周威 童继稀 邓捷敏 曾文乐 张妮
【摘要】2023年的高考备考要围绕解析几何研究的两个问题——根据条件求曲线的方程、根据曲线方程研究性质来把握备考方向、备考常规及转向;在备考实践中,要把握“题”的分类与导向作用,选出具有代表性的、方向性的试题进行深入分析解析几何的本质、基本思想与方法;同时,不同题型的解题教学要体现“从关注知识”到“关注人”的转变.
【关键词】素养立意;解析几何;题型;实践
回顾2022年解析几何专题考查内容,依然表现在突出主干知识,重视解析几何的本质、基本思想与方法,考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养以及分析问题、解决问题的能力[1].因此,2023年在注重备考策略、备考常规及转向的同时,备考实践中,要从这些方面去把握“题”的分类与导向作用,选出具有代表性的、方向性的试题深入分析解析几何的本质、基本思想与方法,切忌“题海战术”.
1素养立意下的备考分析
《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》明确给出了解析几何这一专题版块的内容要求,即能够根据不同的情境,建立平面直线和圆的方程,建立椭圆、双曲线、抛物线的标准方程,能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系,能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题,从而可以从解析几何研究的两个问题——根据条件求曲线的方程、根据曲线方程研究性质来把握备考方向.
1.1总结归纳,把握备考方向
2022年高考数学对圆锥曲线与方程的考查,继续以圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质为载体,以基本概念,通性、通法为考查重点,落实“基础性、创新性、综合性、应用性”的考查要求,实现了对学生必备知识、关键能力和学科素养的全面考查,对今后的课堂教学和复习备考都起到了积极的引导作用.为了方便把握备考复习方向,以下给出2022年各地高考试题中解析几何专题内容的考查分析统计表(表1).
从以上统计的结果来看,每套真题卷几乎都能覆盖解析几何的所有知识点,其中基础题依然考查根据条件求曲线的方程,以及根据曲线方程研究基本性质;综合题还是聚焦几种常见题型,即求方程与性质命题的证明、与解三角形融合的面积问题、与函数思想融合的最值问题、有关定点定值的探究性问题等.
对近几年的高考命题特点以及备考策略,很多文献已有精心探讨(具体可参考文[1][2][3]).针对2023届高三数学的解析几何专题的备考复习,除了夯实基础知识,掌握思想方法,积累基本经验外,相应专题复习时的重点、难点值得特别关注.
1.2类化解法,注重方法迁移
解析化是实现用代数方法解决几何问题的关键环节,考查学生的推理论证和运算求解能力.在具体的解析化过程中,解题要能够从数量与数量关系、图形与图形关系角度出发,挖掘数量与图形及其关系的内涵特征,将几何问题坐标化,并最终转化为代数式,通过代数推理与运算得到代数结论,解决几何问题.素养导向的高考试题不仅强调知识和智力,更强调知识的迁移和后天的习得.
例1(2022年浙江卷第21题)如图1,已知椭圆x212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0,12在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-12x+3于C,D两点.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
评注此题第(1)问考查两点距离公式,第(2)问考查弦长公式,解题方法灵活,但两问落脚点都是最值问题,将函数思想与解析几何融合,突出了高考考查的综合性与创新性.以下通过设问方式、情境设置的变化,创设新的情境,变换设问角度和知识的组合方式,提升学生的科学探究能力和创新能力,发展学生的数学核心素养.
例2已知椭圆x212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0,12在线段AB上,直線PA,PB分别交直线y=-12x+3于C,D两点.
(1)证明:kAP·kBP为定值;
(2)若直线BC过椭圆的下顶点H,求|CD|的值.
例3(长沙市2023届适应性考试第21题)设A,B是椭圆x22+y2=1上异于P(0,1)的两点,且直线AB经过坐标原点,直线PA,PB分别交直线y=-x+2于C,D两点.
(1)求证:直线PA,AB,PB的斜率成等差数列;
(2)求△PCD面积的最小值.
说明例2依然是例1中的椭圆方程,第(1)问是常规的定值问题,体现的是例1中性质的结论,简单考查了直线代入椭圆方程的一般计算步骤,同时也为第(2)问计算奠定基础,减少运算量.例3中改变了椭圆的方程与直线方程,命题立意与例1的探究结论保持一致.因此,本题很好的将最值问题迁移到了命题的证明,以及特殊情形时的几何量求值.
