神奇的莫比乌斯

文|邓亚红

【教学内容】

北师大版六年级下册第54、55 页。

【教学过程】

一、情境导入，认识莫比乌斯带

1.教学片断——制作实验，认识莫比乌斯带。

师：这是一张长方形纸条，一只蚂蚁在纸条的正面，在它的反面有一点面包屑。猜一猜，蚂蚁能爬过去吃到面包屑吗？注意，蚂蚁不能爬过纸条的边缘，也不能撕毁长方形纸条。

生：我觉得蚂蚁爬不过去，因为有边缘挡住了。

生：我觉得蚂蚁爬不过去，除非把纸条撕断。

生：我觉得在纸条的中间穿一个洞蚂蚁可以爬过去。

生：我想也许可以爬过去，我们可以用一张纸条尝试一下。

师：刚才有位同学提供了一个非常好的思路，我们可以试一试，看看会不会有奇迹发生。请同学们在自己的操作纸上模拟实验一下，要使蚂蚁能爬过去吃到面包屑，你有什么好办法呢？

生：我把这张长方形纸条两端首尾相连粘贴成一个纸环，蚂蚁还是不能爬过去。

师：请你模拟一下蚂蚁怎么爬的？

生：请看这里，蚂蚁到边缘就过不去了，因为蚂蚁在纸环的一面，面包屑在纸环的另一面。

师：有实验成功的吗？

生：我发现蚂蚁真的能爬过去。我先把长方形纸条扭转了180°，然后再两端首尾相连粘贴成一个纸环。

师：你来证明给大家看。

生：大家跟着我的手指看，蚂蚁从这里出发，沿着纸环一直走，能走到面包屑这里。

师：蚂蚁真的爬过去了！还有谁能用不同的方法来证明呢？

生：为了让大家看得清楚一点，我用彩笔描了一下蚂蚁爬行的路线，彩笔从蚂蚁出发，沿着纸环一直往下画，就可以到达面包屑的位置。蚂蚁真的可以不跨越边线就能吃到面包屑了。

师：请你来教教大家怎么做到的。

生：先把长方形纸条的一端扭转180°，再把纸条的两端首尾相连粘贴起来。

（学生互相学习，动手实验证明，并把实验的过程说给同桌听）

【设计意图：通过情境导入，充分激发学生探究的兴趣，让学生在猜测中产生解决问题的需要——怎样改变长方形纸条的形状，才能让蚂蚁爬过去吃到面包屑？学生通过制作莫比乌斯带，模拟蚂蚁爬行实验，积累了丰富的活动体验，感受莫比乌斯带的神奇和数学的无穷魅力。】

2.教学片断——对比实验，探究莫比乌斯带的特征。

师：刚才你们把长方形纸条扭转180°做成的纸环，就是数学上说的莫比乌斯带。

师：同样是把长方形纸条做成纸环，为什么第一个纸环（普通纸环）上的蚂蚁吃不到面包屑，第二个纸环（莫比乌斯带）上的蚂蚁能吃到面包屑？这两种纸环有什么区别？大家用眼睛看一看，用手摸一摸，或者用彩笔描一描对比研究一下。

生：我用手摸了摸，发现普通纸环有两个面，一个是里面一个是外面，还有两条边。

生：普通纸环粘贴后，长方形的正面与正面相接，反面与反面相接。但莫比乌斯带粘贴后，正面与反面相接连成一个面了。

生：我用手指滑过莫比乌斯带，手指经过纸环的每一部分又回到起点。所以我发现莫比乌斯带只有一个面，而且这个面是一个弯曲的面。

师：这样弯曲的面叫做曲面，每个同学都试着用手指滑过莫比乌斯带的曲面，体会一下是不是只有一个曲面。

生：我用彩笔给莫比乌斯带的曲面描色，从蚂蚁开始描起，描过纸环的每一个部分，最后又回到了蚂蚁这个起点。我发现莫比乌斯带的曲面是首尾相连的。

生：我发现莫比乌斯带的边也具备这样的特征，无论从哪个点开始，用彩笔沿着纸环的边线描一圈，线条不会中断，描过所有的边线后又回到了这个起点。所以莫比乌斯带只有一条边线。

追问：如果给小蚂蚁换个位置，它还能吃到面包屑吗？

生：可以，因为这个纸环只有一个曲面，无论小蚂蚁放在哪里，都能爬到这个曲面的任何一个点上。

小结：普通纸环是双侧曲面，有2 个面，2 条边线；莫比乌斯带是单侧曲面，只有1 个面，1 条边线，而且都首尾相连。

【设计意图：通过对比实验，让学生在看一看、摸一摸、画一画的实验操作中，运用不同的策略、从不用的角度探究普通纸环和莫比乌斯带的区别，充分感受莫比乌斯环带单侧曲面的神奇之处，培养学生用数学的眼光观察莫比乌斯带的特征。】

