借助问题解决 优化数学教学

樊春健

［摘  要］ 随着新课改的推进，对提高学生逻辑思维水平的要求越来越高. 执教过程中，教师可借助解决问题的过程，逐步深化学生对知识的理解. 文章以“二元一次方程”的教学为例，从课前分析、教学简录以及教学思考三方面，对“如何借助问题驱动并深化学生对知识的理解”展开阐述.

［关键词］ 解决问题；知识理解；二元一次方程

数学是逻辑的起点，是学生形成良好认知的基础，在学习生涯中占有重要地位. 知识的产生与世间万物一样具有一定的自然性与发展性，每个知识的形成都经历了无数问题的论证［1］. 然而，教材所呈现的很多内容是简单直接的，掩盖了其发展过程，不利于学生的理解与应用. 因此，笔者在教学实践中，尝试通过问题解决的方式，帮助学生还原知识的形成过程，获得了一定的成效.

课前分析

1. 教学内容分析

不论是一元一次方程还是二元一次方程，都属于方程的范畴，可见两者之间存在一定的联系. 教学时，借助两者之间的联系，应用转化思想与迁移法实现重难点突破. 类比两者的解，不难发现它们之间存在从属关系，因此可沿用认知结构中原有的概念. 而两者间的主要区别：从名称上就能看出，元的个数与解的个数不一样；二元一次方程的求解方法更加复杂一些，它们的数学模型也有所差别.

2. 教学重点分析

本节课的教学重点主要有：①用类比法，通过一元一次方程的概念抽象出二元一次方程的概念；②深化学生对方程解的理解，且能完整地表达；③从实际问题出发，理解二元一次方程的基本模型，感知该方程的实际应用价值.

3. 学情分析

学生之前已经接触过代数式、方程等内容，对“解、元、次”的含义有所认识，基本了解方程、等式的性质. 鉴于此，本节课关键是让学生在自主探究中获得二元一次方程的概念、解以及基本模型特征等. 解二元一次方程的步骤，学生从未接触过，这是本节课学生待突破的难点. 在之前的学习中，学生已经接触过类比、转化与化归思想等，这对突破本节课教学难点具有重要意义.

4. 教学方法分析

一旦确定了教学目標，我们就可以根据学生实际情况，将目标进行分解，借助问题串驱动学生的思维，引发学生合作交流，让学生在交流中取长补短，完善认知，建构新知. 如本课教学中，笔者就紧紧围绕“3x+2y=20”这个方程精心设计问题串，引导学生在解决问题的过程中不断类比、转化，实现知识的迁移.

教学简录评析

问题1：方程2x+1=3，这是一个什么方程？

设计意图 低起点的问题，让学生回顾旧知，激活原有认知结构，为类比导出新知作铺垫.

生1：这是一个关于x的一元一次方程.

师：为什么这么肯定？

生2：从一元一次方程的定义出发，只要满足以下三个条件即可确定其为一元一次方程：①等式的两边均为整式；②存在一个未知数；③未知数的次数为1次. 其中，未知数的个数对应“元”，未知数的次数对应“次”.

问题2：已知3x+2y=20，这是一元一次方程吗？说明理由.

设计意图 启发学生理解“元”和“未知数”，通过与一元一次方程的类比，为学生自主抽象出二元一次方程的概念奠定基础.

生3：不是，这是一个方程无疑，但存在两个未知数，这可能是一个二元一次方程.

师：大家觉得有没有道理？

（学生纷纷表达观点，确定该生的回答是正确的）

师生共同总结：

（1）如果方程中的x，y均为未知数，结合一元一次方程的构成条件，不能满足“一个未知数”的条件，因而可否定其为一元一次方程. 从“元、次”的角度来分析，可以确定这是一个与x、y有关的二元一次方程.

（2）如果x、y中，有一个字母表示常数，那么另一个字母则为未知数，我们可以认为这是一个关于x或y的一元一次方程.

（3）想要判断一个式子是什么方程，关键要从概念出发.

（4）若没有明确说明，那么x，y都可以表示未知数.

评析 从以上教学过程来看，遵循了学生先行、交流展示与教师点评总结的教学模式. 当学生的思维被激活后，教师结合学生的观点，与学生共同交流，获得相应的结论，既体现了学生的主体性地位，又凸显了教师的引导作用，这是现代化数学课堂重要的模式之一［2］.

问题3：参考一元一次方程的判定条件，写出二元一次方程的主要特征.

设计意图 鼓励学生应用类比思想，结合原有认知结构，自主建构完整的二元一次方程概念.

学生经思考后，获得以下结论：①方程的两边均为整式；②方程中存在两个未知数；③两个未知数的次数均为1次.

在学生的结论基础上，教师将二元一次方程完整的概念投影在电子白板上，以强化学生的认识.

问题4：（1）观察下列各式，其中二元一次方程是（    ）

通过以上交流，学生对解二元一次方程的基本解法已经有了一定的了解，大部分学生也能用这种方程来解决实际问题. 求解实际问题遇到求整数解时，学生呈现出两种重要的思路：①取任意值，逐一验证；②分析方程特点，根据条件获得取值规律与范围，从而获得问题的解.

问题12：球迷俱乐部组织64人乘坐汽车赶往赛场观赛，租赁了两类汽车，分别可乘坐10人与4人.

（1）若要求既不留空座，也不超载，可设计哪些租车方案？

（2）在（1）的条件下，如果10座车的租金为300元/天，4座车的租金为150元/天，怎样的租赁方案最划算？

设计意图 检查学生对本节课知识的理解与掌握程度，起到总结、巩固与提炼的作用.

教学思考

本节课教师通过对教学内容、教学重点以及学情的分析. 由浅入深地设计问题，驱动学生在自主探究过程中，不断地尝试、类比、思考与反思，有效地激发了学生的学习潜能，将传统的接受式教学模式转变为主动发现与探索的模式，充分体现了学生的主体地位.

教学过程结合学生的思维方式与元认知，有效地调动了学生的探究欲，激活了学生的思维，让学生亲历了知识产生及发展的过程，积累了良好的学习经验.

想让学生习得并应用概念，前提要理解数学的本质. 数学知识间存在一定的内在联系，教学时，引导学生发现新知与知识间的联系，通过类比、从属或共同的数学思想方法等，建构新知.

本节课，教师采取了“学生先行——交流呈现——教师评析总结”的模式. 在学生先行环节中，学生对问题产生了自己独有的感悟与体验，为学生对知识的理解打开通道，而交流呈现过程则能让学生在互补中获得认知，教师评析总结的过程即根据教学目标揭露问题本质，提炼总结，深化学生对知识的理解.

参考文献：

［1］ 涂荣豹. 数学教学认识论［M］. 南京：南京师范大学出版社，2003.

［2］ 张奠宙. 中国数学双基教学［M］. 上海：上海教育出版社，2006.