1.3强化运算,突破运算难点
在解析几何综合问题的解决过程中,直观想象和数学运算两大核心素养有着非常充分的体现.解析几何问题的解决一般是在几何分析的基础上通过运算达成的,而学生在运算方面的表现具有很大的差异.教师要把运算能力的培养贯穿于整个课堂教学,着重分析“如何想、怎样算”,让学生理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法等,而不是把数学运算降格为数学计算,机械的套路化的解题训练.
例4(2022年新高考Ⅰ卷第11题)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则().
A.C的准线为y=-1
B. 直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D. |BP|·|BQ|>|BA|2
评注本题强化对基础知识、基本技能和关键能力的考查.试题中的A选项实质考查抛物线的方程和准线,B选项判定直线AB为抛物线的切线方程,而C、D选项展示了直线与抛物线相交时的两个特殊性质.试题的四个选项涉及常规算法,如直线与曲线的位置关系,需要联立直线与曲线方程,利用韦达定理整体代换进行求解,所得表达式有时候可以很快求解,有时候就需要一些技巧,此时考生容易卡壳.
2知识点与试题类型预测
2.1选择题型(含多选)
试题1(本题考查直线平行的关系)已知直线l1:3x+(m+1)y-2=0与l2:mx+2y+2=0平行,则实数m的值是().
A.2B.-3
C.2或-3D.-2或-3.
试题2(本题考查直线与圆的位置关系)已知直线l:(x-1)cosθ+ysinθ=1,圆C:(x-1)2+y2=1,则直线与圆的位置关系为().
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
试题3(本题考查椭圆定义的应用)设F1,F2是椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上,且|OP|=2,则△PF1F2的面积为().
A.12B.1C.2D.3
试题4(本题考查抛物线定义的应用)设F为抛物线C:x2=2y的焦点,点A在C上,点B0,32,若AF=BF,则AB=().
A.1B.2C.32D.322
试题5(本题考查抛物线的焦点)设O为坐标原点,直线x=4与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若∠DOE=60°,则C的焦点坐标为().
A.14,0B.13,0
C.12,0D.(2,0)
试题6(本题考查双曲线的基本性质与直接法求曲线方程)设F1,F2分别为双曲线x216-y2b2=1的左右焦点,已知双曲线的离心率为54,若点P满足kPF1·kPF2=-925,则点P的轨迹方程为().
A.x225+y216=1B.x225-y216=1
C.x225+y29=1D.x225-y29=1
试题7(本题考查椭圆的焦点三角形的性质)已知M(x0,y0)是椭圆C:x24+y2=1上的一点,F1,F2是C上的两个焦点,若MF1·MF2>0,则y0的取值范围是().
A.-22,22B.-33,33
C.-66,66D.-223,223
试题8(本题考查双曲线的离心率)已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为235的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为().
A.2B.3C.2D.3
试题9(本题考查双曲线的性质)设O为坐标原点,直线x=b与双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点,若△ODE的面积为6,则C的焦距的最小值为().
A.2B.4C.43D.8
试题10(本题考查椭圆的离心率)设P是椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)的上顶点,若存在以P为圆心的圆与椭圆C有四个公共点,则C的离心率的取值范围是().
A.0,22B.0,12
C.12,1D.22,1
试题11(长沙市2023届高三适应性考试第8题,本题考查圆与圆的位置关系)在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(0,t)(t>0),若该平面中不存在点P,同时满足两个条件|PA|2+2|PO|2=12与|PO|=2|PB|,则t的取值范围是().
A.0,62-1B.62+1,+∞
C.62-1,62+1
D.0,62-1∪62+1,+∞
试题12(本题考查曲线方程的特征)已知方程x2cosα+y2=1,则().
A.当α=0°时,方程表示圆
B.当0°<α<90°时,方程表示焦点在y轴上的椭圆
C.当α=90°时,方程表示平行于y轴的两条直线
D.当90°<α≤180°时,方程表示焦点在y轴上的双曲线
试题13(本题考查双曲线的基本性质)已知M,N为双曲线4x2-y2+64=0的两个顶点,P是双曲线上的动点,则下列结论正确的是().
A. 渐近线方程为y=±12x
B. 离心率为52
C.直线PM与PN的斜率之积为14
D. 点P到两渐近线的距离之积为645
试题14(本题考查直线与椭圆方程的综合应用)已知点A为椭圆x24+y22=1的右顶点,O为坐标原点,过椭圆左焦点的动直线l与椭圆相交于P,Q两点,则().
