多空沟对弹性波的散射及隔振性能分析：平面 P-SV 波入射

周凤玺 梁玉旺

摘要： 在地基振动控制中，较浅的单空沟由于散射效率低，隔振效果并不理想，而多空沟可以通过提高散射效率而达到理想的隔振效果。根据弹性动力学基本理论，在复数域上进行波函数展开，由空沟周边应力自由边界条件，并借助保角映射理论和多极坐标变换技术建立了问题的控制方程，给出了多空沟对平面 P‐SV 波散射的解析解答。以双空沟为例，参数分析了激励频率、空沟长度和空沟间距等因素对隔振效果的影响规律。结果表明：双空沟的隔振效果明显优于单空沟，并且随着空沟长度增加，隔振效果越好；存在一定的空沟间距使双空沟能发挥出更好的隔振效果。

关键词： 多空沟；平面 P‐SV 波；波函数展开；保角映射；解析解答；隔振效果

中图分类号： TU473 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2023）03-0789-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.021

引 言

近年来，地基振动及其控制已经成为岩土工程领域热点研究课题之一。地面波障（空沟和填充沟［1‐20］、波阻板［21‐23］、排桩［24‐26］）能有效地控制地基振动，而空沟作为地面波障之一，由于施工简单，造价低廉，国内外学者对其进行了大量的试验研究和理论分析。在试验研究方面： Woods［1］ 在主动隔振与被动隔振的现场全尺寸试验研究中，提出用振幅衰减比评价隔振效果。之后，Haupt［2］针对有限元计算结果进行了室内试验研究，发现屏障沟的截面积和形状对空沟隔振效果影响较大。Ulgen 等［3］通過一系列现场实验对空沟和填充沟的隔振效果进行了研究，确定了激振频率、土层参数、屏障的几何尺寸和形状、填充材料等参数对隔振效果的影响。徐平等［4］通过落锤式弯沉仪（FWD）试验分析了空沟深度、宽度及空沟‐荷载间距对隔振效果的影响。在数值分析方面：文献［5‐6］、Emad 等［7］首次使用频域边界元法计算了空沟等屏障隔振问题，研究了半空间中空沟和混凝土填充沟对稳态波源和瞬态波源的隔离问题。巴振宁等［8‐9］采用 2.5维间接边界元方法（IBEM）研究了列车移动荷载作用下层状饱和地基中空沟的隔振效果。Andersen 等［10］、Adam 等［11］则借助边界元‐有限元耦合法分析了列车荷载作用下空沟的几何尺寸和位置对隔振效果的影响。李伟等［12］、高广运等［13］结合薄层法和边界元法分析了二维和三维黏弹性层状地基中空沟的隔振效果，结果表明地基分层参数对空沟隔振效果影响显著。May 等［14］通过时域有限元法，研究了双层均质各向同性土体中空沟对P 波、SV 波和 SH 波的隔振效果。Saikia 等［15］利用有限元程序 PLAXIS 对简谐波载荷作用下的空沟隔振问题进行了数值分析。Shrivastava 等［16］考虑在不同几何参数下，通过三维有限元模型研究了空沟与填充沟屏障对 Rayleigh 波的隔离效果。徐平等［17‐18］基于弹性波散射基本原理，通过复变函数的保角映射理论给出了空沟对平面 SH 波、P 波和 SV 波散射的解析解答，并对隔振效果进行了分析。

上述研究成果主要集中在不同载荷以及不同地层等条件下单空沟的隔振问题。文献［1，5］研究表明，单空沟屏障深度达到 0.6 λR（Rayleigh 波长）时，才能获得比较理想的隔振效果。考虑土体的稳定性及开挖难度，实际工程中空沟深度一般较浅，对于波长较长的入射波，浅沟很难达到理想的隔振效果。而多空沟可作为一种有效的应对措施，因为对于相同的隔振效果，多空沟所需深度远小于单空沟［19‐20］。

基于弹性波散射的基本理论，在复数域上进行波函数展开，由空沟四周应力自由边界条件，并借助

保角映射方法和多极坐标变换技术建立了方程组，通过对方程组的求解得到了多空沟屏障对平面P‐SV 波散射的解析解答，最后对多空沟屏障的隔振效果进行了分析。

1 多空沟对 P 波散射问题解析解答

假定土体为各向同性的无限均匀的弹性体，空沟为有限长度的散射体，从而将由 N 个空沟组成的多空沟对 P 波的散射问题简化为平面应变问题。以空沟中心为坐标圆心，引入 N 个局部直角坐标系（ xj，yj） 及对应的复数坐标系 （ zj，zˉj） （1 ≤ j ≤ N ），并将第一个局部坐标系设定为全局坐标系，即当 j=1时下标可以略去不写。由此建立的数学模型如图 1所示，A 点为观测点，djk为第 j 个空沟到第 k 个空沟之间的距离，a 为空沟宽度，b 为空沟长度。

