基于问题链的“随机抽样”教学设计

陈欣

一、源起——数学问题链教学的内涵与意义

新课程改革倡导数学教学要突出学生的主体地位，要求数学教学要让学生完成数学的“再发现”，经历数学学习的完整过程，积累数学活动经验，领悟数学思想方法，提高分析解决问题能力，发展数学核心素养.基于此，教学方式的变革成为具有时代意义的重要研究课题，问题式学习（PBL）这一学习方式也引起了广泛关注.

问题是数学的心脏，也是使数学课堂鲜活起来的源动力.数学问题链教学需要教师在数学教学中设计体现数学思维脉络的问题链，让学生有机会像数学家一样思考问题，构建数学知识体系，激发学生对学习价值的体验体会数学内在的严谨、理性的科学精神以及追求美等方面的人文精神，从这个角度来说，数学问题链教学回应了课程标准中培养学生核心素养的教育价值诉求，并为核心素养的培养提供了现实载体.因此，在教学实践中探索基于问题链的数学教学方式，对推进课程改革具有一定积极作用.下面，我以“随机抽样”的教学设计为例，详细阐述基于问题链教学设计的一般呈现形式.

二、实践——基于问题链的“随机抽样”教学设计

数据分析是当代公民必须具备的基本数学素养，而进行数据分析的前提是收集有效数据，即通过抽样调查获取能反映总体情况的样本，因此，上好“随机抽样”这一课，对高中生“数据分析”素养的培养会起到一定的引领作用.不少教师认为本节课主要介绍统计的基本概念，规定性的内容偏多，没有数学推理的过程展现，仅仅三个有着规定性操作步骤的抽样方法，何以在教学过程中体现数学学科核心素养的培养？事实上，采取数学问题链的教学方式，通过精心设计与学生生活密切相关的问题情境，不露痕迹地将整节课的内容串联起来，这种自然、简单又能揭示本质的教学策略，将会收到意想不到的效果.具体教学设计如下：

1.与时俱进，引入课题

上课伊始，PPT上展示的一幅《你好，李焕英》的剧照，激起了同学们的一阵热议，学生上课的激情一下子被调动了起来.

情境1：截止目前电影《你好，李焕英》的票房突破20亿，现在老师想了解一下，我们班有多少同学看了这个电影？

学生们纷纷举手，老师统计举手人数，并宣布调查结果.

问题1：在刚才的过程中，老师针对全班同学进行了调查，这种调查方式属于普查.是不是所有的数据调查，都要进行普查呢？

情境2：广东高考新政策“3+ 1+2”出台，为了解学生对新政策合理性的看法，是否需要对全省每位学生进行调查？

情境3：妈妈让女儿买草莓，嘱咐要品尝草莓是否香甜.女儿回来后，妈妈问：“买的草莓甜吗？”女儿：“都很甜！”妈妈：“这么肯定？”女儿：“我每个都尝过啦！”

问题2：以上两个情境中的调查为什么不能采用全面普查的方式呢？

设计意图：首先从时下热点话题引入，激发学生兴趣，体现数学源于生活.而后，给出的两个情境，一个是贴切学生生活实际的案例，一个是具有趣味性情景对话，通过不同问题情境的对比，说明了当总体容量很大或检测过程具有一定破坏性的时候，都不适用于普查，从而引出本课主题——抽样调查.

2.创设情境，形成概念

情境4：在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工作人员做了一次民意调查，调查兰顿和罗斯福中谁将当选下一届总统.为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表（注意1936年电话和汽车只有少数富人拥有）.通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎，于是此杂志预测兰顿将在选举中获胜.实际选举结果却截然相反，最后罗斯福在选举中获胜.

问题3：你认为预测结果出错的原因是什么？如何科学地抽样呢？

设计意图：有时抽出的样本能正确反映总体情况，但有时不能全面、客观、公正，甚至错误地反映总体情况。通过情境4的设置，让学生认识到如何科学合理地进行抽样，学生说：“此调查中只抽了富人没抽穷人”，教师进行提炼归纳：“要使得样本能比较准确地反映总体，抽样时必须坚持一个科学的抽样标准，即每个个体被抽到的机会相等”.

问题4：如果是你去买50根一盒的火柴，且准备抽样试验10根，为了保证这个样本具有代表性，你会怎么做？

设计意图：让学生从具体实例中明确使每个个体被抽到的可能性相等得以保证的前提是：抽样前将总体“搅拌均匀”，顺其自然地归纳出简单随机抽样的概念.

新知：一般地，設一个总体含有N个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本（n ≤ N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

教师强调定义的四个要点：容量有限、逐个抽取、概率相等.

3.新知探究，归纳方法

问题5：我们班有50名同学，现打算用简单随机抽样从中抽出10名同学检查视力，请阐述并完成这项调查的具体做法.

设计意图：通过学生熟悉问题情境，让学生明白当总体不能直接被“搅拌均匀”时，要采取抽签法，让学生自己说出抽签法的雏形，教师启发学生归纳出抽签法的一般步骤：

问题6：我校高一年级有700名学生，现要了解年级学生视力情况，需从中随机抽20名同学检查视力，用抽签法是否可行？为什么？

设计意图：学生感受到，当总体容量比较大时，编号、制签比较麻烦，搅拌均匀也很困难，那么有没有方法可以弥补抽签法的不足呢？由此自然顺利地过渡到随机数法，起到承上启下的作用.