A.|PQ|有最小值2
B.若OP⊥OQ,则直线l的斜率为2
C.直线AP与AQ的斜率之积为定值
D.△APQ的面积有最大值2+2
试题15(本题考查直线与抛物线相交时的性质探究)已知抛物线E:y2=2px经过点P(2,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N,设O为原点,QM=λQO,QN=μQO.以下结论正确的是().
A.抛物线E的方程为y2=4x
B.直线PQ与抛物线E相切
C.直线l的斜率范围为(-∞,0)∪0,12
D.1λ+1μ=2
2.2填空题型(含一题多空题)
试题1(本题考查抛物线和双曲线的定义)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是双曲线x23p-y2p=1的一个焦点,则p=.
试题2(本题考查双曲线的性质关系)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率为3,则C的渐近线为.
试题3(本题考查点到直线的距离公式)抛物线C:y2=2x上的点到直线y=x+3的距离的最小值为.
试题4(本题考查动直线与圆的位置关系)若直线l:x-my+m-1=0与圆C:(x-1)2+y2=4相交于A,B两点,则△ABC的面积的最大值为.
试题5(本题考查直线与圆相交时的性质)已知圆x2+y2=4上恰有四个点到直线y=x+b的距离都等于1,则实数b的取值范围是.
试题6(本题考查两圆的公切线方程)写出一条圆x2+y2=1与圆(x-4)2+y2=4均相切的直线方程.
试题7(本题考查圆的几何意义及基本不等式的应用)已知x,y∈(0,2),那么x2+y2+x2+(y-2)2+(x-2)2+y2+(x-2)2+(y-2)2的最小值为.
试题8(本题考查圆的方程)已知等腰三角形ABC的顶点A(2,0),底边一个端点B(1,3),C点的轨迹方程为.
试题9(本题考查直接法求点的轨迹方程)已知椭圆x225+y216=1与直线l:y=kx+m有唯一的公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0),B(0,y)两点.当点M运动时,点P(x,y)的轨迹方程为 .
试题10(本题考查双曲线的离心率)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为-14,则C的离心率为.
分析由kAP·kAQ=yA2-xA2+a2=-b2(a2-x12)a2-xA2+a2=-b2a2=-14,可求C的离心率e=52.
试题11(本题考查抛物线焦半径的长度关系)过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线AB交抛物线于A、B两点,若满足|AF|<|BF|,且|AF| 、|BF| 、|AB|成等差数列,则直线的斜率为.
分析由|AF|+|AB|=2|BF|,得|BF|=2|AF|,|AB|=2|AF|,结合抛物线的定义可得kAB=±22.试题12(本题考查直线与曲线的位置关系)已知椭圆Γ:x2m2+y23=1(m>0,m≠3).过椭圆Γ上一点P作斜率为3的直线,与双曲线y25m2-x25=1有一个公共点,则m的取值范围为.
分析设直线y=3x+t,联立椭圆方程整理得(3m2+3)x2+23tm2x+(t2-3)m2=0,由Δ≥0,可得t2<3m2+3①;联立双曲线整理得(3-m2)x2+23tx+(t2-5m2)=0,由Δ=0,可得t2=5m2-15②.综合①②,解得m∈(3,3.
试题13(本题考查直线与双曲线相交时的定值问题)过双曲线x25-y24=1的右焦点F的直线与双曲线右支相交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D,则|AB||DF|= .
试题14(本题考查直线与直线,圆与圆的对称性)已知直线l:3x-4y+5=0,则与直线l关于x轴对称的直线的方程为 ;与圆x2+y2+4x-12y+39=0关于直线l对称的圆的方程.
图2试题15(本题考查几何法定义椭圆的方程)如图2是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球O1,球O2的半径分别为4和2,球心距离|O1O2|=210,截面分别与球O1,球O2相切于点E,F,则截口椭圆的焦距为 ;椭圆的长轴为.
分析设O1O2与EF相交于点M,由Rt△O1EM∽Rt△O2FM,可得|MF|=23,|ME|=43,则2c=|EF|=2;设球O1,球O2与圆锥母线分别相切于点T,S,可求得2a=|TS|=6.
试题16(本题综合考查直线与圆的位置关系)已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,则|PM|的最小值为;过点P作圆l的两条切线,切点为A,B,当四边形MAPB的周长最小时,直线AB的方程为.
分析如图3,结合题意,当|PM|最小时,四边形MAPB的周长最小,且|PM|min=5,此时AB‖l.结合勾股定理,利用点到直线的距离公式可求得直线AB的方程.