二、剪环实验，探究莫比乌斯带等分特征

1.教学片断———等分纸环，深入了解莫比乌斯带的特征。

师：把一个莫比乌斯带从中间画一条线等分成两份。如果沿着它的二等分线剪开，会是什么图形呢？先猜一猜。

生：可能是两个普通圆环。

生：可能是两个一样大小的莫比乌斯带。

生：也有可能是一个大纸环。

师：我们一起来剪一剪，验证一下。

师：我们已经沿着莫比乌斯带的中线剪到这（快要剪完），停下来仔细看一看、摸一摸，想象一下完全剪开后会是什么图形呢？

生：两个莫比乌斯带。

生：两个普通圆环。

生：一个普通圆环。

生：一个莫比乌斯带。

师：与上次相比，有了不一样的猜测。请同学们继续慢慢地沿着二等分线剪，一边剪一边思考，剪开后最终是什么图形？剪完后，再看一看、摸一摸、描一描，验证一下。

（学生慢慢剪开，仔细观察，充分想象，小心求证）

【设计意图：当快要剪完时停下来，再次引导学生进行二次猜测，意在让学生体验数学实验的科学严谨，通过数学实验培养学生的观察能力、推理能力，发展空间想象和数学思维能力，加深学生对莫比乌斯带特征的理解。】

师：剪开后是什么图形呢？你是怎么验证的？

生：剪开后不是平均分成两个环，而是一个大环。

生：我用彩笔描一描，发现它出现了2 个侧面。好神奇啊！

生：沿着二等分线剪开，边线没有剪断，但变长了，变成了原来的两倍长。所以成了一个大环。

生：我用笔描了一下，发现这个大环有2 条边线，所以它不是莫比乌斯带。

师：很有价值的思考，他们从面和边线的角度进行解释和判断，发现剪开后不是莫比乌斯带。

生：沿着二等分线剪开后是一个大环，但它不是莫比乌斯带，因为它出现了2 个这样的扭转。

师：在制作莫比乌斯带时，我们是把纸条的一端扭转了1 次。这里纸条扭转2 次后，为什么就不是莫比乌斯带呢？

生：扭转1 次，就是把长方形纸条的一端扭转了180°，正面与反面连接起来成了一个面，就成了莫比乌斯带。扭转2 次，相当于纸条的一端扭转了360°，纸条是正面与正面连接、反面与反面连接，这样就与常见的普通圆环一样有2 个侧面，2 条边。

小结：刚才同学们将一个莫比乌斯带二等分后剪开，发现它不是一个大莫比乌斯带。在刚才的学习过程中，我们先大胆猜测，再合理进行实验操作，在操作中不断观察、不断思考，最后证明自己的猜测是否正确。用这种严谨、科学的实验态度来研究数学知识，是我们学习中非常重要的一个方法。

【设计意图：这个环节放慢节奏，让学生在数学实验中完整地经历观察、猜测、实验、求证的数学“再发现”的全过程，探究二等分莫比乌斯带的特征，形成科学严谨的探究态度，培养有条理的分析、推理能力，发展数学思维。】

2.教学片断——小组合作，实验感悟莫比乌斯带等分规律。

师：刚才同学们沿着二等分线剪开感受了莫比乌斯带的神奇，如果沿着它的三等分线、四等分线剪开，又会是什么呢？

（学生小组合作，自由猜想，实验探究，交流方法）

生：沿三等分线剪开后是1个大环套1 个小环。大环不是莫比乌斯带，小环是莫比乌斯带。

生：沿三等分线剪开，相当于是一次二等分后的大环加一个与原来一样的小环，所以小环是莫比乌斯带。

生：沿四等分剪开，相当于进行了两次二等分，所以得到2 个大环。

生：沿四等分线剪开后是2个套在一起不能互相分离的大环，但都不是莫比乌斯带。

生：我发现了一个规律，如果继续沿着五等分线剪开，应该是先剪出1 个二等分后的大环，剩余的三等分再剪出1 个二等分后的大环和一个与原来一样大小的莫比乌斯带。

生：以此类推，是不是可以理解为沿着六等分线剪开，就是3个二等分后的大环，都不是莫比乌斯带。

生：按照大家的思路继续想，是不是有这样的规律，沿着偶数等分线剪开，得到都是大环，都不是莫比乌斯带；沿着奇数等分线剪开，得到的是若干个大环和1个小环，大环不是莫比乌斯带小环才是莫比乌斯带。

生：而且这些环都是套在一起的，永远不能分离。

师：同学们真的善于观察、善于思考，通过三等分、四等分剪，并大胆类推出五等分、六等分剪开后的规律，太了不起了。是不是真的有这样的规律呢，我们一起来看看一段验证视频吧。

【设计意图：学生通过丰富的剪环实验，在观察、猜测、验证的过程中积累了充分的活动体验，掌握莫比乌斯带三等分、四等分剪开后的特征，并借助这些直观感受，类推出莫比乌斯带等分剪开后的规律。通过数学实验，将抽象的数学知识变得可看可摸，直观形象。】

师：在日常生活中，也有一些是利用莫比乌斯带原理设计的物体和现象，如过山车的轨道等。莫比乌斯带除了今天课内同学们发现的这些特征和规律，课后还可以继续研究，如果把长方形纸条往不同的方向扭转，得到的纸环一样吗？扭转180°、360°、540°……分别得到什么纸环呢？期待同学们更多精彩的发现。