鲁棒性观测矩阵优化设计及其在机械故障诊断中的应用

林慧斌 陈伟良

摘要 在机械设备故障诊断系统中应用压缩感知（CS）可以有效缓解故障诊断系统数据的传输和存储压力。将观测矩阵的优化设计方法引入机械设备故障诊断系统中。结合机械信号信噪比（SNR）较低的特点，在分析不同观测矩阵优化框架抗噪性能的基础上，得出适用于机械信号的鲁棒性观测矩阵优化框架。基于该优化框架，推导出一种比现有求解方法计算复杂度更低的解析解，提高了优化观测矩阵的求解速度。数值仿真和实验结果表明，所提方法得到的优化观测矩阵具有良好的鲁棒性和更高的计算效率，相比现有的优化观测矩阵和常用的随机矩阵，所提方法可以在更低的信噪比和压缩比下有效地重构机械故障信号。

关键词 故障诊断; 轴承; 压缩感知; 观测矩阵优化设计; 鲁棒性

引 言

旋转机械的振动信号蕴含着丰富的设备运行信息，对关键部件的运行状态进行在线监测可防患未然，避免灾难性事故发生。传统方法基于香农采样定理对机械设备振动信号进行采样，但实时更新的运行状态数据会导致数据量呈几何级数增长，这给数据传输和存储带来很大的压力，不利于对机械部件的运行状态进行实时监测和诊断。近年来出现的压缩感知理论［1?4］基于信号的稀疏先验知识，可以在不丢失有用信息的情况下从远低于Nyquist采样率的采样信号中重构原始信号，为有效缓解信号的远程传输与储存负担提供了新的理论。

目前已有一些学者对压缩感知在机械设备故障诊断中的应用进行了研究，如文献［5］建立叶端定时测量的压缩感知模型，并采用多重信号分类算法进行求解，实现旋转叶片振动的在线测量；文献［6］提出采用独立成分分析对压缩后的信号进行处理，并基于统计独立性对信号进行分离和转换，实现多源故障信号的特征提取；文献［7］研究了压缩感知方法在多级风扇周向声模态识别和幅值重构中的应用，并且探讨了传声器数量与周向布局对感知效果的影响；文献［8］提出了多重压缩匹配追踪方法，成功提取了齿轮箱噪声信号中的故障脉冲分量。

虽然学者对压缩感知在机械故障诊断中的应用做了许多的研究，但从现有的文献［5?8］中可以发现，目前的研究内容都集中在稀疏字典和重构算法方面，而压缩过程中使用的几乎都是高斯随机矩阵、伯努利矩阵等非优化观测矩阵，但实际上通过对观测矩阵进行优化能使得压缩感知系统工作在更低的采样率下，或是在相同的采样率下达到更高的重构精度，这对于机械设备的实时监测和故障诊断具有重大意义。在观测矩阵的优化设计方面，已有一些研究成果，Elad［9］提出了一种以减小平均互相关系数为目的的阈值收缩方法，优化后的观测矩阵在信号重构精度上优于随机生成的测量矩阵。Duarte等［10］提出一种联合设计并优化非参数字典和观测矩阵的框架，应用于图像的压缩感知。Abolghasemi等［11?12］在Elad的算法的基础上引入梯度下降算法和自适应梯度下降算法，通过快速迭代求解出测量矩阵。Xu等［13］以等角紧框架（ETF）为目标，通过基于QR因子分解的方法令等效字典逼近ETF。

此外，一般情况下，信号在字典上很难达到绝对稀疏，因此学者们开始在观测矩阵的优化设计过程中考虑其鲁棒性。Li等［14］提出了一种同时考虑等效字典的互相干性和稀疏表示误差的优化框架，并用解析法求解测量矩阵。Hong等［15］提出了一种通过交替优化对观测矩阵进行设计的算法，该方法在含有稀疏表示誤差的对象上表现出良好的鲁棒性。Hong等［16］通过引入一个新的惩罚函数，在不需要训练数据的情况下，通过梯度下降法有效地求解出鲁棒性观测矩阵。

从文献检索看，尽管观测矩阵的优化设计方法在图像处理领域已有一定的应用并取得了较好的效果，但目前尚无将优化观测矩阵用于机械故障诊断的先例。分析其原因，主要包括：（1）机械故障信号的信噪比通常较低，现有方法得到的优化观测矩阵在大噪声干扰下的有效性还有待验证；（2）现有的观测矩阵优化过程的计算复杂度较高，进一步制约其在机械故障诊断领域的应用。

