雷体基本包裹在空泡内,极大地降低了航行阻力,使航速高达200 kn。

超空泡鱼雷受限于航行中极大的自噪声、弱机动性以及集成声呐基阵困难等问题,无法装配自导系统,目前仍以直航攻击为主要手段[2]。由于在攻击过程中缺乏修正信息,因此超空泡鱼雷的命中概率更多地受到诸如探测误差、航行误差等因素的影响,使其单雷射击无法应对复杂任务。

双雷平行航向齐射是直航鱼雷提高命中概率的有效手段,在目标散布误差较大的情况下,可以通过提高单次射击的攻击覆盖范围来提高命中概率[3-7]。双雷齐射要求鱼雷具备2 次转角的能力,对于超空泡鱼雷来说,其全沾湿段与常规直航鱼雷相同,可完成2 次转角及中间的散开航程,进入末程直航弹道后,再转入超空泡状态高速攻击目标。目前对于双雷齐射的研究仍聚焦于齐射模型的建立,以及散角和齐射间隔等参数的优化。文献[3]分析了直航鱼雷齐射命中间隔的影响因素;文献[4]讨论了尾流自导鱼雷捕获概率随双雷间隔的变化规律;文献[5]讨论了遮盖目标散布的最小齐射雷数。

对于双雷齐射命中概率的研究相对缺乏,工程上主要采用统计算法,即模拟上万次射击形成命中样本,将样本均值作为命中概率的一次估计。统计算法优势在于计算过程简单,但其精度依赖于样本容量,所以计算量较大[8-9]。同时单雷射击命中概率的研究大多将鱼雷运动投影到目标运动方向上,只考虑该方向上的命中情况,而忽略目标宽度的影响,这样计算得到的命中概率不符合实际,易误导攻击决策[10-13]。

针对以上问题,文中展开相应研究。首先建立了超空泡鱼雷双雷平行航向齐射模型,并根据命中方程将齐射两雷的转角射击等效为直进射击,提出了命中条件,即鱼雷末弹道相对目标的速度方向与等效初始方位角相同。然后建立了命中概率解析算法模型,以脱靶量作为命中指标,通过协方差转换法获得脱靶量的分布规律,再基于目标舰艇的水线面形状获得可命中的脱靶量范围,以此来计算命中概率。之后利用统计方法展开对比试验,结果验证了解析方法的正确性。同时对比了双雷齐射与单雷直进射击的命中概率,明确了双雷齐射对命中概率的提升所发挥的优势。最后分析了各误差源的灵敏度,提出提高鱼雷航向控制精度和方位探测精度是提升命中概率的有效途径。

1 双雷齐射数学模型

为简化分析过程,文中不考虑鱼雷由发射管到散开航程的1 次转角,认为攻击一开始鱼雷就以一定散角发射。

根据图1,超空泡鱼雷平行航向齐射的一般流程为: 攻击平台根据探测所得信息(如目标当前距离D、方位角 β、航速VM和航向CM等),解算出齐射中线提前角 φ,然后以相对齐射中线的散角 α先后发射2 条鱼雷。齐射两雷先以沾湿状态下的低航速航行预定的散开航程l,然后进行1 次转角将航向调整到齐射中线方向上,此时与齐射中线存在间隔dl、dr,最终在末程直航弹道中以超空泡状态航行直至命中目标。

图1 双雷同时发射示意图Fig.1 Diagram of simultaneous salvo of two torpedoes

对射击过程中的各变量作如下规定:

1) 只考虑水平面内攻击过程,以攻击平台当前位置为原点,正北方向为X轴,正东方向为Y轴建立地面坐标系,并以X轴为参考方向,角度顺时针为正;

2) 齐射中线方向为由攻击平台初始位置指向期望命中点,且右侧鱼雷散角为正,左侧鱼雷散角为负;

3) 1 次转角角速度方向与散角方向相反,即若散角为正,则1 次转角角速度为负,散角为负,1 次转角角速度为正;

4) 鱼雷回转半径的方向与1 次转角角速度的方向相同;

