初中数学教学中学生知识迁移能力的培养路径探析

【摘要】任何学习过程本身都可以看作是已有知识、已有经验的迁移过程，数学学习也不例外。在数学学习中，知识迁移是一种较为普遍的现象，它是学习者获取数学新知识的重要途径和方法。将知识迁移理论运用于数学教学中，不仅可以培养学生的知识迁移能力，还可以大大提升学生数学学习的能力。

【关键词】知识迁移；初中数学；已有经验；路径

作者简介：杨丽萍（1982—），女，南京理工大学附属中学。

苏霍姆林斯基曾说过：“教学就是教给学生借助已有知识去获得新知识的能力，并使学习成为一种探索活动。”这句话强调了知识迁移的重要性。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教师应以学生已有的知识水平和现有的知识经验为基础，教学要面向全体学生，在教学过程中注重因材施教和启发式教学。为此，在教学过程中，教师要发挥好引导作用，处理好内容讲授与学生自主学习的关系，引导学生学会独立思考、自主探索以及合作交流，启迪学生思维的火花，让学生掌握基本的数学知识和学习技能，能体会并运用数学思想和方法去解决问题，从而获得基本的数学活动经验［1］。

在初中数学教学中，教师结合教学内容，运用知识迁移理论能够较好地激发学生学习的热情，加快学生接受和掌握新知识的速度。在这样的教学模式中，学生会慢慢形成知识迁移能力，发展一定的数学综合素养，这有利于学生对数学新知识的理解与掌握。本文就知识迁移理论在初中数学教学中的应用，从三个方面进行论述。

一、构建认知结构—培养知识迁移能力的前提

迁移能力指熟练进行同类型知识点的转换和运用的能力。若学生在学习过程中不能灵活地进行知识点的转化和迁移，主要原因是学生没有形成知识点之间的网络结构图。因此，构建系统性的认知结构是知识迁移的必要条件，能够让已有知识与新问题之间建立起实质性的联系，使新问题、新情境与已有知识同化，通过同化、类化将新知识并轨到原有的认知结构中。这样，新的情境、新的问题变成了学生熟悉的知识，能够减少学生对新知识的陌生感，让学生在不知不觉中实现知识的迁移和运用［2］。

例如，在教学一次函数的相关知识时，为了让学生了解一次函数的图像与性质，笔者通过列表、描点和画图的方法在平面直角坐标系中画出了一次函数y = 2x - 1的图像。通过图像，学生可以较为直观地看出函数y = 2x - 1的一些性质。这是进行函数研究的一般性步骤与方法。当学生已经了解了函数研究的一般流程，并在脑海中形成了一定的认知结构，这对学生后续学习新的函数，如反比例函数、二次函数等将起到积极的作用。在研究新函数的过程中，学生要看到新函数与一次函数在表达式上的差异，在利用已有旧知解决新问题时，要抓住新旧知识的链接点，这样学习才能事半功倍。当然，学生也要看到新知识的“增长点”，不能一味地照抄照搬旧经验。教师在教学中要引导学生进行有效的知识迁移，并鼓励学生将旧的知识经验进行再提升。

在刚开始研究二次函数y = x2的图像和性质时，有些学生感到无从下手。因此，在教学中，笔者首先带领学生回顾了一次函数y = 2x - 1的图像与性质的探讨方法，唤醒学生已有的知识结构，并在列表前引导学生思考二次函数与一次函数在表达式上的不同之处，从而引导学生思考如何将这种不同体现在列表上。在研究过程中，学生会发现，列表时表格中的数据可以从0开始对称地向正数、负数两边去取值，这种自变量取值的对称性，影响着该函数图像是关于y轴对称的图像，该函数图像不再像一次函数的图像是一条直线，而是一条平滑的曲线，即二次函数y = x2的图像是关于y轴对称的抛物线。

接着，笔者让学生对函数y = |x - 1|的图像与性质进行研究，并写出该函数具备的三条性质。学生对于这种含有特殊符号—绝对值的函数是第一次接触，不知从何下手。因此，笔者引导学生进行思考，让学生想想这个函数在形式上和他们已经学过的哪类函数最接近，学生不约而同地想到了一次函数。笔者再引導学生将该函数转化成熟悉的一次函数。不少学生都

