初中生数学建模能力培养策略探索

■杨树波

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》明确指出，初中数学中的基础知识包括初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。在这一理念的指导下，教师应更加注重数学思想方法的形成和发展过程，注重数学思维的生成、数学建模能力的培养。数学建模的思想方法蕴含于抽象知识的形成过程之中。要培养学生的数学建模能力，教师需要具备专业的建模观念，注重概念框架的基本形成过程，模型建构的设计、推导、验证过程，方法设计的逻辑论证过程和问题探究的实践论证过程，引导学生思考、观察、归纳模型的建构过程。

一、在概念形成中进行数学建模

数学概念是数学对象内在的本质属性及其特征在人的思维体系中的规律性反映。在实施概念教学时，教师可以在概念形成过程中渗透模型化的数学思想、特殊与一般的辩证思想、分类的数学思想等，助力学生生长数学思维、挖掘数学思想方法。

例如，在教授苏科版数学八（上）“平面直角坐标系”时根据数学建模思想，笔者准备几种座位票，座位票的种类包含有排无号、有号无排、有排有号、排号互换、无排无号等，设计了“找朋友”的游戏，规则如下：教室各排从左到右依次是1 号、2 号……从第一排1号开始，学生从教师手中抽取座位票，然后寻找座位票位置上的朋友。找不到朋友的学生，请他们说说“找不到的原因”“如果要找到位置，还需补充什么条件”。学生的好奇心一下子被激发，立刻进入教师设计的情境中，体会到了从生活场景到数学问题的抽象概括，以及数学思维的形式化和数学表达的符号化。

有序数对模型的有效建立使数学化思维过程真实发生，让学生亲身经历了真真切切的数学建模的过程。学生在主动探索的过程中，知识得到生长，能力得到发展，数学思维得到提升，数学思想方法得到落实，领悟到数学建模在解决问题中的可行性和必要性。这样的数学建模是学生主动地、积极投入地接受学习的过程，学生学习的主体性得到充分发挥。

二、在规律探究中进行数学建模

数学建模教学是一个不断探索、不断创新、不断完善的过程。在定理、公式、法则等一般规律的科学探究过程中，教师应设计真实问题情境，积极引导学生自主归纳数学思想方法，启发学生通过感性的直观背景材料或根据已有的知识经验去发现规律；不要过早地呈现结论，让学生参与从问题提出到问题解决的全过程，引导学生领悟数学模型建构的一般方法，理解建立数学模型是解决实际问题的一种有效手段。

例如，在教授苏科版数学七（上）“有理数的减法”时，笔者首先给出“自学指导”：某地一天的气温是-3℃～4℃，求这天的温差。有的学生猜1℃，有的猜7℃。笔者先引导学生观察温度计，数一数某地这天的气温相差多少度，再引导学生列算式。学生列出4-（-3），不会计算。笔者引导学生联系小学减法的意义，可知：被减数-减数=差，变形得：差+减数=被减数。4-（-3）=（），其实就是（）+（-3）=4，而7+（-3）=4，故（）=7。因此，4-（-3）=7。而通过温度计，我们知道4+3=7。请学生观察上述两个算式有什么不同点。讨论中，有理数的减法法则就被学生很好地提炼出来了。

在运算法则动态生成的过程中，学生亲身经历了法则的探索过程，体会到成功的喜悦，最重要的是参与了数学分析、探讨、发现、建模等过程。学生在自主探索过程中，碰撞了思维的火花，经历了试错的体验，生成了必要的耐挫品质。虽然在自主探索中习得知识常常显得较为缓慢，但教育本来就是一种“慢的艺术”。在此过程中，学生的心智、情感、人格得以唤醒、激发、强化和发展。有了自主探索作为学习的基础和起点，学生数学思维的生长才是稳健的、久远的，数学建模思想的渗透才是根深的、牢固的和可持续的。

三、在问题解决中进行数学建模

数学建模思想的形成离不开问题的设计，数学的思想方法蕴含在解决数学问题的思考过程之中。数学问题的解决就是从未知到已知事实的一步步抽象、推理，遵循数学思想指引的方向，最后形成数学模型。因此，我们在教学中应当注重突出思维的形成过程，展现数学思想方法的应用过程，提升数学建模能力。

例如，在教授著名的“将军饮马”问题时，笔者创设问题情境，让学生理解并自主归纳了转化的数学模型。问题：有位将军从牧场放牧归营，先到河边让马饮水，然后回到营地，已知营地和牧场在河的同一侧，怎样走，才能使所行路线最短？

小组讨论后展示思考结果：我们都知道两点之间线段最短，要使所行路线最短，便要把牧场A、河边、营地B的折线行程转化为直线行程。那么，作出牧场A关于河岸的对称点A1（如图1），连接A1B，与河边相交于一点M，则由A到M再到B就是最短的行程。为什么这会是最短的呢？我们可以假设还有一个点M1，使A到M1再到B是最短的，如图2，从图中可知，由A到M再到B，实际是AM+MB=A1M+MB=A1B，而由A到M1再到B，其路程为AM1+M1B=A1M1+M1B。在△A1M1B中，可得A1B

图1

图2

通过对问题的步步探索，学生不仅系统理解了问题探究的本质，还促进了数学思维方式的自主生长、数学思想方法的凝练提升和数学模型的自主建构。学生面对各种新问题，既能迁移、联想熟悉的相关知识、技能、方法，来分析和解决新问题，又能独立自主地探寻、发现和选择解决新问题的途径及操作依据。问题解决后，学生再次交流思维方法的形成过程，逐步内化为自主建构的必要能力，形成从问题到素养的知识迁移。在这一过程中，学生获得了探索问题的乐趣，品尝到了成功的喜悦，增强了自主学习的动力，提高了分析问题和解决问题的能力。