不等式的非负分拆新探

刘保乾

（西藏自治区组织编制信息管理中心，西藏 拉萨 850000）

1 引 言

在不等式的证明中，配平方证明是一个传统而自然的选择.当配方不容易达成时，人们将目光转向了非负分拆，即当把一个式子分拆成若干非负项之和后，不等式自然就被证明了.在三角形中，周长s、外接圆半径R 和内切圆半径r 是三个基本量，因而关于s，R，r 的不等式就是最基本的对称不等式类型.1998 年，褚小光通过把三角形中s，R，r 的不等式拆成若干非负项之和的形式证明了一类不等式，例如文献[1-2]中的Shc29，Shc31，Shc46（d）等不等式难题，就是通过这种方法证明的.文献[3]陈胜利等利用schur分拆证明了一类多项式不等式.文献[4]对一类四元五次对称不等式分拆进行了探讨.文献[5]借助于随机数验证程序实现了一类不等式的非负分拆证明.文献[6]进一步研究了三角形几何不等式的s，R，r 非负分拆.文献[7]何灯研究了一类三元对称分式的平方型分拆.本文拟对不等式的非负分拆作进一步探讨.

2 算法

2.1 非负分拆单元

要把一个不等式分拆成若干非负项之和的形式，就需要构造一些基本的非负分拆单元.所谓非负分拆单元是指由一些著名不等式或已有结果得到的非负表达式.文献[6]中列出了三角形中一些非负分拆单元.事实上，按照不等式证明的多样性要求，非负分拆单元是开放的，原则上一切证明了的不等式都可作为非负分拆单元列入.

下面列出三角形中一些基本常用且被人们所熟知的非负分拆单元：

另外还有非负分拆单元

v1＝s4－2rs3－2r（8R－r）s2＋6r2（4R＋r）s＋r2（4R＋r）2.

v2＝s4＋（－8R2－4Rr－10r2）s2＋16R4＋16R3r＋44R2r2＋28Rr3＋5r4.

v3＝9s6－r（－r＋180R）s4＋r2（584R2＋55r2＋384Rr）s2－r3（4R＋r）3.

其中v1≥0 可以通过展开

获得证明.v3≥0 可通过展开

（3a2－（b＋c－a）2）2（b－c）2＋（3b2－（a＋c－b）2）2（c－a）2＋（3c2－（a＋b－c）2）2（a－b）2

得到证明.这三个非负分拆单元均有特殊的零点.注意在本文后面的例题中要多次用到上述非负分拆单元.

对于多项式不等式，schur 型不等式可以作为非负分拆单元使用.本文所述的算法中多采用的是一些平方和类分拆单元，例如对于3 元对称式，分拆单元通式一个可能的形式为

（1）式中sym 表示完全对称求和.如果欲分拆的不等式是关于部分变元局部对称的，则可将（1）式中的求和号取掉得到局部对称不等式的非负分拆单元.对于4 元，有两种通式，分别是

对于（2）式，由于基本对称项关于变元x2，x3，x4对称，故求和后共有4 项，求和通式是

对于（3）式，由于基本对称项关于变元x1，x2对称（或者关于x3，x4对称），故求和后共有6 项，由文献[9]知求和通式是

对5 元，当基本对称项关于xi，xj对称时，完全对称求和公式是

由这些求和公式可方便地写出多元时具体的非负分拆单元.

2.2 quo-rem 非负分拆方法

quo 是Maple 语言多项式相除命令，返回值是两个多项式相除的商式；而rem 是Maple 语言的另一个多项式相除命令，返回值是两个多项式相除的余式.利用quo 和rem命令，结合文献[10]中的随机数验证程序就可以得到一个非负分拆方法.由于这个方法和这两个Maple 命令有关，故称这个方法为quo-rem 非负分拆方法.下面以三角形中的s，R，r 不等式为例来说明分拆算法.

设有ΔABC 中的齐次不等式f≡f（s，R，r）≥0，其中s 是ΔABC 的半周，R 是外接圆半径，r 是内切圆半径.有如下分拆算法QUOREM：

1.将f 按s 的降幂整理（按R 或r 的降幂整理也可）

2.构造非负分拆单元集S.

3.在S 中取一个非负分拆单元p1去除f，得商式f1，余式g1，从而得分拆式f＝p1f1＋g1.