1 理论基础

压缩感知的数学模型可以表示为：

2 鲁棒性观测矩阵优化算法

2.1 适用于机械信号的优化框架

通常情况下，机械设备故障诊断系统采集到的信号受到设备中多源噪声的干扰，导致信号中的故障特征淹没在大量的噪声中，因此在机械设备故障诊断系统中应用压缩感知，其观测矩阵必须对噪声有较好的鲁棒性。

如文献［9］所述，通过收缩μav（A）获得的观测矩阵在信号重构精度方面优于传统的高斯随机矩阵。然而，这种方法假设原始信号在给定的字典上是绝对稀疏的，大多数机械信号都不满足该条件。为了获得适合机械信号的观测矩阵，必须考虑观测矩阵的鲁棒性。因此，更好的选择是式（11）或（12）这类具有鲁棒性约束项的优化框架。

基于式（11）的优化框架的特点是使用了训练数据对观测矩阵进行优化，当训练数据足够多且具有较好的代表性时，该方法能够达到最优的效果，然而，在机械设备故障诊断的很多场景下，这样的训练数据是难以获得的。因此，基于式（12）的优化框架更适用于机械设备故障诊断系统。

此外，目标Gram矩阵Gt的选择也会对观测矩阵在应用中的鲁棒性产生很大的影响。文献［14，16］的实验结果都表明，相比基于Gt=Getf的优化观测矩阵，基于Gt=IL的优化观测矩阵在实际应用中对噪声的鲁棒性更强，文献［14］指出这是由于基于ETF的优化框架得到的观测矩阵有更多的元素接近μ（A）的理论最小值，更有利于保持稀疏表示空间中向量之间的距离，故基于ETF的观测矩阵对噪声更敏感；而基于Gt=IL的优化框架由于其解集的自由度较大，因此有更多的余量用于进行∥∥ΦE???∥∥2F或∥Φ∥2F的优化。

综上分析，得到适用于机械信号的观测矩阵优化框架为：

下文将通过仿真和实验来验证上述分析。

2.2 解析求解算法推导

式（15）可以通过梯度法进行求解，但基于梯度的方法需要进行多次迭代，计算耗时较多，且其求解结果与迭代条件和初始值的设置有关，不能保证得到全局最优解。此外，也可以通过数学推导得到式（15）的解析解，由于解析法只需要一次数值计算，因此通常情况下解析法具有更低的计算复杂度，且解析法能保证得到全局最优解［14］。

如1.2节所述，文献［14］中给出了一种在字典矩阵Ψ满秩时式（11）的解析求解方法。若将式（11）中的E???替换为IN时，则该解析法同样可以用于求解式（15）。然而，文献［14］中所提的解析法在每次优化过程中均需进行一次SVD分解和一次特征值分解，而SVD分解的计算复杂度为O（N3），随着应用对象维度的增大，SVD分解的计算复杂度呈三次方增长，因此在信号维度增大到一定程度后，该解析方法耗时较多。为了提高求解高维度观测矩阵的速度，本文在字典矩阵Ψ满秩的情况下，基于式（15）的优化框架推导出一种解析法，可以在求解过程中避免进行SVD分解，从而提高了求解速度。

通过推导，得到了以下结果。

定理：  在字典矩阵Ψ满秩的情况下，令Q0=ΨΨT?λ2IN，其特征值分解为Q0=Uq0Λq0UTq0，Λq0=diag（λ1，λ2，…，λk，…，λN），λk≥λk+1，?k，找出满足c≤M的最小正特征值λc的索引c，则式（15）的部分解集的表达式为：

式中 U2∈RM×M为任意正交矩阵；Λq0，c为保留Λq0的前c个对角元素，其余对角元素置零的对角阵。

证明：见附录A。

观察到选择U2为任意正交矩阵，不会影响式（15）的结果大小，考虑选择U2为单位矩阵以进一步降低计算复杂度，此时只需证明式（16）中U2的不同取值在对式（2）的求解中，不会对其结果产生影响。下面的引理给出了推导结果。