5) 鱼雷到齐射中线的有向距离称为齐射间隔,左侧鱼雷齐射间隔为负,右侧鱼雷齐射间隔为正。

1.1 齐射中线

齐射中线与鱼雷直进射击弹道相同,文中使齐射中线瞄准目标船中点,并利用齐射两雷末弹道航速,即超空泡状态下的高航速,来计算齐射中线提前角。

根据图1 在齐射中线、平台探测的目标轨迹和初始方位线构成的相遇三角形中,运用正弦定理可得

式中:VT1为鱼雷空泡状态下航速;η为初始目标舷角,是以目标为参考来描述攻击平台初始位置的角度。

鱼雷航速为标称值,目标航速为探测值,其中初始目标舷角可由初始方位角 β和目标航向CM获得,即

式中,arg(·)为复数在区间[-π,π)上的幅角主值。则齐射两雷的发射航向为

值得注意的是,式(1)～(3)是无误差条件下齐射两雷航向的计算过程,在实际攻击中需考虑探测误差时,目标的航速和航向应代入探测值VD和CD。

1.2 齐射间隔

齐射间隔可分为航行间隔和所需间隔。具体而言,航行间隔是根据鱼雷弹道参数计算得到的末弹道相对齐射中线的偏移,而所需间隔则是根据目标命中点计算鱼雷攻击中应具备的齐射间隔。

航行间隔为

式中:l为散开航程;R为鱼雷回转半径。需要注意,上式考虑了散角 α、回转半径R的方向。

对于直航鱼雷来说,鱼雷齐射提高命中概率的本质是,通过增加在目标有效命中范围内单次打击的命中点数量,来保证至少1 条鱼雷命中目标。针对不同任务需求,选取命中点的位置不同,进而导致需要的齐射间隔不同,只有当航行间隔和所需间隔相等时,才可实现双雷平行航向齐射。一般将目标水线面的几何长度作为有效命中范围,所以命中点位置选取的边界是目标舰艏和舰艉。

若以目标船中点作为原点,船艏方向为Xs轴,右舷方向为Ys轴建立目标坐标系,Xaim为命中点横坐标,那么根据文献[3],所需间隔为

令航行间隔和所需间隔相等,可以得到关于散开航程、齐射散角和命中点位置的方程,即

1.3 发射时间间隔

双雷齐射的目的是提升单次打击的命中概率,那么齐射两雷应尽量保证同时到达目标航线轨迹上,也就是要求末程直航弹道两雷的距离矢量平行于目标航线。若齐射两雷同时发射,那么末弹道的距离矢量始终垂直于齐射中线,所以要根据态势条件来设定齐射两雷的发射时间间隔,以期两雷同时命中目标。

如图2 所示,初始目标舷角η ＞90°的情况。若两雷同时发射,当左侧鱼雷Tl命中目标时,右侧鱼雷尚在B点,要使两雷同时命中,则右侧鱼雷Tr需要提前发射,提前发射的时间应为从点B航行到点C的时间。

图2 发射时间间隔示意图Fig.2 Salvo time interval

根据式(4)可求得两雷分别到齐射中线的距离、,那么齐射两雷末弹道间隔为drdl

在△ABC中应用正弦定理可求得BC的长度,那么两雷发射时间间隔为

若将第1 条鱼雷发射时刻定义为发射0 时刻,那么齐射两雷的发射时刻为

1.4 鱼雷命中方程

双雷齐射实际由2 个转角射击的鱼雷组成,对于单个鱼雷来说,其t时刻在末程直航弹道的坐标为

命中点t时刻的坐标为

那么鱼雷命中目标就意味着xT(t)=xM(t),yT(t)=yM(t),联立式(10)和(11)可得

当鱼雷与目标的实际航行参数满足上述关系时,鱼雷可以命中目标。

1.5 等效射击模式

若将鱼雷末程弹道反向延长至一等效起点,使得鱼雷从等效起点出发和从实际起点出发到进入末程弹道的时间相同,那么鱼雷的转角射击即可等效为直进射击,如图3 所示。

图3 鱼雷一次转角射击等效直进射击示意图Fig.3 Diagram of transform from one-time turning shoot to straight-forward shooting

观察式(12),以 Δx为例,等式右边第1 项为散开航程的投影;第2 项为1 次转角弧长的投影;第3 项为在低速航行齐射散开和1 次转角所用的时间内,鱼雷以高航速行驶的航程的投影;第4 项为瞄准点的投影;第5 项为初始距离的投影。那么Δx实则为T′M′在参考方向X上的投影距离,同样Δy为T′M′垂直于X方向的投影距离。那么存在如下关系

式中: βe为T′M′与参考方向X的夹角,即等效起点下,目标的等效初始方位角。

同理有

式中,θ为鱼雷末程弹道与目标的相对速度Vr的方向。

根据式(12)可得

所以鱼雷命中目标的条件是: 鱼雷末弹道相对目标的速度方向与等效初始方位角相同。

2 命中概率解析计算模型

对于一个连续性随机变量X,若已知其概率密度函数fX(x),那么X在区间[a,b]上的概率为

所以计算命中概率需要解决以下问题: 首先确定1个可描述鱼雷命中目标这一事件的随机变量;然后明确该随机变量所服从的分布规律;最后获得鱼雷命中目标时该随机变量所处的区间。

