一类具有不同时滞的布鲁氏菌病模型的稳定性分析

吴嫚　夏米西努尔·阿布都热合曼

摘要：建立一類同时具有离散时滞和分布时滞的布鲁氏菌病模型，研究该模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性和局部渐近稳定性，并通过构造合适的Lyapunov泛函得出各类平衡点的全局渐近稳定性.最后，通过数值模拟对结果进行解释，并探究时滞效应对疾病传播过程的影响.

关键词：布鲁氏菌病; 时滞; 稳定性; Lyapunov泛函

中图分类号：O175 文献标志码：A 文章编号：1001-8395（2023）05-0616-07

布鲁氏菌病是布鲁氏菌属的革兰氏阴性菌引起的一种人畜共患疾病，牛羊等家畜是布鲁氏菌的主要宿主.易感动物可能在与传染性动物之间的直接接触中感染疾病，动物患布鲁氏菌病通常的症状是流产、睾丸炎等，这会对生殖和生育、新生儿存活和产奶量产生不利影响，造成经济损失.布鲁氏菌能在流产的胎儿、肉类、乳制品、尘埃、粪便、水、泥浆和土壤中长期存活，易感动物因接触到环境中的布鲁氏菌而感染也成为主要疾病传播途径之一[1].人类常常因为接触到被感染动物污染的环境、与感染动物直接接触、食用未经杀菌的牛奶或乳制品、未经高温杀菌的肉类和动物肝脏等感染布鲁氏菌病.人类布鲁氏菌病通常表现为急性发热性疾病，包含虚弱、嗜睡以及发烧，可以持续并发展为慢性致残性疾病，伴有严重并发症，例如骨关节并发症、胃肠道并发症和呼气道并发症等.布鲁氏菌病在人与人之间的传播极其罕见.

目前，越来越多的学者关注并深入研究布鲁氏菌病，更多关于布鲁氏菌病的数学模型被建立并用于分析疾病的传播规律[2-6].考虑到布鲁氏菌能在环境中长期存活这一因素，众多学者建立了具有间接传播的布鲁氏菌病模型[7-9].另外，由于布鲁氏菌在宿主体内的潜伏期是不可忽略的，许多带时滞的流行病模型被建立并研究[10].关于布鲁氏菌病的时滞模型主要研究了潜伏期、免疫期以及检测和剔除感染性动物所需的时间这一类的时滞.Hou 等[11]在布病方面做了很多工作，建立了一个动物布鲁氏菌病传播的通用 SEIB 动力学模型，考虑了动物布鲁氏菌病的一般发生率和潜伏期离散时滞τ并分析了模型平衡态的动态行为; 文献[12]建立了一个一般的动态模型及其相应的离散时滞模型，发现时滞对离散时滞模型的平衡点稳定性是没有影响的.此外，文献[13]建立了一个具有分布时滞的动物布鲁氏菌病的一般动力学模型，通过计算和数值模拟得出在满足假设 （H2） 的前提条件下分布时滞不会改变系统的动态行为这一结论; 最后数值模拟结果表明在不满足假设 （H2） 的前提下系统将经历周期振荡.Lolika等[14]建立了一个包含2个离散延迟的布鲁氏菌病模型，分析了模型的动力学性质.分析和数值结果表明在一定的条件下这2种时滞可以使系统不稳定，并导致 Hopf 分支.前面提到布鲁氏菌能在一定条件的环境中存活较长的时间，这一性质会导致环境中的布鲁氏菌是一段时间内的累积量，因此，本文将引入一个分布时滞来表示环境中布鲁氏菌的量.基于上诉考虑，本文将建立一个同时具有离散时滞和分布时滞的布鲁氏菌病模型.

1模型建立

2平衡点的局部稳定

3平衡点的全局稳定

4数值模拟

5总结

本文建立了一个具有不同时滞的动物布鲁氏菌病SIB动力学模型.在一般生物学意义的假设下，首先证明了系统（1）解的正性和有界性.然后通过构造适当的 Lyapunov 泛函，分析了系统（1）平衡点的稳定性，发现平衡点的动力学性质依赖于基本再生数R0：如果R0≤1，无论初始值如何，动物布鲁氏菌病最终都会灭绝; 如果R0>1，动物布鲁氏菌病的传播是持续的，并最终达到地方性稳定状态.这些结果表明，时滞对系统（1）的动态行为没有影响.

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Stability Analysis of a Brucellosis Model with Different Time Delays

WU Man，ABDURAHMAN Xamxinur（College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi 830046， Xinjiang）

Abstract：In this paper， a Brucellosis model with both discrete and distributed time delays is established. The existence and local asymptotic stability of the disease-free equilibrium and endemic equilibrium are studied. The global asymptotic stability of all kinds of equilibrium is obtained by constructing suitable Lyapunov functional. Finally， numerical simulation was used to explain the results， and the influence of the delay effect on the process of disease transmission was explored.

Keywords：Brucellosis; delay; stability; Lyapunov functional

2020 MSC：34D20; 34D23

（編辑 陶志宁）