简约识“倍”新视界

张晓锋?姚灵娣

【摘 要】倍数关系是常见的数量关系之一。理解倍的含义，关键在于有效建立“倍”的概念。王圣昌老师不走寻常路，从两个数量的关系入手，先引导学生和“倍”的内涵互动，从发现关系、明确关系到用除法算式表达倍数关系，从直观到抽象，从浅显到深刻，逐步实现数学化，教学简约、深刻，为一线教师开启了识“倍”新视界。

【关键词】倍的认识 概念 建构 数学化 简约

倍数关系是常见的数量关系之一。建立倍的概念，能帮助学生进一步理解乘法和除法的含义，扩大应用乘、除法计算解决实际问题的范围。教师应引导学生从具体直观到抽象思考，理解“倍比”是对相关数量进行比较的数学方法。理解倍的含义，关键是建立“倍”的概念。有些教师是以告知的方式，引导学生圈一圈、比一比，初步理解倍的含义，这可称之为告知“倍”。王圣昌老师先引导学生和“倍”的内涵互动，通过解决问题，借助除法算式发展概念，可称之为生长“倍”。

王圣昌老师教学“倍的认识”，仅用3张演示文稿（PPT），就呈现了一节非常有味道、有思维含量的数学课。3张PPT，对应3项逐步进阶的核心任务，每项核心任务中的几个子问题能较好地彰显学习任务的设计理念——低门槛、大空间、多层次，为每个学生提供思考与表达的机会，这也是全课最鲜明的特点。王老师充分肯定和鼓励每个学生的表达，并且把每个学生的想法都展示出来，资源捕捉意识特别好。他引导学生先和“倍”的内涵互动，从发现关系到明确关系再到用算式表达，通过解决问题发展概念，概念教学指向有意义的建构，真正体现了以学生的学为中心。这样的课应该就是如吴正宪老师说的“好吃又有营养”的数学课。

片段1：明确关系初识“倍”

呈现第一张PPT（见图1），图中包含4根黄瓜和12根香蕉的图片以及3个问题。

师：谁能说说你的发现？说一个就可以！

生1：黄瓜有4根。

師：这是不是数学信息呢？谁还有不一样的发现呢？

生2：香蕉有12根。

师：他说得对吗？还有不同的吗？

生3：黄瓜和香蕉一共有16根。

师：非常棒，黄瓜加香蕉有16根。

生4：香蕉比黄瓜多8根。

师：太棒了，你们能听懂他的意思吗？

生5：我认为还可以说黄瓜比香蕉少8根。

师：好，你把它倒过来了，黄瓜比香蕉少8根。

生6：香蕉是黄瓜的3倍。

师：你们怎么看？他突然讲了我们好像没学过的知识——香蕉是黄瓜的3倍。懂他意思的同学请举手。谁来说一说这是什么意思？

生7：黄瓜有4根，香蕉有12根，12除以4等于3，也就是说香蕉是黄瓜的3倍。

师（追问）：你们怎么看出来有3倍？3倍在哪里？第1倍在哪里？第2倍、第3倍呢？每倍都是几根？谁决定的？

（学生回答略）

师：你们能列出算式表示这4个数学信息里两个数量之间的关系吗？

学生用算式表示“黄瓜加香蕉有16根，香蕉比黄瓜多8根，黄瓜比香蕉少8根，香蕉是黄瓜的3倍”，算式分别为：4+12=16，12-4=8，12-8=4，12÷4=3。

师组织生交流。

师：你们都能列出算式表示它们之间的关系。谁来解释3倍这个问题？

生8：3×4=12。

师：谁来解释这个算式中每个数表示什么意思？

生9：4是香蕉的根数，3是把香蕉平均分成了3份，12是香蕉的总数。

师：这里有一个解释怪怪的，你们发现了吗？

生10：4是黄瓜的数量，3是3倍，12是香蕉的总数。

生11：12是香蕉的数量，4是黄瓜的数量，12÷4表示……（生一时语塞）

生12：12÷4表示把香蕉平均分成3份。

师：为什么除以4？为什么平均分3份，每几根一份？

一名学生上讲台指着图片演示平均分3份的等分过程。

……

【赏析】三个问题层次清晰、逐级递进。首先通过问题“你看到了哪些数学信息？”引导学生对黄瓜和香蕉的数量进行感悟。其次，教师通过问题“它们的个数之间有什么关系？”引导学生寻找合适的路径，表达数量之间的关系——求和关系、相差关系、倍数关系，并对不同关系用文字表达，完整建构出数量之间的关系。其间，教师还可以结合图形直观帮助学生思考，再通过追问帮助学生重点理解倍数关系。最后通过问题“你能用算式表示它们之间的关系吗？”引导学生用算式表示倍数关系。引导学生用抽象的算式表达数量之间的关系，既为学生提供表达关系的工具，也是数学化的过程，学生感悟了关系，明白了本质，就能用算式抽象表达，真正理解算式的含义，加深对倍数关系本质的理解。这是关于倍的概念的核心问题，也是学生学习“倍的认识”的关键——先确定标准，然后比较，看另一个数量相当于有几个这样的标准，也就是这个标准的几倍。这样设计，循序渐进，从直观到抽象，从文字语言到符号语言，最后紧扣数量关系中的倍数关系，师生、生生多边互动，可有效实现对“倍”的概念的完整认知与深度理解，学生自主建构，初步识“倍”，一步步实现数学化。

