典型边界条件下任意截面纵肋加筋圆柱壳固有特性计算与分析

牛宁 孙玲玲 邢泽智 赵国栋 王秀和 吴优优

摘要 针对纵向加肋圆柱壳自由振动问题，考虑结构边界条件的复杂性和纵肋截面的任意性，在壳体两端引入连续可变的弹性约束，推导任意截面纵肋剪切中心与圆柱壳中面位移协调关系，并利用Gram?Schmidt正交法构造的级数表示壳体轴向振型函数。采用Novozhilov壳体理论，计及壳体和纵肋能量泛函中各向平移与转动惯性项贡献，基于Rayleigh?Ritz法得到结构自由振动的特征方程表达式，建立纵向加肋圆柱壳自由振动的统一动力学分析模型。调整约束弹簧刚度等效不同边界条件，应用该模型探究了相应边界下肋条附加位置、肋条数量和肋条偏心距对纵向加肋圆柱壳固有频率的影响。研究表明：在一定周向波数范围内，外部加肋和内部加肋圆柱壳固有频率之差的绝对值与周向波数n的变化呈正相关；增加肋条数量会降低内部加肋圆柱壳的固有频率；增大肋条偏心距会降低内部加肋圆柱壳固有频率，且偏心距与肋条数量对固有频率的影响会产生叠加效应。研究结果与验证了所提的统一动力学分析模型的精确性和有效性。

关键词

自由振动; 圆柱壳; 典型边界条件; 任意非对称截面; Gram?Schmidt正交法; Rayleigh?Ritz法

引 言

圆柱壳体采用纵肋加强，增强了结构强度和稳定性，同时可以保持较轻的结构重量，兼具良好的力学性能和经济性，因此被广泛应用于水下机器人机身、航天器外壳等重要结构部位。纵向加肋圆柱壳结构常受到复杂多变的激励作用，若被诱发共振，振动能量的集中传输会严重影响其使用寿命与声辐射特性。

对纵向加肋圆柱壳自由振动问题的研究主要有两种方法。一种是以正交各向异性模型等效加肋圆柱壳，该方法适用于加密肋或振动波长大于肋条间距的情况；另一种是将肋条离散化处理，对肋条数量没有限制，适用性更加广泛［1?2］。早期研究以第一种方法为主，主要对几种简单边界条件下纵向加肋圆柱壳的自由振动特性进行了初步建模研究，部分研究给出了实验结果［3?6］。随后，文献［7?8］将肋条看作离散单元，并假设肋条高度远小于壳体半径且沿周向均匀分布，考虑纵肋周向和径向弯曲、扭转及拉伸运动，同时采用梁函数模拟壳体轴向振型函数，在此基础上研究了加肋圆柱壳的自由振动特性。文献［9?11］基于上述研究，提出的解析模型不再受肋条高度、分布间距及长度参數的限制，但纵肋横截面为规则几何形状，并未给出非对称截面纵肋与壳体的位移协调关系，这在理论上限制了肋条的类型及其附加方式。文献［2］指出，对于较薄（如R/h>20）或较长的壳体，随着周向波和纵向波数量的增加，壳体面内转动惯量对其自由振动求解精度的影响变大；同时，采用不同壳体理论也会导致结构自由振动求解结果差异较大。近年来，研究人员对加环肋和加正交肋圆柱壳自由振动问题进行了进一步研究［12?16］，虽然得到一些结论，但是肋条截面为规则矩形，子结构能量泛函则引用以往简化模型，其中壳体面内转动惯量、纵肋弯扭耦合运动及翘曲变形等因素仍然被忽略。为探究不同壳体理论对结构固有频率计算精度的影响，文献［17］分别运用Donnell理论和Flugge理论对简支边界下纵向加肋圆柱壳的自由振动进行了求解，得到了前者计算精度良好的结论，实际上，由于计算模型单一，上述结论具有一定局限性。文献［18?21］进一步分析了各种壳体理论对无肋圆柱壳自由振动的计算结果，在明确给出了Donnell壳体理论应用范围的同时，指出Novozhilov理论具备高精度特性，尤其在高频段，可以明显减弱厚径比和长径比等参数波动对壳体自由振动求解造成的误差。