4.用随机数验证程序检测f1和g1是否非负，如果是则输出非负分拆式f＝p1f1＋g1.同时检测S 中的非负分拆单元是否已经取完？如果取完则停机.如果还没有取完，则转向3.继续分拆.

QUOREM 分拆算法得到的分拆结果可能不止一个，也可能一个也得不到，这主要取决于分拆单元集S 的取法以及不等式f≥0 的强弱，因而QUOREM 分拆算法是试探性的.用QUOREM 分拆算法可以编写分拆程序qure，这个程序作为不等式自动发现与判定程序agl2012 的一个模块运行.

评注1 在应用qure 分拆程序时，实际上是逐次进行的，即先求出分拆式中的f1和g1，观察非负特征是否明显，如果次数高或非负性不明显，则继续用qure 命令对其进行分拆，即程序运行的方式是人机互动的半自动方式进行的.

评注2 在输出的结果中，如果g1的形式是若干因式的乘积，这种分拆结果最为理想，因为这意味着已经对f 降次了.

3 分拆实例

例1 ΔABC 中，wa，wb，wc是角平分线，证明不等式

其中∑表示循环和（下同）

证明 在不等式自动发现与判定程序agl2012 环境下，键入命令：

＞zzprg（wa/（3*r），tan（（1/2）*A）^2，1）；

则输出放缩式

不等式（8）容易证明.由（8）式知，要证不等式（7），只需证更强式

下面用qure 命令分拆f.连续使用qure 命令可得如下非负分拆式

其中

由于f3＞0 显然成立，又用Euler 不等式R≥2r 易证gi≥0（i＝1，2，3）成立，因此由（9）式知f≥0 成立，从而不等式（7）获证.

类似可证ΔABC 中的不等式

对于锐角三角形，分拆命令是qurer j，程序完全一致，只是加入了锐角三角形非负分拆单元数据而已.

例2 在锐角ΔABC 中，证明不等式

证明 由柯西不等式，要证（11）式，只需证更强式

不等式（12）化成用s，R，r 表示的形式为（注意下面的f 表达式有省略）

f＝r2s8－（16R4＋16Rr3＋16R2r2－4r4）s6…≥0.

键入命令：

＞qurerj（f）；

输出分拆式

3（R－r）4f＝3f1u10＋3r5u1g1.

其中

g1＝－8r8－20Rr7－6R2r6＋73R3r5＋80R4r4－56r3R5－160r2R6＋32rR7＋64R8.

f1＝－r2（R－r）3s6＋（16R5－18r4R＋12R3r2＋5r5－16R4r）（R－r）2s4…

（注意f1表达式有省略）由于g1有非负分拆式

g1＝64u18＋1 056ru17＋7 456r2u16＋29 384r3u15＋70 560r4u14＋

105 481r5u13＋95 664r6u12＋48 064r7u1＋10 240r8＞0.

故要证f≥0，只需证f1≥0 即可.为此，键入命令：

＞qurer j（f1）；

输出分拆式

3f1＝3（R－r）（2R＋r＋s）u4f2＋3r2g2.

其中

f2＝－r2（R－r）2s4＋（R－r）（6r5－15r4R＋8R3r2－16R4r＋16R5）s2＋

r（64R7－112R6r＋8r4R3－17r7＋68R4r3－45r5R2＋33r6R）.

g2＝－73R3r6＋192R4r5＋32r9－32r3R6＋8Rr8＋64R9－

104R2r7＋56R5r4－144r2R7.

由于g2有非负分拆式

g2＝16 200r9＋116 600r4u15＋40 960r3u16＋9 072r2u17＋1 152ru18＋

64u19＋86 140r8u1＋199 010r7u12＋262 007r6u13＋216 560r5u14＞0.

故要证f1≥0，只需证f2≥0 即可.但f2≥0 易证，从而不等式（11）获证.

对于代数不等式，quo-rem 非负分拆方法仍是适用的.由对称多项式基本定理知，一个对称型总可以用初等对称式表示出来，这样不论是欲证的不等式，还是非负分拆单元均可用初等对称式表示，从而形成使用Maple 命令quo 和rem 的条件，用类似于s，R，r不等式的方法实现非负分拆.

