具非线性扩散项的分数阶脉冲时滞阻尼偏微分方程的振动性

林文贤

（韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041）

0 引言

分数阶微分方程常用于构建科学和工程研究领域中描述许多实际过程和现象的数学模型，如其常用于族群动态、神经网络、工业机器人、电路、最优控制、生物技术、经济学等问题中的数学模型当中。值得注意的是，大多数关于分数阶微分方程和脉冲偏微分方程的文献和著作都致力于研究解的存在性和唯一性[1-5］。近年来，关于各种分数阶微分方程和偏微分方程的振动性的研究已成为微分方程研究中值得关注的一个热点[6-13］。脉冲是一种瞬时突变情形，在现代科技和工程等领域的现实问题中普遍存在。涉及脉冲的数学模型一般都可表示为脉冲偏微分方程，这类偏微分方程在混沌学、保密通信、航空航天、风险控制、信息技术、生物学、医学、经济等领域中都有重要应用。然而，截至目前的文献显示，对具时滞的分数阶脉冲偏微分方程的振动性的研究较少[14-16］。目前分数阶脉冲偏微分方程解的振动性研究仍处于起步阶段，深入研究分数阶脉冲偏微分方程解的振动性，对丰富和发展分数阶偏微分方程定性理论具有重要的意义。

给出如下一类具非线性扩散项的分数阶脉冲时滞阻尼偏微分方程

本研究将讨论方程（1）在Neumann边界条件

下解的振动性问题，其中：α[∈（0，1）］是常数，Dα+，tu(x，t)是u(x，t)关于变量t的α阶Riemann-Liouville 分数阶导数，ℝ 是实数域，Ω 是在ℝn上的有界域，其边界∂Ω 是光滑的，且= Ω ∪∂Ω，ℝ+=[0，∞)，Δ 为拉普拉斯算子，ν为边界∂Ω的外法线方向向量。

在本研究中，总假设下列条件成立：

(H1)0 ＜t1＜t2＜…＜tk＜…是 固 定 点 列 且kl→im∞tk= +∞，εk＞-1(k= 1，2，…，τ)，δi是 正 常 数，i=1，2，…，m；

(H2)b(t) ∈C1(ℝ+，ℝ+)，a(t)，ai(t) ∈CP(ℝ+，ℝ+)，p(x，t)，q(x，t) ∈CP(× ℝ+，(0，∞))，这里CP表示具有以下性质的分段连续函数类：仅在t=tk(k= 1，2，…) 为第一类间断点且在该处左连续；P(t) =

(H3)f(u) ∈CP(ℝ，ℝ)，且当u≠0时M，其中M是一正常数；

(H4)h(u)，hi(u) ∈C(ℝ，ℝ)，uh′(u) ≥0，uh′i(u) ≥0。

方程（1）满足条件（2）的解是指函数u(x，t) ∈C1+α(× ℝ+，(0，∞))和Dα+，tu(x，t)以t=tk(k= 1，2，…)为第一类间断点且在该处左连续的分段连续函数，即

方程（1）满足条件（2）的非零解u(x，t)称为在G内是振动的，是指它既不最终为正又不最终为负。否则，就称为是非振动的。

1 预备知识

定义1[1]33称

为函数y：(0，∞) →ℝ 的α阶Riemann-Liouville 分数阶积分，如果式（3）的右端在(0，∞)上是逐点定义的，这里α＞0为一常数，Γ是通常的Gamma函数。

定义2[1]33称

为函数y：(0，∞) →ℝ 的α阶Riemann-Liouville 分数阶导数，如果式（4）的右端在(0，∞)上是逐点定义的，这里α＞0为一常数，n=[α]+ 1，[α]是α的整数部分。

定义3[1]36称

为函数u(x，t)关于t的α阶Riemann-Liouville 分数阶偏导数，如果式（5）的右端关于t在ℝ+上是逐点定义的，这里α∈(0，1)为一常数。

引理1[13]2假设y(t)是方程（1）的一个解且

则F′(t) =Γ(1 -α)Dα0+y(t)。

引理2[17]368假设y(t)∈C2([t0，∞)，ℝ)且y(t) ＞0，y′(t) ＞0，y″(t) ＜0，t≥t0，则对于∀θ∈(0，1)，存在t1≥t0使得y(t) ≥θty′(t) (t≥t1)。

引理3[18]366设φ(t)，ψ(t) ∈CP(ℝ+，ℝ)是局部可积函数且ψ(t) ≥0 (0 ＜t1＜t2＜…＜tk＜…)是固定点列且kl→im∞tk= +∞，w(tk)=w(t-k)，bk＞-1(k= 1，2，…)，τ是正常数。若

则脉冲时滞微分不等式

无最终正解。

引理4[18]366设φ(t)，ψ(t) ∈CP(ℝ+，ℝ)是局部可积函数且ψ(t) ≥0是固定点列且tk= +∞，w(tk)=w()，bk＞-1(k= 1，2，…)，τ是正常数。若

则脉冲时滞微分不等式

无最终正解。

2 主要结果

记

定理1若对某一t0＞0，有

且存在一个常数θ∈(0，1)，使得

证明假设方程（1）满足条件（2）的非零解u(x，t)在G内是非振动的。不失一般性，设存在T＞0，有u(x，t)＞0，u(x，t-δi)＞0，F(x，t) ＞0，F(x，t-τ) ＞0，(x，t) ∈Ω ×[T，∞)。当t≥T，t≠tk时，对方程（1）中第一个等式的两边关于x在Ω上积分，有

由Green公式和边界条件（2）可以得到

这里dS是∂Ω上的面积元素。

同理可得

又由(H2)和(H3)有

令V(t) =∫Ωu(x，t)dx，t≥T，则V(t) ＞0，t≥T。联合式（9）～（13），可以得到

利用引理1，由式（14）可得

进而有

可 以 断 言，F′(t)＞0 (t≥T，t≠tk)。事 实 上，若 不 然，则 存 在T1＞T，使 得F′(T1)＜0。由 于(s)ds)F′(t)在[T，∞)上单调递减，故有

于是有

因此，tl→im+∞F(t) = -∞，这与F(t) ＞0矛盾。

又由式（16）有

综上讨论有，F(t) ＞0，F′(t) ＞0，F″(t) ＜0（t≥T，t≠tk），由引理2，对定理1 中所给条件中的θ，存在T1＞T，使得

令Z(t) = exp(s)ds)F′(t) ＞0，由式（14）～（15）有

当t≥T，t≠tk（k= 1，2，…）时，对方程（1）中第二式的两边关于x在Ω上积分，有

结合引理1，由式（19）可得

注意到条件(H2)，于是有

因此函数Z(t) = exp(s)ds)F′(t) ＞0是脉冲时滞微分不等式（18）和等式（20）的一个最终正解。但由条件（8）和引理3可得，脉冲不等式（18）和等式（20）无最终正解，矛盾。

仿照定理1的证明过程，利用引理4可得如下定理。

定理2若式（7）成立，且存在一个常数θ∈(0，1)，使得

注1定理1和定理2表明，时滞量τ和脉冲量tk与方程（1）满足条件（2）的解在G内振动有关。

注2假设g∈C(∂Ω × ℝ+，ℝ+)，利用本研究的思想方法，考虑方程（1）在Robin边界条件

上或在Dirichlet边界条件

上的振动性，可以得到方程（1）满足条件（22）或满足条件（23）的振动性定理。