想到了去绝对值，进而得到函数形式。

为了引导学生进一步探究该函数的性质，笔者让学生在同一平面直角坐标系中分别画出x≥1时，一次函数y = x - 1的函数图像，以及x＜1时，一次函数y = 1 - x的图像。在完成以上操作后，笔者以问题引导学生，让他们思考在研究函数时，一般从哪些方面谈论函数的性质。学生能够回答：“函数的对称性、增减性以及函数的最值等”。当学生掌握了这些经验后，解决函数问题自然就轻而易举了。最后，笔者要求学生仔细观察平面直角坐标系中y = |x - 1|的图像，思考该函数图像具备哪些性质。学生可以得出答案：1.该函数图像关于直线x = 1对称。2.当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大。3.（1，0）是该函数图像的最低点，故当x = 1时，y有最小值0。

在函数问题的解决过程中，学生形成了函数相关的知识结构网络，在遇到不熟悉的函数形式时，能够根据已有经验去探究新函数的图像与性质。可以说学生认知结构的构建，是知识迁移能力培养的前提条件。

二、引导学生类比—培养知识迁移能力的关键

在数学学习中，学生需要做到举一反三、触类旁通。为此，在平时的教学中，教师应引导学生将知识点和问题进行类比与转化。“类比”是指将问题纳入同类型的知识结构中，并从这个结构中寻找解决问题的方法和策略的过程。“转化”也称“化归”，是数学中最常用的思想。转化思想的实质就是利用已经掌握的、简单的、基本的、具体的知识，把未知化为已知，把复杂化为简单，把不熟悉化为熟悉，把抽象化为具体等，从而解决各种新问题。学习数学的过程就是不断地把新问题转化为已经掌握的、熟知的旧知识的过程，从而将新知与旧知、未知与已知相链接，利用所构建的知识结构去“类化”新问题。类比和转化是联系新旧知识的桥梁，是培养学生知识迁移能力的关键。

例如，方程（组）是初中数学代数的重要组成部分，为初中数学学习和问题的解决提供计算上的保障。在初中阶段，学生最先学习的是一元一次方程。这类方程的求解比较简单，学生较易掌握。在学习分式方程、一元二次方程时，教师往往是将分式方程、一元二次方程和一元一次方程作比较，通过类比、转化的方式，引导学生通过去分母将分式方程转化为一元一次方程，通过降次将一元二次方程转化为一元一次方程。这样，学生能够较快掌握这两类方程的解法，更好地应有所学的新知识，提升解决问题的实践能力。

例如，在求解分式方程 = 时，许多学生感到无从下手。为此，笔者引导学生从已经学过的一元一次方程出发，如 = ，让学生回忆该方程是如何求解的。学生异口同声地回答：“去分母。”接着，笔者让学生比较这两个方程的区别和联系。部分学生通过类比找到了解决该分式方程的突破口—两边同乘x（x + 1），去掉分式方程的分母，可得到一元一次方程20（x + 1） = 24x，这样就轻松求解了该分式方程。在教学中，教师要特别提醒学生，解分式方程相对于解一元一次方程，多了去分母的这个步骤，因为两边同乘的是代数式，不能确定该代数式一定不为零，所以解分式方程还需要检验。

再例如，在求解（2x - 1）2 - x2 = 0时，学生已经学过的方法不适用于解此方程。因为学生对平方差公式较为熟悉，所以他们容易想到将左边因式分解得到（2x - 1 + x）（2x - 1 - x） = 0，即（3x - 1）（x - 1） = 0。通过类比“两个因数的积为零，至少有一个因数为零”，学生可得到“两个因式的积为零，这两个因式中至少有一个因式为零”。这样，（2x - 1）2 - x2 = 0就可以转化为两个一元一次方程3x - 1 = 0或x - 1 = 0，问题迎刃而解。

可见，数学教学中类比和转化的恰当应用，能够让学生通过已有知识的有效迁移，理解、应用新知识。因此，在教学中引导学生将新旧知识进行类比、转化，是培养学生知识迁移能力的关键。

三、提高学习能力—培养知识迁移能力的目标

数学的教学，要注重学生数学核心素养的培养。为了培养学生的核心素养，初中数学教师要重视培养学生的知识迁移能力，从而使得学生的数学综合学习能力有所提升。在传统教学中，部分学生的知识体系零散、不完整，他们往往对知识点的掌握不够透彻，看不出知识点之间的内在联系，因此也无法实现知识的顺利迁移。而当学生具备知识迁移能力后，他们便可以实现知识点之间的贯通理解和互相转换，避免在学习中死记硬背，这有利于学生认识知识点的本质和规律，从而进一步完善自己的知识结构网络，提升数学学习的能力。在教学中，教师不妨设计阶梯型问题和变式问题等来引导学生进行深度思考，让学生运用已有知识和已有经验解答问题，实现知识的迁移，从而完善学生的数学知识体系，提升数学素养。