例3 设x，y，z∈R＋，证明不等式

证明 易证，不等式（13）等价于如下对称多项式不等式

f＝125σ2σ14－989σ3σ13－432σ2σ3σ1＋216σ32≥0.

其中σ1＝x＋y＋z，σ2＝xy＋yz＋zx，σ3＝xyz.为证明不等式f≥0，键入命令：

＞qureds（f）；

则输出分拆式：

f＝（125σ2σ1－989σ3）（σ13－4σ2σ1＋9σ3）＋（500σ2σ1－1 013σ3）（σ2σ1－9σ3）.

容易验证各分拆项都是非负的，例如

σ13－4σ2σ1＋9σ3

＝x（x－y）（x－z）＋y（y－z）（y－x）＋z（z－x）（z－y）≥0

是schur 不等式.而

等，故f≥0 成立，从而不等式（13）获证.

评注3 在分拆n 元对称型时，在程序qure 设计中使用Maple 的quo 和rem 命令时，要分别按初等对称式σi（i＝1，2，…，n）整理完成多项式的相除运算，从而增加非负分拆结果的多样性.

下面再举一个局部对称不等式的例子.

例4 设x，y，z∈R＋，证明当t＝6 时不等式

成立.

证明 当t＝6 时不等式（14）等价于

不等式（15）可变形为（2x－y－z）2f≥0，其中

f＝1 024x10＋（－5 120y－5 120z）x9＋…＋9 054y4z6－

7 800y3z7＋2 047y10－4 082yz9－4 082zy9.

键入命令：

＞qureds（f）；

则输出非负分拆式式（14）获证.

f＝（2x－y－z）8（4x2－4xy－4xz＋67y2－130yz＋67z2）＋

132（y－z）4（5y2＋12x2＋2yz－12xz－12xy＋5z2）×

（2x2－2xy－2xz＋y2＋z2）（3y2－10xy＋10x2＋4yz－10xz＋3z2）≥0.

从而不等

例5 设x1，x2，x3，x4∈R＋，证明不等式

证明不等式（16）去分母后等价于多项式不等式

f＝2σ14－7σ2σ12＋9σ3σ1＋16σ4≥0.

其中

σ1＝x1＋x2＋x3＋x4，σ2＝x1x2＋x2x3＋x3x4＋x1x4＋x1x3＋x2x4，

σ3＝x3x4x1＋x4x1x2＋x1x2x3＋x2x3x4，σ4＝x1x2x3x4.

下面对f 逐次进行分拆.用qureds 命令对f 分拆一次，得

其中

对f1再分拆一次，得

其中

令h（x，y，z）＝x（x－y）（x－z）＋y（y－z）（y－x）＋z（z－x）（z－y），则由schur 不等式知h（x，y，z）≥0，容易验证

故由上述分拆式知，f≥0 成立，从而不等式（16）获证.

例6 设x1，x2，x3，x4，x5∈R＋，证明不等式

证明 不等式（17）等价于f＝σ23－10σ32≥0，在本例中σi（i＝1，2，3，4，5）表示5 元初等对称式.键入命令：

＞qure5yt（2，6，f）；

得分拆式

其中

f1＝3σ22＋10σ4－7σ3σ1.

f2＝49σ23σ12－90σ24－1 000σ42－600σ22σ4.

因为

而f1≥0 已证，对σ3σ1－10σ4进行分拆得

其中

2M＝（x1－x2）2x3x4＋（x1－x2）2x3x5＋（x1－x3）2x2x4＋（x1－x3）2x5x2＋

（x1－x4）2x3x5＋（x1－x4）2x5x2＋（x1－x5）2x2x4＋（x1－x5）2x3x2＋

（x2－x3）2x4x1＋（x2－x3）2x4x5＋（x2－x4）2x1x3＋（x2－x4）2x3x5＋

（x2－x5）2x1x3＋（x2－x5）2x4x1＋（x3－x4）2x5x1＋（x3－x4）2x5x2＋

（x3－x5）2x2x4＋（x3－x5）2x4x1＋（x4－x5）2x1x3＋（x4－x5）2x2x1≥0.

4N＝（x1－x2）2x4x5＋（x1－x3）2x5x4＋（x1－x4）2x2x3＋（x1－x5）2x3x4＋

（x2－x3）2x5x1＋（x2－x4）2x1x5＋（x2－x5）2x3x4＋（x3－x4）2x1x2＋

（x3－x5）2x2x1＋（x4－x5）2x2x3≥0.

