类比艽俳小学生数学概念的理解

杨灿 邱成建

数学概念学习是个抽象的过程。学好数学知识，必须对数学概念做到透彻理解。对此，教师应基于类比思想，充分利用数学知识之间存在的紧密联系，引导学生进行比较、分析和归纳，在改造或纳入原有认知结构的基础上形成新的认识，促进学生理解所学概念，帮助学生巩固所学知识。下面以“认识面积单位”为例，谈谈类比促进小学生概念的理解。

一、在类比中感知统一

有些数学概念之间具有共同点或相似点，即在本质上具有较高的一致性。作为教师，教学中要善于发掘和利用这些共同点或相似点，引导学生把新旧概念放在一起进行比较，让学生在新旧概念的类比中实现正向迁移，促进新概念的快速感知。

“面积单位”是人教版数学三年级下册第五单元的教学内容，是在认识长度单位和面积的基础上学习的。与长度单位相比较，是从定性描述走向定量描述的必要，也是从一维测量到二维测量的突破。为此，重点思考如何用类比的方法让学生经历定性、定量、统一的学习过程。教师呈现一本数学课本的封面，提出这本数学课本封面的面积有多大？当学生感受到无论用哪一个字或词都不能精准地描述时，引导学生从关联的角度，联想到已经学习过的长度单位，类比想到为了精确度量图形或物体表面的大小，确实需要一个新的单位，数学课本的封面的面积有多大呢，组织学生用不同形状的图片作为新的单位进行测量，在观察、比较、调整的过程中，思维自然从定性描述转换为定量描述。有了定量的描述方法，为什么还要统一呢？统一长度单位的思维过程再一次类比到统一面积单位的学习中，在操作、交流中感知统一的必要性。

二、在类比中抽象概括

抽象概括是学生学习数学知识、理解数学本质的基本方式。教学中教师要深入挖掘数学知识之间的联系，利用类比沟通知识之间的联系，引导学生发现知识的共同特征，从而抽象概括，理解概念的本质。

认识1平方厘米时，教师出示1厘米长的一条线段，通过垂直平移得到一個正方形，然后设计问题链引导学生思考：

问题1：边长是1厘米的正方形，面积可以用什么单位度量？

问题2：边长是1厘米的正方形，面积与什么有关联？推理说明。

问题3：边长是1厘米的正方形，面积有多大？

以问题点燃学生的思考，首先用类比的方法得出长度可以用长度单位来度量，面积就用面积单位来度量。其次引导学生在操作与语言表征的转换中，推理出这个正方形的面积与边长1厘米有关联。最后让学生看课本自主习得边长是1厘米的正方形面积就是1平方厘米。学生在顺应中建立1平方厘米的表象，再通过比1平方厘米、画1平方厘米、找身边的1平方厘米、用1平方厘米的学具测量橡皮擦各面的面积等活动，帮助学生形成1平方厘米的量感。接着，利用1平方厘米的正方形测量课桌面的面积，发现不方便很麻烦，引发认知冲突，感受平方分米产生的必要，然后用学习平方厘米的方法类比学习平方分米，在同化中建立1平方分米的表象，形成1平方分米的量感。最后，引导学生用1平方分米的正方形学具测量教室黑板的面积，在经验的类比中，产生比1平方分米更大一点面积单位的需要，并用学习平方厘米、平方分米的经验，类比学习平方米，在同化中建立1平方米的表象，形成1平方米的量感。整个学习过程在顺应、同化中认识三个面积单位，在操作表征、图形表征、语言表征、符号表征的转换中建立形与数的联系。对比这三个面积单位的学习方法，通过回顾发现面积与长度有关联，用学习长度单位的方法学习面积单位，构建知识间的联系，加深学生类比的学习经验。再对比这三个面积单位的学习结果，比较它们的相同点和不同点，并引导学生用“边长是1（  ）的正方形，面积是1（  ）”进行抽象概括，有效促进对面积单位本质的深度理解。

三、在类比中巩固完善

新的概念建立后，需要通过必要的练习从不同的层次进行评价，并引导学生进一步利用类比推理沟通知识之间的联系，完善知识结构，使学生实现结构化认识，促进概念的巩固。

面积单位的理解，通过三个不同的练习，巩固平方厘米、平方分米、平方米，同时发展学生的量感、空间观念及推理能力。

练习1：制作与思考。

（1）怎样制作一个面积是1平方厘米、1平方分米、1平方米的正方形？

（2）边长是5厘米的正方形，怎样推出这个正方形的面积是几平方厘米？

（3）怎样比较这三个正方形的大小？

练习2：选择与思考。

一张课桌，桌面的长边约是7（  ），面积约是28（  ）。

设计练习评价学生素养的培育过程。练习1的设计，构建了正方形面积与边长的关联，用逆向思维推出，要制作面积是1平方厘米、1平方分米、1平方米的正方形，就要测量出边长是1厘米、1分米、1米的正方形，在制作的过程中，增强学生的量感，帮助学生建立了几何直观，体现以数解形的思想方法。接下来，让学生在操作中，应用“因为……，又因为……，所以……”的结构表达，培养学生推理的能力。即：因为边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米，又因为正方形的边长是5厘米，就要摆出25个边长是1厘米的正方形，所以这个正方形的面积是25平方厘米。最后完成第3小题，怎样比较这三个正方形的大小？通过交流，选择用叠加的方法比较这三个正方形的大小，整体上直观感知相邻面积单位间相差的面积，促进学生空间观念的培养，为后续学习相邻面积单位间的进率积累了活动经验。练习2的设计，避免长度和长度单位的负迁移，加强长度单位与面积单位的比较，通过比较，体会两种计量单位在测量时的共性，深化理解面积单位，同时注重学生逻辑思考的培养。即：选择长度单位还是面积单位？为什么？如果选择长度单位，应该选择哪一个长度单位？为什么？如果选择面积单位，应该选择哪一个面积单位？为什么？通过判断与选择，建立了清晰的长度单位和面积单位的概念。

总之，类比不仅使数学学习变得自然和简洁，更能激发学生的创造力。在小学数学教学中，有效地引领学生运用类比去发现、去创造，会使学生的数学学习充满创新与活力，实现知识的迁移，沟通知识之间的联系，从而促进概念的理解。同时，长度单位和面积单位的学习积累了丰富的类比学习经验，为后续体积单位的学习奠定了坚实的基础。

【注：本文系“2021年度云南省教育科学规划基础教育专项项目《基于新课程标准的小学数学教学改进实践研究》（项目批准号BFJC21023）”“2022年度普洱市教育科学规划重点课题《多元表征下小学数学概念理解过程的实证研究》（课题立项编号22Z007）”的阶段性研究成果。】