引理：  在字典矩阵Ψ相同的压缩感知系统中，式（16）中由不同的U2产生的不同观测矩阵，不影响式（2）的求解结果。

证明：见附录B。

根据引理，可以取U2=IM，则有：

对比式（16）和（17），可知式（17）可以减少一次矩阵乘法，进一步降低了计算复杂度。

所提优化观测矩阵求解算法的具体流程如表1所示。从表1中可以看出，所提算法的计算过程中只需做一次特征值分解，相比文獻［14］的解析法无需进行SVD分解，降低了计算复杂度。

3 仿真信号分析

本节将通过对仿真信号的分析来验证第2节所提议的观测矩阵优化框架（式（15））和求解算法（表1）的有效性。本文使用的字典为文献［8，21］中使用的移不变K?SVD字典，该字典通过学习故障信号中的冲击模式，并进行单位时移产生稀疏字典，可以很好地稀疏表示故障冲击信号。现有压缩感知的重构算法有许多［17，22?24］，本文的重构算法选择为经典的正交匹配追踪（OMP）算法［17］。使用理论冲击信号与重构信号之间的均方误差（MSE）来评价重构效果，MSE值越小表明重构效果越好。

考虑旋转机械发生局部故障时，前J阶固有频率被冲击力激起，可建立如下数学模型来模拟故障冲击响应信号［25］：

式中 J表示被激起的固有频率个数；I表示一段时间内产生冲击响应的个数；（fdj，ζj）表示第j阶的固有频率和相应的阻尼；Aij表示第j阶固有频率下的第i个冲击响应的幅值；T是理论冲击响应出现的时间间隔；τi为冲击响应时刻的波动值；n（t）表示噪声信号。

仿真信号的主要参数设置如表2所示。剩余的参数设置如下：冲击响应的幅值Aij在（1， 3）之间随机分布，滑移量设置为τi=T×rand（0，0.02）。n（t）服从均值为零的正态分布，其方差根据实验的信噪比需求进行设置。在本节的实验中，设置仿真信号数量P=4000，评价指标MSE在P个信号上取平均值。仿真信号维度N设置为4000。图1为无噪声时的故障冲击信号的示例。

3.1 不同优化框架对比

为验证提议框架的有效性，本节对基于不同优化框架得到的观测矩阵在仿真信号上的性能进行对比，对比框架包括当前广泛应用于处理机械信号的高斯随机矩阵、文献［9］提出的基于式（5）的优化框架（框架一）以及文献［16］提出的基于式（12）取Gt=Getf的情形（框架二）。从2.1节的分析可知，本文所提议的适用于机械故障信号的优化框架（式（15））对应式（12）取Gt=IL的情形，区别之处在于文献［16］中是使用共轭梯度法进行求解，而本文则是推导其解析解。 理论上对于同一个优化问题，通过梯度法和解析法得到最优解是等价的，故在下文不同框架对比分析时，提议框架采用2.2节提出的解析法进行求解，框架一、二则采用对应文献的求解方法。

式（12）中的正则项系数λ代表着观测矩阵互相关性∥∥Gt?ΨTΦTΦΨ∥∥2F与鲁棒性∥Φ∥2F之间的权衡。通常来说，当噪声增大时，需要增大正则项系数λ以抑制噪声，λ的取值正比于噪声水平。在实际使用中应根据噪声水平和应用对象信号来确定λ的取值。在本文的实验中，将 λ取为固定值1。

用上述四种方法得到的观测矩阵对上述仿真信号进行观测，并使用OMP算法进行重构，对比不同框架的重构效果。

1） 不同噪声水平下的性能对比

设置压缩比δ为10%，即M=400，N=4000。设置信噪比范围为[?8 dB，32 dB]，通过仿真实验验证不同算法在不同信噪比下的观测性能，以重构信号与理论冲击信号的均方误差MSE作为评价指标，实验的结果如图2所示。由图2可以看出：

a） 在信噪比小于20 dB的情况下，基于框架一、二的重构误差都远大于高斯随机矩阵以及本文提议的框架，只有当信噪比很高时这两种框架对应的重构误差才小于高斯随机矩阵。显然，这也是现有文献［5?8］在对机械信号进行压缩感知时普遍采用高斯随机矩阵的原因；

b） 在不同信噪比下的框架二的重构误差均大于提议框架，这与2.1节关于目标Gram矩阵Gt=IL相比Gt=Getf对噪声有更强鲁棒性的分析相符，验证了目标Gram矩阵的选择对观测矩阵的抗噪性有很大影响，该结果与文献［14，16］的实验结果一致；

c） 在四种对比框架中，本文所提议框架在不同信噪比处都具有最低的重构误差，且随着信噪比的降低，优势愈加明显。通常情况下传感器采集到的机械振动信号均包含较大的噪声，因此提议框架更有利于机械信号的压缩测量。