2.1 鱼雷脱靶量

鱼雷脱靶量是指,鱼雷在攻击过程中距离理论命中点的最短距离。对于非触发引信鱼雷来说,鱼雷命中目标就意味着某时刻的雷目距离在一限定范围内,所以脱靶量可以作为命中事件的量化指标。

对于直进射击鱼雷来说,其攻击流程如图4 所示。图中:T M为视线;q为视线角,初值为初始目标方位角 β;r为雷目相对距离,初值为初始雷目距离D。

图4 鱼雷直进射击示意图Fig.4 Diagram of torpedo straight-forward shooting

根据上图可建立雷目相对距离、视线角的微分方程

求解该方程可得鱼雷脱靶量为[14]

根据1.5 节,可将齐射两雷的转角射击等效为直进射击,那么两雷的脱靶量即为

式中,De为等效初始距离,根据式(12)可得

定义脱靶量方向为: 当鱼雷相对瞄准点的轨迹在目标右舷或艏向方向时,脱靶量为正;反之为负。

等效初始距离也可由相遇三角形的相似关系求得,以图5 态势关系为例。M为目标船中初始位置,T为攻击平台位置,B为齐射中线左侧雷发射时船中位置,T′为左侧雷等效起始位置,C为左侧雷命中点,D为中线命中点。其中MB=VMDt,AB=-Xaim。

图5 等效初始距离示意图Fig.5 Diagram of equivalent initial distance

若定义命中角为目标航向与鱼雷末弹道航迹的夹角,则根据几何关系可知,命中角为

上式表示命中角γ是初始目标舷角 η的函数,该函数在[0,π]内为单调函数,考虑到齐射两雷与齐射中线具有相同的命中角,那么齐射两雷等效后直进射击的相遇三角形与齐射中线的相遇三角形相似,即△T′AC～△TMD。

所以等效初始距离为

2.2 协方差转换

对于武器系统而言,误差由系统误差和随机误差组成。系统误差通常由于设计和装配精度产生,是确定的量或满足确定的函数规律;而随机误差是由众多影响微小且相互独立的随机因素造成的,不可预测或消除。系统误差对结果的影响一般可以通过诸如引入修正系数等方式减小乃至消除,文中对该类误差不作考虑。而随机误差由于其不确定性,在武器效能评估中十分重要。根据中心极限定律,随机误差近似服从0 均值的正态分布,所以可以用方差来量化随机误差[15]。

根据前文叙述的双雷齐射攻击流程,需要考虑的误差源包括对目标方位和航速航向的探测误差、鱼雷的发射航向误差、鱼雷和目标实际行进过程中的航速航向误差。这些误差源的方差大小可通过探测设备的指标参数或者利用实航试验获得。

计算命中概率需要确定上述误差会造成多大的鱼雷脱靶量误差,即脱靶量的方差大小。若假设随机变量X=(x1,x2,···,xn)T,其理论真值为X0,另一随机变量Y=(y1,y2,···,yn)T,二者存在如下函数关系

其中

那么Y的误差为

对式(25)在X0处泰勒展开,有

由于误差为小量,则忽略2阶及以上的项,可近似得到线性关系

其中

为简化表述,下文中的微分算子 ∇均特指在真值处的梯度,角标“0”均表示物理量真值。

则Y的协方差为

若已知各项误差源与鱼雷脱靶量的函数关系,则可通过上述方法获得脱靶量的方差值。

2.3 脱靶量方差

由式(19)可得脱靶量方差为[16]

由上式可知,脱靶量方差只需已知 θ 和 βe的协方差矩阵即可求得。

根据式(12)～(14),θ、βe是关于雷目航速航向、展开航程l、散角 α、初始雷目距离D、初始目标方位角 β以及瞄准点Xaim的函数,现分别讨论。

1) 目标航速VM和航向CM误差

目标实际航速航向相互独立,其协方差矩阵为

2) 鱼雷航速VT和航向CT误差

鱼雷航向误差由两部分构成,一是由目标方位角 β,、航速VM和航向CM的探测值,结合式(3)计算出鱼雷的理论发射航向误差;二是实际发射中诸如发射管偏差等因素引起的航向误差。假设上述条件探测值相互独立,则其协方差矩阵为