试题17(本题考查抛物线的正交弦长关系)已知F为抛物线C:y2=2x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,①1AB+1DE=;②AB+DE的最小值为.
分析设直线l1方程为y=kx-12 ,联立方程利用韦达定理求得AB=2k2+2.同理,DE=2k2+2.从而1AB+1DE=12k2+2+12k2+2=12;AB+DE=2k2+2k2+4≥8,当且仅当k=±1时等号成立,即AB+DE的最小值为8.
2.3解答题型
试题1(本题考查了定义法求曲线的轨迹方程,以及直线与曲线的位置关系等)已知圆C1:(x+5)2+y2=25和圆C2:(x-5)2+y2=1,动圆C同时与这两个圆相外切.
(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;
(2)过点B(1,0)的两条直线l1,l2,其中l1与Γ相切于点A,l2与Γ相交于的P,Q两点.求证:|BP|·|BQ|>|BA|2.
试题2(本题以抛物线为背景,考查对定点定值问题的处理求法)已知O为坐标原点,过点P(1,0)的直线l与抛物线E:y2=6x相交于A,B两点.
(1)判断直线OA与直线OB的斜率之积是否为定值;
(2)若点Q(2,0),连接AQ并延长交E于点C,连接BQ并延长交E于点D,求证:直线CD过定点,并求出定点坐标.
试题3(长沙市2023年适应性考试第21题,本题以椭圆为背景,考查相关性质的证明以及最值问题的求解)设A,B是椭圆x22+y2=1上异于P(0,1)的兩点,且直线AB经过坐标原点,直线PA,PB分别交直线y=-x+2于C,D两点.
(1)求证:直线PA,AB,PB的斜率成等差数列;
(2)求△PCD面积的最小值.
试题4(本题以双曲线为背景的结构不良形式呈现,考查相关性质的推理论证)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2,且焦点到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线左右两支分别交于M,N两点,给出下列三个论断:
①直线l过双曲线C的焦点; ②直线l与圆O:x2+y2=a2相切; ③|MN|=3.
以其中的一个论断作为条件,证明余下的两个论断互为充要条件.
3结语
素养立意的高考命题重视学科观念、规律的考查,考查学生扎实的学科基础,引导他们去形成思维中的惯性观念,并且能够合理的进行转化,将这些学科知识作为素养养成和发展的基础和先决的条件[4].由于不同的教学经验、不同的学生都会产生不同的解题教学过程,再加之从能力立意到素养立意的转变体现了“从关注知识”到“关注人”的转变,因此,备考实践中,一定要根据不同学校、不同层次学生的基础实践,聚焦“最近发展区”,才能起到“事半功倍”的效果.
參考答案
一、选择题
1.A;2.B;3.B;4.B;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C;10.D;11.D;12.ACD;13.BD;14.ACD;15.BD.
二、填空题
1.16;2.y=±2x;3.524;4.2;5.(-2,2);
6.y=1515x+41515,y=-1515x-41515,y=377x-477,y=-377x+477,写其中一条即可.
7.42;8.x2+y2-4x-6=0(x≠1);9.25x281+16y281=1(y≠0);10.52;11.±22;12.(3,3];13.253;
14.3x+4y+5=0;(x-4)2+(y+2)2=1(或x2+y2-8x+4y+19=0);15.2,6;16.5;2x+y+1=0;17.12;8.
三、解答题
略.
参考文献
[1]周威.素养立意下解析几何专题复习常规与转向[J].中学数学杂志,2022(03):62-65.
[2]周远方,张园园,范俊明.2021年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析[J].中国数学教育,2021(18):18-25.
[3]闻岩.领悟标准精神 把握教材教学——2022年高考“平面解析几何”专题命题分析[J].中国数学教育,2022(20):47-54.
[4]任子朝.从能力立意到素养导向[J].中学数学教学参考,2018(13):1.
作者简介
周威(1985—),男,中学一级教师,基础数学硕士,湖北省恩施州教育科学研究院高中数学教研员,恩施州高中数学教学指导委员会秘书;研究方向为教育评估与高中数学教育.
童继稀( 1984—) ,男,中学一级教师,基础数学硕士,长沙市首批基础教育兼职教研员;研究方向为高中数学教育教学;发表论文近30篇.
曾文乐(1995—),女,湖南衡山人,中学二级教师;研究方向为高中数学教育教学.
邓捷敏(1996—),女,湖南永州人,中学二级教师;研究方向为高中数学教育教学.
张妮(1994—),女,湖北恩施人,中学一级教师;研究方向为高中数学教育教学.