2） 不同压缩比下的性能对比

设置信噪比为-5 dB，N=4000。设置压缩比范围为[0.08，0.26]，同样以重构信号与无噪声信号的均方误差MSE作为评价指标，仿真结果如图3所示。

由图3可以看出，在如此低的信噪比下，在整个压缩比变化范围内，框架一、二对应的重构信号的误差都远高于高斯随机矩阵的重构误差，而提议框架在不同压缩比下的重构误差均小于高斯随机矩阵，且即便是在8%的压缩比下，提议框架的重构结果都优于采用高斯随机矩阵在26%的压缩比下的重构效果。这进一步说明了提议框架在处理低信噪比信号时具有较大优势。

3） 重构信号对比

图4给出了信噪比为-5 dB，压缩比δ为10%时，基于不同观测矩阵的重构得到的故障冲击信号。图4中的红色虚线表示原信号理论冲击的位置。

从图4中可以看出，当信噪比为-5 dB，压缩比δ为10%时：

a） 基于框架一、二得到的观测矩阵对应的重构的信号与理论信号差异较大，表明这两种矩阵均无法有效观测故障信号；

b） 使用高斯随机矩阵得到的重构信号仅有少数冲击处于正确的位置上，总体上不具备周期性，在该工况下无法用于故障诊断；

c） 基于提议框架的观测矩阵压缩重构得到的冲击信号具有明显的周期性，且绝大部分故障冲击均在理论位置有效重构，这说明机械信号经过该观测矩阵的压缩重构后可以有效进行故障诊断。

3.2 不同求解算法的运算耗时对比

如2.2节所述，本文提议的框架除了可以用本文所提解析法求解外，还可以通过文献［16］中采用的共轭梯度法以及文献［14］采用的解析法进行求解。为说明本文所提方法在计算效率上的优越性，设置压缩比δ为10%，即M=400，N=4000，采用不同算法對式（15）进行求解，得到优化观测矩阵的运算时间。在MATLAB版本为R2018a，CPU为Intel（R） Core（TM） i5?4460以及运行内存为16 GB的条件下，记录三种算法的运算耗时，结果如表3所示。

从表3中可知，虽然在合适的初始化和迭代次数足够多（本文中迭代次数设置为50）的情况下，基于梯度的算法能够达到接近解析解的结果，但耗时远远高于解析法。在两种解析法中，本文所提方法的计算耗时不到文献［14］方法的1/3，这主要是因为文献［14］的解析法在求解过程需进行特征值分解和SVD分解，而本文方法只需进行特征值分解。由于SVD分解的计算复杂度随着矩阵维度的增长呈三次方增长，因此当处理信号维度较长时，本文的解析法的计算优势将非常明显。

4 实验信号分析

在机械故障诊断领域应用压缩感知的前提是压缩重构后的信号能够保留原信号中的故障信息，本节将通过对机械故障设备的传感器采集到的信号进行压缩感知来验证所提鲁棒性观测矩阵的优化设计方法在故障诊断中的有效性。

4.1 轴承外圈故障

实验在图5所示的滚动轴承台上进行。在轴承N205M的外圈上以线切割方式产生故障（宽度为0.5 mm，深度为1 mm）。滚动轴承的具体参数如下：节径为38 mm，滚动体直径为6.5 mm，接触角θ=0°，滚子数为13。振动信号从轴承座上采集，采样频率为100 kHz。当轴转速为800 r/min时，故障特征频率为ffault=fo=71.84 Hz。截取时长为1 s的测量加速度的时域信号，如图6所示。

设置压缩率δ为15%，使用不同观测矩阵进行观测，对应的重构信号（左）及其包络谱（右）如图7所示。从图7中可以看出，在压缩比δ为15%时，使用基于框架一的观测矩阵重构得到的信号其包络谱上无明显峰值，无法用于故障诊断；框架二的重构信号的包络谱上能观察到前2阶故障频率，但存在一个明显的干扰成分（fic），可能会造成对设备的误诊；使用提议框架得到的观测矩阵对信号进行观测，重构信号存在明显有规律冲击，其包络谱中可以明显分辨出前6阶故障频率，较之采用高斯随机矩阵的重构信号，提议框架对应的重构信号包络谱故障特征幅值更大，阶次更多，更有利于故障诊断。

