核电厂管道振动评价方法及限值分析

周正平

(江苏核电有限公司，江苏 连云港 222000)

管道的强烈振动属于非常危险的现象，国内外在役电厂已发生多起因管道剧烈振动导致管道开裂或管道上附属设备(电动阀)失效的情况。对于旋转机械设备的振动测试和评价，国内外都已形成比较成熟的测试方法和判定标准，其成果较多，使用比较统一、规范。而对于管道系统的振动测试和评价，国内外研究较少，相关的标准不多，相对于旋转机械设备振动标准，管道振动评价比较复杂，没有单一明确的振动限值，其需要根据振动应力以及材料的疲劳强度进行综合计算。

对于管道振动评价标准规范，目前使用相对广泛的是美国机械工程协会的ASME-OM Part3《Vibration Testing of Piping Systems》(管道系统振动测试)[1]，该规范规定了压水堆核电厂运行过程中管道系统的振动测试要求和评价方法。参照ASME OM规范，国内不同单位牵头制定了相关行业的管道振动标准，并给出了振动筛选值用于管道振动状态的初步评价[2-4]。这些规范中虽然给出了振动限值的计算公式，但如果对管道振动限值的详细来源不清楚，会误用标准规范中的相关公式，从而影响管道振动状态的判定。

1 管道振动的评价方法

1.1 梁的振动微分方程

当细长杆作垂直于轴线方向振动时，其主要变形形式为梁的弯曲变形，通常称为横向或弯曲振动，其物理模型如图1所示。

图1 梁横向振动的物理模型Fig.1 The physical model of transverse vibration of beam

其中，ρ(x)为单位体积梁的质量；A(x)为梁的横截面积；L为梁的长度；EJ(x)为梁的弯曲刚度，E为弹性模量，J(x)为横截面对中性轴的惯性矩；f(x，t)为单位长度梁上分布的外力；y(x，t)为梁的横向位移。

考虑梁在主平面内的平面弯曲振动，取微段dx，则其受力分析如图2所示。

图2 梁微段受力分析模型Fig.2 The stress analysis model of beam micro-segment

由垂直y方向的平衡方程可得：

即

(1)

以右截面上任一点为矩心，由力矩平衡可得：

略去dx的二次项，上式可简化为：

(2)

由材料力学的等截面假设，弯矩和挠度有如下关系式：

(3)

由式(1)～式(3)可得到梁横向振动的偏微分方程如下：

(4)

该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数，求解该方程，需要4个边界条件和2个初始条件。

若f(x，t)=0，单位体积质量ρ(x)=ρ=常数，横截面积A(x)=A=常数，惯性矩J(x)=J=常数，则均质等截面梁横向自由振动的偏微分方程如下：

(5)

对以上偏微分方程，可利用分离变量法求解，令：

y(x，t)=Y(x)F(t)

代入式(5)可得：

(7)

对于波动方程式(6)，其通解为简谐函数如下：

F(t)=asinωt+bconωt=csin(ωt+φ)

(8)

式中a和b为积分常数，由两个初始条件确定。

(9)

该方程是一个四阶常系数线性常微分方程，其通解为：

Y(x)=C1sinβx+C2cosβx+C3shβx+C4chβx

(10)

以上为均质等截面梁横向振动的振型函数通解，其中C1、C2、C3、C4为积分常数，可以用4个边界条件来确定4个常数的相对比值和频率特征方程，从而确定梁横向振动的固有频率ω和振型函数Y(x)。

由波动方程的通解式(8)和振型函数通解式(10)，可得到等截面均质梁的横向振动一般表达式如下：

y(x，t)=Y(x)F(t)=(D1sinβx+D2cosβx+D3shβx+D4chβx)sin(ωt+φ)

(11)

式中有D1、D2、D3、D4、ω和φ共6个待定常数。因为梁每个端点有2个边界条件，共有4个边界条件，加上2个振动初始条件，可以确定这6个未知数。

1.2 两端固定梁横向振动的振型函数

常见的边界条件包括固定端、铰支端和自由端。对于固定端，其位移和转角等于零；对于铰支端，其位移和弯矩等于零；对于自由端，其弯矩和剪力等于零。

以下以两端为固定端梁为例，讨论均质等截面梁横向振动的固有频率和振型函数。对于固定端，其位移和转角等于零，即：

以上边界条件代入振型函数通解式(10)式，可得到：

以及

若上式对C3和C4有非零解，它的系数行列式必须为零，即：

简化后得到频率特征方程：

cosβLchβL=1

(12)

该方程为超越方程，应用数值解法求得这一频率特征方程的前5阶特征根值见表1。

表1 两端固定梁的前5阶特征根值Table 1 The first 5-order eigenvalues of fixed beams at both ends

对于两端固定梁，根据其边界条件，其振型函数通解式(10)可简化为：

Y(x)=chβx-cosβx+γ(shβx-sinβx)

(13)

根据βL的取值不同，得到两端固定梁的前三阶振型函数Y(x)曲线如图3所示。

图3 两端固定梁横向振动的前三阶振型曲线Fig.3 The first three-order mode shapes of the transverse vibration of the fixed beam