为了有效解决工程应用中纵向加肋圆柱壳的自由振动问题，本文考虑实际边界条件的复杂性和纵肋截面的任意性，以及不同场合中薄壳厚径比、长径比的变化等因素。在壳体两端引入轴向、径向、周向和转动方向的弹簧，以实现壳体边界约束的连续变化，而不同边界下壳体轴向振型函数则利用Gram?Schmidt正交法构造的级数来统一表示。纵肋为离散子结构，考虑其在三维空间中的各向惯性运动，并推导任意截面纵肋与圆柱壳中面的位移协调关系。同时，采用更为精确且适用范围更广的Novozhilov壳体理论，壳体动能泛函计入转动惯性项，并利用Rayleigh?Ritz法构建纵向加肋圆柱壳的统一分析模型，在此基础上，探究不同边界条件下加肋方式、肋条数量及肋条偏心距对结构自振特性的影响，验证模型的准确性和有效性。

1 理论分析

1.1 几何模型

图1为规则纵肋加筋圆柱壳的几何模型。其中，图1（a）标明了位于壳体中面的笛卡尔坐标系，壳体半径R，厚度h，长度L；图1（c）给出了内部加纵肋时壳体截面的具体参数，如第i个纵肋形心到壳体中面的距离esi，纵肋截面高度dsi，宽度bsi及其周向角度θi；图1（b）和（d）分别为壳体两端单位长度上所受的径向、周向、轴向和转动方向的弹性约束，并依次用kw，kv，ku，kθ表示。

2 数值模拟与结果讨论

首先，计算文献［7］模型，并将本文及各文献计算结果与文献实验数据进行误差分析，验证本文结果的精确性，同时检验本文计算方法的收敛性。然后，通过改变约束弹簧刚度调整边界条件，详细分析两端简支、两端固支和一端固支一端简支三种经典边界下，肋条位置、肋条数量及肋条偏心距对纵向加肋圆柱壳固有频率的影响，进一步验证本文计算方法的准确性，并且为后续不同不同肋条位置、肋条数量及肋条偏心距的加肋圆柱壳振动固有特性的研究做出初步探索。

2.1 计算方法精确性与收敛性验证

加肋圆柱壳的轴向、周向及径向振动频谱中，同一模态下，径向弯曲振动对应的固有频率最小，对结构优化具有重要指导作用［2］。因此下文以纵向加肋圆柱壳径向振动固有频率为讨论对象。

简支、固支及自由边界条件分别用S，C和F表示。表2给出了文献［7］中加纵肋圆柱壳模型参数，表3列出了几种经典边界下约束弹簧刚度的无量纲值［15］。

表4列出了文献中两端简支纵向加肋圆柱壳固有频率的理论结果和实验数据，实验数据来自文献［9］。其中，纵肋数量Ns=4，肋条位于圆柱壳内部。以文献实验数据为参考，给出了文献［7，9，17］及本文结果与文献实验数据之间的误差百分比。文献［7，9］的纵肋为矩形，文献［17］的纵肋为帽子型。

由表4可知，本文结果与实验数据之间的误差基本保持在2.7%以内，相较于文献［7，9］表现出良好的求解精度。进一步比较发现，文献［7］的求解结果相对于实验数据的误差均大于文献［9，17］及本文结果，原因是其建模过程忽略了比较重要的面内惯性项。与文献［9］相比，本文结果与实验数据之间的总体误差更小，这是由于本文采用更为精确的Novozhilov壳体理论，同时圆柱壳动能泛函计及转动惯量，并考虑其忽略的纵肋弯扭耦合运动和翘曲变形。与文献［17］求解结果相比，本文结果误差稍大，原因在于文献［17］直接求解了结构运动微分方程，而本文则采用能量原理获取近似解，但是直接求解运动微分方程，仅能求得简单约束下圆柱壳自由振动的解，而对于实际工程中其余较为复杂的边界条件，需要处理复杂的结构相容条件，由于耦合偏微分方程组求解的数学困难，使得工作量变得极为巨大且常常无法得到相应的准确解，在文献［17］里面最终也采用了数值解，因此该方法不具备通用性。而本方法可以方便地推广到不同类型、不同形状、不同加筋方向的加筋圆柱壳，这是直接求解运动微分方程方法所无法达到的。