那么鱼雷实际航速航向协方差矩阵为

3) 散开航程l及转角α

考虑到鱼雷在实际航行过程中,通过惯导系统检测航程和转角,则实际展开航程和转角应只受鱼雷航速误差影响,即

由式(3)计算的鱼雷理论发射航向中,散角应为标称值 α0。

4) 初始距离D及方位角β

在实际攻击过程中,初始距离和方位角不随攻击平台的探测误差而变化,应取理论真值,即式(12)中,D=D0、β=β0,这样得到的命中概率是客观的。

5) 瞄准点Xaim

双雷齐射的理论散开航程和散角是攻击前的预设值,由式(6)可得当前条次的理论瞄准点。

综上,根据式(13)和(14),可得相对速度方向θ、等效初始目标方位角 βe的协方差矩阵为

将式(35)代入式(30),可得脱靶量方差。

2.4 目标命中范围

目标命中区域通常取目标的水线面区域,通过预设的鱼雷散角和散开航程,结合式(6)求得理论命中点,在鱼雷相对理论命中点的数条轨迹中,只有与水线面区域相交的轨迹才对应鱼雷命中目标,其中相切轨迹则对应命中范围的边界。鱼雷脱靶量实际是理论命中点到鱼雷相对理论命中点轨迹的距离,那么相切轨迹对应的脱靶量即为可命中的脱靶量范围边界。如图6 所示,l1、l2为相切轨迹;r1、r2为对应的可命中脱靶量范围边界。图7 为一般舰艇水线面。

图6 鱼雷命中范围示意图Fig.6 Diagram of a torpedo hitting range

图7 舰船水线面示意图Fig.7 Diagram of ship water plane

若已知各站处水线半宽值,可求得目标坐标系下鱼雷初始位置到各半宽点处的直线方程为

式中,sign(·)为取符号函数,并且规定sign(0)=1。则可命中的脱靶量范围边界为

若已知水线半宽的解析形式f,那么只需求得在目标坐标系下鱼雷初始位置到曲线段f、-f的切线,再根据式(37)和式(38)即可计算可命中的脱靶量范围。

2.5 命中概率

双雷齐射由2 次转角射击组成,根据上述方法求得单雷的命中概率为

1 次双雷射击的命中概率即为至少1 条雷命中的概率,即

3 命中概率统计计算模型

利用统计算法进行对比验证,其计算流程如下。

1) 确定输入变量: 初始雷目距离D0;初始目标舷角 β0;目标航速目标航向目标水线面半宽值f;鱼雷沾湿段航速鱼雷超空泡段航速鱼雷散开航程l0;鱼雷散角 α0;鱼雷旋回角速度 ω0;各误差标准差大小;单次仿真次数N=104;不命中次数n=0。

2) 攻击平台探测值

4) 目标实际航速航向、两雷实际航速航向

5) 计算鱼雷旋回半径

6) 计算实际散开航程和转角

7) 认为两雷在攻击过程中均能完成1 次转角,根据式(10),计算t时刻鱼雷在末弹道的位置坐标。

8) 计算t时刻目标船中在地面坐标系的位置坐标

9) 计算t时刻在目标坐标系下雷目相对位置

式中,Sx、Hx为目标坐标系下目标船艏、船艉的横坐标。若各条鱼雷不存在上述时刻,则令n=n+1。

11) 返回步骤2),直到试验次数达到N,计算命中概率

4 仿真试验

参数设置如表1 所示。目标水线半宽值见表2。

表1 仿真参数列表Table 1 Simulation parameters

表2 水线半宽值Table 2 Half-breadth of waterlines

4.1 命中概率结果

根据式(6)可通过预设散角和散开航程求得理论命中点,由于考虑目标的横向宽度,所以当理论命中点在船长范围外且距离船艏和船艉较近位置处,鱼雷也可能命中目标,但此时命中范围很小,不宜开展双雷齐射,所以仿真试验仅考虑初始目标舷角在[10°,170°]范围内的命中结果。

命中概率随初始雷目距离、初始目标舷角变化的直角坐标系图和极坐标系图如图8、9 所示。

图8 命中概率随初始距离和目标舷角变化曲线Fig.8 Curves of hitting probability with initial distance and target board angle

图9 极坐标系下命中概率Fig.9 Hitting probabilities in a polar coordinate system

直观可见,解析方法和统计方法得到的命中概率结果变化趋势一致,数值吻合。

超空泡鱼雷双雷平行航向齐射命中概率有如下特点:

1) 随初始距离增大而减小。初始雷目距离是主要影响因素,在同一误差水平下,距离越远意味着命中时间越长,导致误差的累积量越多,使得鱼雷和目标的相对散布越分散,进而命中概率降低。