为了让同学们了解体会随机数法抽样的具体过程，设置了以下师生活动：

老师拿出事先准备好的道具—一个放有10个大小相同小球的纸箱，每个球上分别标有0—9这10个数字，让一位学生从箱子里随机取出一个小球，并报出小球上的数字，另一位同学在黑板上记录下相应的数字，放回小球，摇匀后再重复上述操作……，数分钟后，黑板上布满了数字，由此得到了一张随机数表。

说明：为便于观察，一般将相邻两个数字放在一起，任意一个位置上的数字预先不知道，而且每个位置上的数是从0—9随机产生的.

设计意图：设计学生活动，教师引导学生通过抽签的方式自制随机数表，不仅调动了上课氛围，而且学生在游戏中亲身感受随机数表的形成及其特点，寓学于乐.

问题7：如何用刚刚得到的随机数表，完成问题６中的抽样？

设计意图：运用随机数表处理前面提出的问题，师生协作，概括出利用随机数表法进行抽样的一般步骤：

S1.将总体中的个体编号，且每个号码位数一致（编号）；

S2.在随机数表内任选一个数作为起点（定位）；

S3.从选定的起点开始按一定的方向读取号码（向左、向右、向上、向下均可），不在范围或重复的号码跳过，如此继续，取满为止（取号）；

S4.根据选定的号码抽取样本（取样）.

教学中可借助流程图对上述过程进行表征：

问题8：为了了解我校所有学生的近视的情况，使用简单随机抽样抽取部分学生作为样本，你认为是否合适？为什么？

设计意图：将视力调查范围进一步扩大，让学生明白，由于不同学年段学生的视力情况有显著性差异，采取简单随机抽样可能抽取出来的样本不能代表整体情况，因此必须在每一学年段都抽取出适量样本进行调查，顺其自然地引出分层抽样法.

新知：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随抽样.

问题9：我校共有学生9000人，其中小学生900人，初中生3600人，高中生4500人.为了了解我校学生的近视情况，从中抽取1000名学生为样本，应该怎样抽取？

设计意图：加深对分层抽样的理解，并掌握分层抽样的关键是保持抽样比不变，启发学生用分层抽样解决现实生活中的问题.

4.活学活用，实战演练

练习1.下列5个抽样中是简单随机抽样的为.

①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；

③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出6个号签.

④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里.

练习2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=.

设计意图：三个练习题分别对应了本节课的三种抽样方法，及时巩固训练，达到知识保温的效果.

5.反思总结，提炼精华

问题10：本节课你学习了哪些抽样方法？各自有什么特点？各适用于什么样的总体？

问题11：抽样调查之后，下一步要做的工作是什么？如何樣本数据进行分析？

设计意图：回顾总结本节课主要内容，让学生明白抽样的方法多种多样，但某一个抽样方法都有其优越性与局限性，针对不同的实际情况，应当选择适当的抽样方法.另外，抽样仅仅是统计的第一步，抽样之后需要对样本数据进行统计分析，问题12的提出预告了下节课的学习内容.

三、结语——问题链设计的思考与启示

在问题链教学中，问题启动了学生的学习，而问题与问题间所形成的的链是一种思维链，为学生的数学思考提供了基本的脉络和方向.因此，如何设置问题链中的问题成为问题链教学有效与否的关键。教师在授课之前要弄清楚：可以提出哪些问题供学生思考？为什么要提出这些问题？从哪些角度去分析问题？问题解决后，又可以提出哪些新的问题？这既是对教师数学功底的考验，也体现着教师上课的艺术.笔者认为，问题的设计具体可以从以下几个方面着手：

1.与时俱进，激发兴趣

数学来源于生活也应用于生活，任何一个数学知识点都可以在我们日常生活中找到影子，教师要善于将知识与当前实际紧密联系起来，了解学生的日常生活，课堂教学中从学生感兴趣的实际问题出发，激发学生学习数学的兴趣及探究数学的好奇心，充分发挥学生生活经验的作用，以学生为主体，营造良好的课堂氛围，为教学环节的顺利展开打下基础.

2.承上启下，前后呼应

数学知识的发展有其内在的逻辑规律，知识与知识之间也具有内在联系，教师要理清知识发展的主线和结构，明确教学目标，在此基础上设计课堂问题，思考并设计该主题学习过程中需要解决的核心问题及其辅助问题，其次，结合学生的学习实际设计体现数学思维脉络的问题链，使整个课堂问题的呈现脉络分明，构成互相联系的有机整体.

3.自然本真，不露痕迹

数学是自然的，数学知识的获得需要有一个萌芽、生长、成熟的过程，而教师脑海中的知识是“成熟”的数学，因此，教师要适当“忘掉要教的知识”，要把自己当作与学生一样的未知者，重走知识发展之路，经历知识的“再发现，再创造”过程，避免把“浮萍式”的知识硬塞给学生，要在问题的呈现方式及不同问题之间的过渡上多下功夫，课堂问题的提出不能过于突兀，立足学生认知水平，自然而不流露痕迹，实现平稳过渡.

【本文系教育部人文社会科学研究规划基金项目——中小学核心素养测评的模型建构与实证研究（19YJA880012）；中央高校基本科研业务费专项资金资助——基于学习分析技术的高中数学核心素养评价模型研究（CCNU19TS029）；中央高校基本科研业务费项目“教师教育专项”（CCNUTE2020-04）】

责任编辑 徐国坚