收敛性体现了计算效率，对数值模拟的实现起关键作用。文中计算特定模态下纵向加肋圆柱壳固有频率过程中，随着正交多项式累加项数增多，该阶固有频率的近似值也相应增多，并最终收敛于某一恒定值，该值即为此模态下的固有频率。将保留多位有效数字的固有频率的相邻近似值做差，若差值为零，则认为计算结果收敛于该项，其中有效数字的选取满足求解精度即可。本文选取m=1，n=1～6阶模态下，保留10位有效数字的无量纲固有频率（f*=ω*/（2π））相邻近似值之差的绝对值（Δf*Nt=∣∣f*Nt+1?f*Nt∣∣，Nt≥1）来评估本文计算方法的收敛性，横坐标（ΔNt=1，2，…，9）表示多项式后项减去前项的自然数计数。图3为固有频率相邻近似值之差的绝对值随多项式累加项递增的变化情况。图中显示，随着累加项数的递增，Δf*Nt在ΔNt=2时迅速收敛，随后收敛速度变缓，但固有频率相鄰近似值的差值仍在变小。从局部放大图可以看出，当ΔNt=7，即Nt=8时，Δf*Nt≈0，这表明固有频率的计算结果可以迅速收敛于某一恒定值，由此证明本文所采用的固有频率计算方法具有良好的收敛性。

2.2 加肋方式、肋条数量及肋条偏心距对自由振动的影响

壳体结构参数对加肋圆柱壳自由振动特性的影响一直是研究热点［14，16］。文中算例采用表2模型部分参数，仅将壳体厚度扩大10倍，并根据研究需要改变截面尺寸。以ST（Stringer）表示纵肋，CS（Cross Section）表示纵肋横截面，其中肋条数量Ns=4，8，16，CS1：40 mm×8 mm，CS2：17.9 mm × 17.9 mm，CS3：8 mm×40 mm。例如符号ST4CS1（+）表示外部加肋（“?”为内部加肋），肋条数量为4，横截面为类型1。壳体长径比L/R=5，厚径比h/R=0.024。

2.2.1 内、外部分别加肋时圆柱壳结构固有频率差异

纵肋通常附加在圆柱壳体的内侧或外侧，若仅改变加肋位置，结构的质量与刚度均不发生明显变化，但在两种加肋方式下其固有频率如何变化则需要进一步研究。

图4～6分别是三种经典边界条件下，内、外部分别加肋时圆柱壳无量纲固有频率之差（Δf*=f*（+）?f*（?））随周向波数n的变化曲线。综合分析图4～6可知，Δf*随n的变化趋势在各边界下基本一致，这说明边界条件并不是Δf*的决定因素，但是不同边界下，当肋条数量相等，截面相同，周向波数一定时，Δf*的绝对值大小依次为∣∣Δf*（C?C）∣∣>∣∣Δf*（C?S）∣∣>∣∣Δf*（S?S）∣∣。分别分析图4～6可知，在m=1， n=1～20范围内，随着n变大，Δf*>0的差值增大速度远大于Δf*<0的差值降低速度，且Δf*<0的情况仅出现在n≥6的偶数项波数中。若肋条数量成倍增加，Δf*<0的数值个数以相同比例减少，即在一定周向波数范围内，增加肋条数量，外部加肋大于内部加肋圆柱壳固有频率的概率也增大。由此可以预测：若继续增加肋条数量，一定周向波数范围内，外部加肋将全面大于内部加肋时圆柱壳的固有频率。上述预测恰与文献［24］中加密肋时所得结论相吻合，验证了文中结论的一般性。

2.2.2 纵肋数量对加肋圆柱壳固有频率的影响

从结构角度看，肋条数量的变化会显著改变加肋圆柱壳的刚度和质量参数；从能量角度看，不同肋条数量下结构振动时的动能和势能不尽相同，最终导致自由振动特征方程中的刚度和质量矩阵发生变化。因此，肋条数量的变化必然会对结构固有频率产生较大影响。

图7（a）～（c）分别是三种经典边界下，不同肋条数量的纵向加肋圆柱壳无量纲固有频率f*随周向波数n的变化曲线。首先，分别分析图7（a）～（c）可知，同一周向波数下，肋条数量增大时，结构对应模态下的固有频率均降低。由式（17），（18）可知，纵肋数量变化对结构振动时动能的影响大于对势能的影响。上述分析与文献［10］中肋条数量变化对较大长径比薄壳固有频率影响的结论相吻合；同时将肋条数量对结构固有频率的分析拓展至较高周向波数，完善了该参数对纵向加肋圆柱壳自振特性影响的相关结论。然后，进一步综合分析图7（a）～（c）可知，随着周向波数的增大，由肋条数量变化引起的结构固有频率的差值变大，在图中表现为不同曲线的间距均变大；同时可以看出，当n≥10时，曲线波动状态发生了明显变化，说明边界条件和纵肋截面（不同偏心距）对结构固有频率也有一定影响，其中边界条件的影响在文献［15］中已有详细阐述。下文将继续分析纵肋偏心距对加肋壳体固有频率的影响。