1.3 管道横向振动的固有频率

式中，λ=(βL)2，称为频率因子。

对于一般管道，回转半径k的表达式为(单位为m)：

式中，D为管道的外径，m；d为管道的内径，m。

对于半径大于50.8 mm的管道，k≈0.34D。对于钢材料管道，取E=207×109Pa，ρ=7 800 kg/m3，则其横向振动的固有频率为：

(14)

以上为直管道横向振动固有频率的一般表达式，其和管道外径D和频率因子λ成正比，和管道长度L的平方成反比。

1.4 管道横向振动产生的应力

梁横向振动时导致的应力和弯矩M相关，由材料力学可知，在弯矩M作用下梁截面的最外表面处应力最大，其应力S为(单位为Pa)：

(15)

式中，M为弯矩，N·m；D为梁外径，m；J为梁横截面惯性矩，m4。

由式(3)可知弯矩和梁的横向位移有关，不考虑时间变量，则：

(16)

将上式代入式(15)得到：

(17)

而由振型函数通解式(10)可知：

(18)

将λ=(βL)2和式(18)代入式(17)可得管道振动应力：

(19)

可见，振动应力S为x的函数，也即梁不同位置处其振动应力不同，一般仅关心梁上的最大应力|S|max和最大位移|Y|max，其两者比值为：

(20)

上式为梁横向振动位移和应力的一般表达式，其与梁外径D、变形应力因子Kd成正比，而与梁长度L的平方成反比。需要注意的是，某一振型的变形最大位置和应力最大位置不一定相同，另外，对于各阶振型存在各阶变形应力因子Kd。

对于两端固定梁，根据其边界条件，由式(13)可将振动应力式(19)简化为：

(21)

由式(21)可得到两端固定梁横向振动应力S(x)前三阶分布曲线如图4所示。

图4 两端固定梁横向振动的前三阶应力分布曲线Fig.4 The first three-order stress distribution curve of transverse vibration of the fixed beam

对振动位移Y(x)和应力S(x)求极值可得位移、应力的最大值。对于两端固定梁，对式(13)和式(21)求极值，得到其一阶振型上0.5L处位移最大，而两侧(O或L处)应力最大，最大位移和应力分别为：

同样，对于两端固定梁，其二阶振型上0.709 6L处位移最大，而L处应力最大，最大位移和应力分别为：

1.5 管道横向振动的振动速度

上节得到了梁横向振动位移和应力的一般关系式，对于核电厂现场管道，一般测量其振动速度，采用振动速度值对其进行评价。下面进一步分析管道振动速度和应力的关系。

振动位移y(x，t)对时间t一次求导可得到振动速度，则对梁固有振动一般表达式(12)求导可得：

V(x，t)=y′(x，t)=ω×y(x，t)=2πf×y(x，t)=V(x)×F(t)

(22)

其中，V(x)=2πf×Y(x)，则：

(23)

式中，KV为速度应力因子。

将振动频率f由式(15)代入式(23)可得：

(24)

以上为梁横向振动速度和应力的一般表达式，其仅和变形应力因子Kd、频率因子λ有关，和梁的长度、外径无关。

2 管道振动速度限值的确定

对于两端固定直管道横向一阶振型，根据式(23)可知其振动速度和应力的关系式如下：

由上式可计算得到理想情况下两端固定直管道的振动限值。根据ASME BPVC-Ⅲ规范[5]，对于碳钢管道和不锈钢管道，其1011次循环对应的交变应力分别为48 MPa和94 MPa，则对应的振动限值分别为643 mm/s和1 260 mm/s。

对于实际管道，需要考虑应力集中系数和其他折减因子，包括集中质量(阀门)修正、介质和保温层重量修正、管道端部约束条件和布置修正(非直管道、非两端固定约束等)以及模态振型修正(非一阶振型)。根据ASME OM规范，修正后的管道振动限值公式为：

(25)

式中，c1——补偿可能存在集中质量对特征管道影响的修正系数；

c2k2——ASME规范中定义的应力系数，对大多数管道系数c2k2≤4；

c3——考虑管道流体质量和保温层材料质量影响的修正系数；

c2——ASME定义的二次应力系数；

k2——ASME定义的局部应力系数；

c4——考虑管道端部约束条件不是固定端和几何形状不是直管段的修正系数；

c5——考虑管道响应优势频率不同于管道第一阶固有频率时的修正系数；

Sel——ASME BPVC-Ⅲ规范中图I-9.1、 I-9.2对应1011次循环的交变应力。

另外，以上振动限值适用于管道的横向振动，若管道存在高频的壳壁振动，则以上公式不适用。

3 结论

对于管道振动限值的确定，没有单一明确的振动限值，需要根据其管道布置、振动响应频率以及其他折减系数进行确定。以上对两端固定直管道的振动限值进行了详细分析，给出了前两阶振型振动的振动速度应力因子(其倒数即为振动速度-应力转换系数)，其他边界约束的直管道可参照以上计算过程得到不同的振动速度应力因子，汇总结果见表2。

表2 不同管道边界约束的速度应力因子列表Table 2 The list of velocity-stress factors for different piping boundary constraints

ASME OM规范给出了具体的管道振动限值计算公式，不同的边界约束条件可通过相应系数进行折算。根据以上分析结果可知，该ASME OM公式仅适用于管道的横向振动，在实际应用该公式过程中需要加以注意。