以“根的判别式”这节课的教学为例，通过上节课求根公式的推导，学生已经掌握了一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的根的情况，即当b2 - 4ac＞0时，该方程有两个不相等的实数根；当b2 - 4ac = 0时，该方程有两个相等的实数根；当b2 - 4ac＜0时，该方程没有实数根。在学生得到这几个重要结论之后，笔者为学生设计了这样的配套练习：1.关于x的一元二次方程x2 - （2a + 1）x + a2 = 0，当a满足什么条件时，方程有两个不相等的实数根？2.试说明k为任何实数时，关于x的方程x2 + kx - 1 = 0必有两个不相等的实数根。

第1题对于学生而言比较容易，只要求出判别式b2 - 4ac = 4a + 1＞0，就可以求出a的范围。而第2题是一个证明题，部分学生在读题后没有思路。为此，在教学中，笔者引导学生将第2题做分解：（1）请先算出这个一元二次方程的根的判别式，即b2 - 4ac = k2 + 4；（2）如果这个一元二次方程有两个不相等的实数根，那么判别式的符号有何要求？有了第1题的解题经验，学生很容易得到“要证明判别式大于零”的答案。此时学生再去观察判别式k2 + 4的形式，可以发现，无论k为任何实数时，k2≥0，所以k2 + 4＞0，即证得b2 - 4ac＞0，故该方程有两个不相等的实数根。

在学生解决完这两题后，笔者又增加了两个拓展题：3.已知关于x的一元二次方程x2 - （t - 1）x + t - 3 = 0，求证：对于任意实数t，必有两个不相等的实数根。4.已知关于x的一元二次方程x2 - （k + 5）x + k2 + 2k + 25 = 0，判断方程根的情况。在第2题的启发下，学生容易算出第3题根的判别式：b2 - 4ac = ［- （t - 1）］ 2 - 4×1×（t - 3） = t2 - 6t + 13。此時，笔者再引导学生将这个二次三项式转化为第2题中的形式，即表示成一个正的平方项和一个正数和的形式。部分同学豁然开朗，很快想到将这个式子配方得到b2 - 4ac = t2 - 6t + 13（t - 3）2 + 4，对于任意的实数，有（t - 3）2≥0，所以（t - 3）2 + 4＞0，即证得b2 - 4ac＞0，故该方程有两个不相等的实数根。

对于第4题，要判断该方程根的情况，学生自然需要算出根的判别式：b2 - 4ac = ［- （k + 5）］ 2 - 4××（k2 + 2k + 25） = - k2 + 6k - 25。有了第3题的解答经验，部分学生非常顺利地想到对这个二次三项式配方，这是学生知识迁移能力形成的一个直接表现。在笔者的引导下，以及通过和第3题的类比，学生找到了解决的思路，顺利完成了二次项系数为负数的二次三项式的配方，即b2 - 4ac = - k2 + 6k - 25 = - （k - 3）2 - 16。对于任意的实数k，有（k - 3）2≥0，故 - （k - 3）2≤0，所以 - （k - 3）2 - 16＜0，即证得b2 - 4ac＜0，故判断出该方程无实数根。

在这节课的教学中，通过梯度型问题的设计，学生将已经掌握的知识逐步迁移到未知问题中，通过类比的方法解答出新问题，取得了较好的学习效果。

结语

总之，学生的数学学习与其已有的知识经验是紧密相连的，他们的学习过程是一个知识迁移的过程，是知识经验的激活、利用和提升的过程，也是建立在已有知识经验基础上的一个自主构建的过程。知识迁移能力的高低，直接影响到学生数学学习的效率。因此，教师应将知识迁移能力的培养融入日常教学中，充分发挥学生的主体作用，挖掘学生的学习潜能，逐步培养学生独立获取数学知识的本领，使他们习得数学技能，全面提升学生的数学学习能力和数学素养。

【参考文献】

［1］肖明娟.激活知识经验 生成灵动课堂［J］.中国民族教育，2021（09）：56-57.

［2］蔡爱华.迁移理论在初中数学教学中的应用［J］.数理化学习（教研版），2018（06）：9-10.