片段2：结合算式表达“倍”

呈现第二张PPT（图略），这是一道有思维含量的趣味练习，PPT上呈现了无序排列、大小相同的蓝色、绿色、黄色3种不同颜色的圆。蓝色有18个，黄色有9个，绿色有3个。课件中呈现3个学习提示：你能找到它们之间的倍数关系吗？如果要找出倍数关系，需要找到哪些数学信息？用算式表达你找出的倍数关系。

师：数一数，从图中你可以找到哪些倍数关系？要结合算式哦。

生先数再列出除法算式。

师：我建议你们数一个写一个，因为这道题的倍数关系不止一种。

师板书：绿3个、黄9个、蓝18个。

小组讨论发现的倍数关系。

师：请你来说一说。

生1：蓝色圆的数量是黄色圆的数量的2倍。

师：他是怎么知道的？算式应该怎样列？

生2：18÷9=2。

师：为什么用18÷9=2就能知道蓝色圆的数量是黄色圆的数量的2倍？谁再来说一说每几个一份？

生3：把18平均分成2个9，每9个一份，可以分成2份。

师：谁再来说说谁是谁的几倍？

生4：黄色圆的数量是绿色圆的数量的3倍。

生5：9÷3=3，9可以分成3个3。

生6：蓝色圆的数量是绿色圆的数量的6倍，18÷3=6。

师：也就是18里面有6个3。

【赏析】用大小相同、无序排列的3种颜色的圆设计一组练习，特别有创意。这样可以催生学生不同的想法：蓝色圆的数量是黄色圆的数量的2倍，蓝色圆的数量是绿色圆的数量的6倍，黄色圆的数量是绿色圆的数量的3倍。因为教师提供的图片中反映的数量关系比较丰富，所以学生找到的数量关系与表达的形式也较为丰富。学生能跳出图形直观，从图形个数的角度思考，用除法算式表达它们之间的倍数关系，不受图形无序排列的影响。这道练习通过“问题驱动—寻找信息—用算式表达”的递进顺序，让学生体会倍数关系的内涵，并明白数量和算式之间的逻辑关系，从而更好地理解“倍”的概念本质，知其然并知其所以然。借助除法算式学习“倍”，有利于促进学生理解從算式的角度表达倍数关系，从而逐步实现数学化。

片段3：实践感悟深入“倍”

呈现第三张PPT，图上有3种不同颜色的扣条和方块（见图2）。活动要求：用你手中的学具表示出4倍的关系。

图2

王老师为每一组学生准备了适量的两种学具，即扣条和方块，这两种学具都可以拼接。学生分组合作操作，他们选用若干扣条或方块，用合适的方式直观表达4倍关系。

分组操作前，王老师做适当引导。

师：操作前同学们首先要知道一个叫1倍，一个叫4倍。4倍关系不仅仅是数量上的，找找看，除了数量上有倍数关系，还能在其他地方找到倍数关系吗？

学生分组操作2分钟。

师：我们来看一下有几种表示方式。

展示第一种：4个方块（成田字格形状）是1个方块的4倍。

师：有没有4倍？除了数量是4倍关系，还看到哪里有4倍关系？

生：我看到大小有4倍关系。

师：从哪里看出大小有4倍关系？拿着1倍来比，第1倍在哪里？第2倍、第3倍、第4倍呢？

学生逐一放上去比对。

展示第二种：4条是1条的4倍。

师：有没有4倍？除了数量是4倍关系以外，还有什么是4倍关系？

生：我看出长度也是4倍关系。

师：到前面来比对。

学生到前面一倍一倍地比对，发现长度是4倍关系。

师：现在有个同学搭了这样的1倍，你觉得他的4倍应该有几个？（师高举着由4个方块拼成一排的组合体）

生：应该有16个。

教师拿出4个方块的组合体和16个方块的组合体，然后一倍一倍地比对，从长度上比对出是4倍关系。

师：如果这样是1倍，4倍应该有几个？（师高举2个方块的组合体）

师：如果是这样呢？（师高举由3个方块拼成一排的组合体）

……

【赏析】这个练习比较开放，能很好地帮助每个学生自主操作、深度参与，加深对“倍”数关系的理解。先放手让学生利用学具扣条和方块，自主创造倍数关系，使其在应用中深化对倍的理解；再通过丰富的直观模型，从数量、大小、长度等不同维度表达倍数关系，凸显倍数关系模型的本质。扣条可以表征个数、长度、面积的倍数关系，方块可以表征个数、长度、面积、体积之间的倍数关系，多维度表示倍数关系促使学生的认知更丰富、更多元。

纵观全课，教师仅用了3张演示文稿，第一张建构概念，让学生感受并表达数量关系，通过从图形直观到用算式表达的过程，促进每个学生建构对倍的认识；第二张巩固理解，并适度抽象，加强数学化，引导学生继续用算式表达倍数关系，借助精选的学习素材——3种颜色的圆片，帮助学生概括一般化的模型，进一步数学化；第三张实践深化，学生借助学具自主创造倍数关系，在丰富多样的表达“倍”的方式中探寻共同的本质属性，从而达成对概念本质的深度理解——倍数关系可以是个数之间的关系，可以是长度之间的关系，可以是面积大小之间的关系，还可以是体积大小之间的关系。教师充分利用学具即兴变式，在与学生对话和互动中促进学生借助丰富的直观模型深化认知，加深对倍数关系模型内涵实质的理解。