2.2.3 肋条偏心距对加肋圆柱壳固有频率的影响

图8（a）～（c）给出了三种经典边界下，不同纵肋横截面尺寸的加纵肋圆柱壳无量纲固有频率f*随周向波数n的变化情况。保持肋条横截面积不变，不同截面肋条偏心距大小关系为ecs18后，增加偏心距会降低结构的固有频率，这种效果在周向波数较大时尤其突出。综合分析图8（a）～（c）可知，不同边界条件下，如果在肋条数量增加的同时，增大肋条偏心距，可以发现，在较高周向波数时，结构固有频率明显降低。结合第2.2.2节结论可知，这是由于肋条数量和肋条偏心距对结构固有频率的影响效果发生了叠加所致。

3 结 论

（1） 相较于以往研究，本文模型不再受边界条件和纵肋截面类型的限制。同时，由于圆柱壳和纵肋子结构的能量泛函均为精确形式，因此，对于不同厚径比和长径比的加纵肋薄壁圆柱壳，利用本文模型均可求得较为精确的固有频率值。本文模型同时考虑纵肋周向和径向弯曲、扭转及拉伸运动，还考虑了壳体面内转动惯量对自由振动求解精度的影响，并选用了具备高精度特性的Novozhilov理论。综上可知，本文所建理论模型兼顾一般性和精确性，可以为工程实际提供一定的理论指导。

（2） 在一定周向波數范围内，外部加肋和内部加肋圆柱壳固有频率之差的绝对值与周向波数n的变化呈正相关，此外，外部加肋大于内部加肋圆柱壳固有频率的概率随纵肋数量的增多而增大；内部加肋时，增加或减少肋条数量会使纵向加肋圆柱壳固有频率降低或升高，由此可知，纵肋数量变化对结构振动时动能的影响大于对势能的影响；保持纵肋横截面积不变，增大肋条偏心距，纵向加肋圆柱壳的固有频率变小，反之，固有频率增加，同时，偏心距与肋条数量对结构固有频率的影响会产生叠加效应。与文献［7，9，17］的结论对比进一步证明了本文模型的准确性和一般性。

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Calculation and analysis of inherent properties of stiffened cylindrical shells with longitudinal stiffeners of arbitrary cross section under typical boundary conditions

NIU Ning 1 ?SUN Ling-ling 1 ?XING Ze-zhi 2ZHAO Guo-dong 1WANG Xiu-he 2WU You-you 1

1. Key Laboratory of High Efficiency and Clean Mechanical Manufacture， Ministry of Education， Shandong University， Jinan 250061， China；

2. School of Electrical Engineering， Shandong University， Jinan 250061， China

Abstract Aiming at the problem of free vibration of longitudinal stiffened cylindrical shells， considering the complexity of the boundary conditions of the stringer stiffened cylindrical shell and the arbitrariness of the stringer section， the elastic constraints that can vary continuously were introduced at both ends of the shell and the displacement relationship between the displacement compatibility between the center of a stiffer with arbitrary cross section and the middle surface of a cylindrical shell was deduced， the axial mode shape function of the shell was constructed by Gram-Schmidt orthogonal method. Based on the Novozhilov shell theory， taking into account the contribution of the each translational and rotational inertia terms in the energy functional of shell and stringer， a unified dynamic analysis model for free vibration of stringer stiffened cylindrical shell was established by the Rayleigh-Ritz method. The accuracy of the results was verified by literature model. The stiffness of restrained spring was adjusted to simulate different boundary conditions， and the model is used to explore the influence of the additional position of the ribs， the number of ribs and the rib eccentricity on the natural frequency of the longitudinally ribbed cylindrical shell under the corresponding boundary. Studies have shown that within a certain range of circumferential wavenumbers： the absolute value of the difference between the natural frequency of the external ribbed and the internally ribbed cylindrical shell is positively correlated with the change of the circumferential wavenumber n； increasing the number of ribs reduces the natural frequency of the internally ribbed cylindrical shell Increasing the eccentricity of the ribs reduces the natural frequency of the internally ribbed cylindrical shell， and the effect of the eccentricity and the number of ribs on the natural frequency produces a superposition effect. The comparison between the research results and the literature verifies the accuracy and validity of the unified dynamic analysis model proposed in this paper.

Keywords free vibration; cylindrical shell; typical boundary condition; arbitrary asymmetric cross section; Gram-Schmidt orthogonal method; Rayleigh-Ritz method