从图8左侧的时域信号中可以看出，既便是在8%的压缩比下，使用提议框架依旧可以较好地重构故障冲击特征，重构信号冲击规律明显，其包络谱上能清晰的观察到前6阶故障频率。相比之下，使用高斯随机矩阵观测其重构信号无明显规律，其包络谱中只出现第一阶的故障频率，且附近有很多干扰成分，其峰值不突出，事实上已经无法用于故障诊断。以上结果进一步验证了提议框架在机械设备故障诊断领域的有效性。

表4给出了使用不同求解算法的运算耗时，从表中可以看出本文提出的解析法方法在计算效率上的优势。

4.2 齿轮断齿故障

为了进一步评估所提方法的有效性，在一个五档输出轴齿轮上有断齿故障的汽车变速箱上进行实验，其中加速度传感器被安装在输出轴的轴承座上，如图9所示。实验中信号采样频率为24000 Hz，变速箱运行参数如表5所示。输入轴转速为1000 r/min，对应的齿轮故障频率ffault=fg=21.618 Hz。截取时长为1 s的测量信号如图10所示。

设置压缩比δ为20%，使用不同观测矩阵进行观测，对应的重构信号及其包络谱如图11所示。

从图11中可以看出，在压缩比δ为20%时，基于框架一的观测矩阵重构得到的信号及其包络谱均不包含故障特征，无法用于故障诊断；基于框架二的重构信号的包络谱上虽然能观察到第1阶故障频率，但周围存在较多干扰成分，容易造成对设备的误诊；使用高斯随机矩阵对信号进行观测，其重构信号的包络谱中虽然噪声较大，但仍能观察到前4阶故障频率；基于提议框架的重构信号则在时域重构出更多等间隔分布的冲击，其包络谱中可以明显分辨出前4阶故障频率。

进一步降低压缩比δ至10%，使用高斯随机矩阵和提议框架构造的观测矩阵进行观测，对应的重构信号及其包络谱如图12所示。

从图12中可见，当压缩比δ从20%降至10%时，本文提议框架的性能并没有明显变化，重构信号的包络谱依旧能清晰地看到前4阶故障频率，可以对设备进行正确的故障诊断。然而，使用高斯随机矩阵对信号进行观测，其重构信号的时域变得更加杂乱，其包络谱中只能观察到第一阶的故障频率。该例进一步说明本文提议框架在机械故障诊断中的优势。表4给出了不同求解算法的运算耗时，从表中可以看出本文方法的计算耗时低于其他两个求解算法。

5 结 论

（1） 不考虑鲁棒性的观测矩阵优化框架和基于ETF的优化框架对低信噪比信号的压缩感知效果差，不适用于机械信号。

（2） 相比于机械信号中常用的高斯随机观测矩阵，采用提议框架得到的优化观测矩阵能够处理信噪比更低的信号，且能在更低压缩比下获得更高的信号重构精度，适用于机械故障诊断。

（3） 本文推导的优化观测矩阵求解算法较文献［14，16］的方法有效降低了计算复杂度，大大减小了求解观测矩阵的耗时。

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Optimal design of robust sensing matrix and its application in mechanical fault diagnosis

LIN Hui-bin ?CHEN Wei-liang

School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510640， China

Abstract The application of compressed sensing （CS） in mechanical equipment fault diagnosis system can effectively alleviate the pressure of data transmission and storage in fault diagnosis system. The optimal design method of sensing matrix is introduced into mechanical fault diagnosis system for the first time. Considering the characteristics of low signal-to-noise ratio （SNR） of mechanical signals， a robust sensing matrix optimization framework suitable for mechanical signals is proposed based on the analysis of the robustness of different optimization frameworks of sensing matrix. A new closed-form algorithm with lower computational complexity is derived for the proposed optimization framework. Numerical simulations and experiments are carried out and the results show that the optimal sensing matrix obtained by the proposed method is robust and computationally efficient. Compared with the existing optimal sensing matrix and the commonly used random matrix， the proposed method can effectively reconstruct the mechanical fault signals at lower signal-to-noise ratio and compression ratio.

Keywords fault diagnosis; bearing; compressed sensing; optimal design of sensing matrix; robustness