故成立f2≥0，从而不等式（17）获证.

评注4 笔者在分拆σ3σ1－10σ4时费尽周折也拆不尽，最后用配方的办法得到分拆式（18）.有趣的是，在（18）式中，M 和N 均不是对称式，且两者的项数相差很大，但按（18）式那样组合后却成为了对称式.如何解释这个现象？

评注5 另一个同样有趣的例子是：笔者在将多项式不等式

化成等价的三角形不等式后进行分拆，最后得到三角形中的有趣不等式

不等式（20）的一个特点是：不等式两边的量均是符号不确定的量.这类不等式十分罕见，笔者试图专门构造这类不等式却没有成功.

4 一类不等式的非负分拆方法

笔者在研究一个不等式时得到不等式

为了得到不等式（21）富有技巧性的证法，2023 年2 月20 日，笔者将不等式（21）发到“不等式之家”微信群，安徽的翟德玉给出如下解答：

笔者仔细地琢磨了这个解法，发现这个解法颇具有启发性，且有一定的普遍性，它适用于型如

的不等式的证明.为了便于发现解题规律，下面介绍一下翟德玉对不等式（21）的证明过程.

例7 设x，y，z∈R＋，证明不等式（21）.

证明（翟德玉）

在上述诸项中，一些项含有共同的因子x－y，按这个思路合并相关项，得到

从而不等式（21）获证.

在这个解法中，最关键的思路是“根据相同因子找出相关项进行合并”，最后得到配方式，这构成本解题方法的算法.事实上，根据这个算法，可以编写出更方便应用的程序cdypf，这个程序可以直接给出型如（22）的不等式配方形式，使用格式是：在agl2012环境下，键入命令：

＞cdypf（f（y，z））；

回车即得结果.注意f（y，z）是关于y，z 对称的一个表达式.

例8 设x，y，z∈R＋，证明不等式

证明 键入命令：

＞cdypf（（x^2＋y^2）*（x^2＋z^2）/（（y＋z）*（y^2＋z^2）））；

立即输出

故不等式（23）获证.

上述证明型如不等式（22）的方法对多元不等式也是有效的，此时的算法仍是“根据相同因子找出相关项进行合并”.先看一个四元的例子.

例9 设x1，x2，x3，x4∈R＋，证明不等式

证明 不等式（24）等价于

从而不等式（24）获证.

例10 设x1，x2，x3，x4，x5∈R＋，证明不等式

证明键入命令：

＞cdypf5y（（x2*x3＋x3*x4＋x2*x4＋x5*x3＋x2*x5＋x4*x5）*x1）；

立即输出（x1－x2）2（x3x4＋x4x5＋x5x3）≥0，从而不等式（25）获证.

5 结语和问题

quo-rem 非负分拆方法仅用了maple 的多项式运算命令和随机数验证程序，故相对来说是比较独立的.它有如下特点：一是算法是试探性的，分拆是否成功依赖于非负分拆单元数据集中的数据是否丰富，也与不等式的强度有关，很强的不等式一般不容易分拆成功.二是运算效率比较高，不论是多项式运算还是随机数验证，很快就能出结果.三是可以处理较高次数的不等式，这是quo-rem 非负分拆方法的独特优势.四是可以向多元不等式进行推广.由于非负分拆单元数据集是开放的，随时可以将已知的结果补充进去，这些都增加了quo-rem 非负分拆方法的实用性.

文献[4]指出，“由于分拆，暴露了对称多项式不等式内部的结构或框架，这有可能使我们根据这些看得见的线索，把一些较深刻的结果揭示出来.”分拆往往能够使我们看见一些新的东西，本文评注4 和评注5 又提供了两个新鲜的例子.

最后再提一个n 元不等式问题：设n 个正数xi（i＝1，…，n，n≥3）分成两组，第1 组有t 个数，且这t 个数的积记为M，第2 组数的和记为S，作商对求完全对称和得表达式又记f（x1，x2，…，xn）＝证明不等式

现列举几个具体的不等式.例如，当n＝4 时，对应于（26）式有不等式

n＝5，t＝3 时有不等式

n＝6，t＝4 时有不等式

等等.