1. 2待定复系数的求解

由复变函数理论，通过保角映射函数 zj = ωj（ ζ ）将对应空沟边界映射为单位圆，保角映射后的坐标系统如图 2 所示。相应的保角映射公式［27］为：

具体求解方程（16）时需要在左右两边同时乘以e-imθj（m = 0，± 1，± 2，？），θj 表示第 j 个曲线坐标系中的环向坐标，然后对 θj 在区间[ - π，π] 上求积分，得到关于待定复系数 Akn 理论解的无穷阶线性方程组：

3 隔振效果分析

多空沟对平面 P 波入射时的隔振效果与对平面SV 波入射时的隔振效果比较接近，限于篇幅，隔振效果分析时，本文仅给出了双空沟对平面 P 波入射时的隔振效果。

3. 1 解的正确性验证

通过引入振幅衰减比 AR（设置屏障后土体内某点由入射波和散射波产生总的位移与未设置屏障时由入射波单独产生的位移之间的比值）来评价多空沟对平面 P波入射情况下的隔振效果，AR值小于 1时说明有隔振效果，且 AR值越小说明隔振效果越好。

为了验证本文解计算精度，引入应力残差| σ -iτrθ |，取级数项 n = 7，剪切波速为 cS = 100 m/s，P 波入射频率为 75 Hz，空沟间距 d12/a=20，宽度 a=0.4，长度 b=3 m，由图 3 给出了双空沟周边应力分布图。从图 3 可以看出，空沟 1（j=1）和空沟 2（j=2）周边应力最大值在 3.5 kPa以内，满足计算精度要求。

为了进一步验证本文解答及计算程序的正确性，首先，取 N = 1，djk = 0，将本文公式退化为单空沟公式，与文献［18］中公式一致，说明了本文公式推导的正确性 ；然后 ，取土体的纵波波速和横波波速 分 别为 cP = 160 m/s 和 cS = 100 m/s，固有圆频率ω = 75 Hz，空 沟 的 宽 度 a=0.4 m，长 度 b=4.0 m。通过计算空沟后侧屏蔽区域 AR 等值线与文献［18］对比，如图 4 所示，两者计算结果吻合较好，说明了本文编程计算的正确性。

3. 2 隔振效果分析与讨论

为了分析不同入射频率下双空沟对隔振效果的影响，首先对入射波频率进行无量纲化处理，ηP =ωa/πcP；另外取空沟宽度 a=0.4 m，空沟长度 b/a=10，空沟间距 d12/a=7。图 5 给出了 y/a=0 处振幅衰减比 AR 随 x/a 的变化曲线。从图 5 可以看出，入射波频率 ηP 较大时，双空沟能发挥出更好的隔振效果。

为了更直观地反映出不同入射频率下双空沟对平面 P 波的隔振效果，图 6 给出了平均振幅衰减比随入射频率 ηP 的变化曲线。从图 6 可以看出，随着入射频率 ηP 的增大，平均振幅衰减比逐渐减小，隔振效果越好。

为了分析空沟间距对双空沟隔振效果的影响，取空沟宽度 a=0.4 m，空沟长度 b/a=10，入射频率ηP = 0.041，图 7 给出了 y/a=0 处不同空沟间距下振幅衰减比 AR 随 x/a 的变化曲线。从图 7 可以看出，不同空沟间距取值下，双空沟对 P 波的隔振效果均明显优于单空沟对 P 波的隔振效果。

同样，为了进一步反映出空沟间距对隔振效果的影响，图 8 给出了平均振幅衰减比 Aˉ R随空沟间距d12/a 的变化曲线 。 从图8可以看出 ，当 d12 /a ≤ 8时，平均振幅衰减比 Aˉ R 随 d12 /a 的增大而减小；当d12 /a > 8 时，平均振幅衰减比 Aˉ R随 d12 /a 的增大而增大。说明存在一定的空沟间距，即 d12 /a 等于 8 左右时，双空沟能发挥出更好的隔振效果。

为分析空沟长度对隔振效果的影响，取入射频率 ηP = 0.041，空沟宽度 a=0.4 m，图 9 给出了不同空沟长度下 y/a=0 处的振幅衰减比 AR 随 x/a 的变化曲线。从图 9 可以看出，空沟长度对隔振效果的影响非常明显，随着空沟长度的增加隔振效果越好。图 10 给出了平均振幅衰减比 Aˉ R随空沟长度 b/a 的变化曲线。从图 10 中可以看出，平均振幅衰减比 Aˉ R随空沟长度 b/a 的增加而减小，进一步说明，随着空沟长度的增加，隔振效果越好。

4 结 论

基于弹性波散射基本理论，在复数域上进行波函数展开，由空沟周边应力自由边界条件，并借助保角映射理论和多极坐标变换技术建立无穷阶线性方程组，给出了多空沟对弹性 P，SV 波散射的解析解答。最后参数分析了双空沟对 P 波的隔振效果，得到如下结论：

（1）随着入射波频率的增大，隔振效果越明显。

（2）存在一定的空沟间距，即当 d12 /a 等于 8 左右时，双空沟能发挥出更好的隔振效果。

（3）空沟长度对隔振效果的影响非常明显，随着空沟长度的增加，隔振效果越好。

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