2) 除 0°、180°舷角及附近区域处,命中概率随初始目标舷角增大而降低。0°、180°舷角及附近区域对应的命中范围是以目标宽度为主尺度的,所以范围较小,导致概率很低,不宜开展攻击。而随着初始目标舷角的增大,鱼雷攻击态势由迎击逐渐变为追击,追击态势意味着更长的命中时间,所以大舷角命中概率相对较低。

4.2 解析法与统计法概率偏差

对结果中解析解Pa与统计解Ps作下列运算,以得到二者的相对偏差

偏差范围及占比见表3。由表中可知,概率偏差小于2%的态势数占比99.69%,验证了解析方法的正确性。

表3 解析法与统计法偏差Table 3 Deviation between analysis method and statisicaltical method

4.3 单雷直进射击与双雷齐射命中概率对比

仅考虑直进射击中单雷始终以200 kn 航速攻击目标,在同一误差水平下,初始雷目距离在3 km与7 km 处的命中概率如图10 所示。可以看出,双雷齐射可有效提高命中概率,且在远距离处提升更明显。

图10 双雷齐射与直进射击命中概率对比曲线Fig.10 Comparison of hitting probability curves between torpedoes salvo and straight-forward shooting

4.4 误差灵敏度分析

由式(30)可知,等效初始雷目距离是各误差源的公因子,且式(22)表明等效初始雷目距离是初始雷目距离与1 个周期函数的和,所以不同初始目标舷角下,各误差源的灵敏度受初始距离影响不同。但随着初始雷目距离的增大,等效距离中的周期项占比减少,此时初始雷目距离对于各误差源灵敏度的影响随舷角变化不大。

将各误差源分别设置为单位值,如1°、1 kn,计算不同初始目标舷角下鱼雷脱靶量大小来表示误差源灵敏度,图11、图12 分别为初始雷目距离100 m、3 km 时的各误差源灵敏度。综合来看,由于等效距离中初始距离项和周期项占比不同,所以某些误差源灵敏度随舷角变化的趋势在不同距离时表现并不一致,如目标航向误差和初始目标方位角探测误差。而由于攻击平台一般均为远距离攻击,所以图12 所示灵敏度更符合实际。

图11 初始雷目距离100 m 时误差灵敏度Fig.11 Sensitivity of errors of initial distance between torpedo and target at 100 m

图12 初始雷目距离3 km 时误差灵敏度Fig.12 Sensitivity of errors of initial distance between torpedo and target at 3 km

图12 中,目标航向探测误差和目标航向误差、目标航速探测误差和目标航速误差的灵敏度基本一致,这是由于等效距离中的初始距离项占比较大,所以此时单雷的转角射击基本与直进射击相同。而在直进射击中,由于目标航行误差导致没有命中,等价于目标航向无误差而由于攻击方探测误差导致没有命中。所以在直进射击中,一般将目标的航行误差与攻击平台探测误差相结合,形成条件探测误差。

由图12 可知,各误差源对影响命中概率程度由高到低依次为: 鱼雷航向、初始目标方位角探测误差＞目标航速、目标航速探测误差＞鱼雷2 级航速误差＞目标航线、目标航向探测误差＞鱼雷1 级航速误差。所以提高鱼雷的航向控制精度以及对目标方位的探测精度,对提升命中概率有着显著意义。

5 结束语

文中以超空泡鱼雷为研究背景,建立了双雷平行航向齐射模型,并将齐射两雷的转角射击等效为直进射击,明确了鱼雷命中条件,即鱼雷末弹道相对目标速度方向与等效初始目标方位角相同。同时考虑了探测误差、发射误差和航行误差,结合目标水线面形状建立了双雷齐射命中概率模型,并与传统统计方法进行对比,验证了模型的正确性。最后分析了双雷齐射的命中概率特点、相对单雷射击的概率提升以及各误差源的灵敏度,明确提高鱼雷航向控制和方位探测精度是有效提升命中概率的途径之一。

解析算法相较于统计法,所需运算量更小且计算得到的概率曲线更光滑,同时能充分反映误差源的影响程度,进一步提升了平台的战场决策能力,并可为武器的性能优化提供参考。

鱼雷的理论瞄准点对命中概率影响较大,一般认为目标船中部是命中效果较好的瞄准位置。对于双雷齐射而言,齐射两雷的理论瞄准点是关于散角、散开航程以及齐射中线瞄准点的函数,其中涉及的对命中概率的优化内容是后续的研究方向。