MATLAB 在导数和积分中的应用

赵迎春，布仁满都拉

（赤峰学院数学与计算机科学学院，赤峰024000）

0 引言

高等数学是很多理科专业的必修课，如物理、化学专业。在很多问题中研究对象就是函数，如速度、温度和浓度都与时间和位置有关，即时间和位置的函数。所以了解函数性质是很重要的。讲高等数学时，可以简单介绍用MATLAB 计算导数和积分的方法，这样能提高学生的学习热情和应用能力。

1 函数极限

1.1 函数在一点处的极限

解：

（1）键入：

＞＞clear all; syms x; f1=limit（sin（x）/x，x，0）%求

回车得到：

f1=

1

（2）键入：

＞＞clear all;syms x;f2=limit（（x^2-4）/（x-2），x，2）%

回车得到：

f2=

4

（3）键入：

＞＞ clear all; syms x; f3=limit（abs（x）/x，x，0，'right'），%求

回车得到：

f3=

1

（4）键入：

＞＞clear all; syms x;f4=limit（abs（x）/x，x，0，'left'）%

回车得到：

f4=

-1

1.2 函数在无穷远处的极限

解：

（1）键入：

＞＞clear all; syms x; f1=limit（（x^2+1）/（3*x^2），x，inf）求

回车得到：

f1=

1/3

（2）键入：

＞＞syms x;f2=limi（texp（-x），x，-inf）%

回车得到：

f2=

Inf%正无穷

2 函数的导数

2.1 一元函数的导数

解：

键入：

＞＞clear all; syms x; y=log（x+sqrt（1+x^2））;y1=diff（y，1）;y2=diff（y，2）;%回车

键入：

＞＞y1

回车得到：

2.2.1 核心作者分析 通过检索得到的期刊进行整理、统计得到图2、表1。在文献计量学中，核心作者在学科内具有突出影响力，是学科发展演进过程中推动学科发展的内在力量[7]。

y1=

（x/（x^2+1）^（1/2）+1）/（x+（x^2+1）^（1/2））%一阶导数

键入：

＞＞y2 %二阶导数

回车得到：

y2=

（1/（x^2+1）^（1/2）-x^2/（x^2+1）^（3/2））/（x+（x^2+1）^（1/2））-（x/（x^2+1）^（1/2）+1）^2/（x+（x^2+1）^（1/2））^2

上面得到的结果有点长，可以用函数collect 整理简化表达式：

＞＞y1=collect（y1）

回车得到：

y1=

1/（x^2+1）^（1/2）

键入：

＞＞y2=collect（y2）

回车得到：

y2=

（-x）/（x^2+1）^（3/2）

2.2 多元函数的偏导数

解：

键入：

＞＞clear all;syms x y; z=exp（x/y）+x*y^2;zx=diff（z，'x'，1）% 求

回车得到：

zx=

exp（x/y）/y+y^2

键入：

回车得到：

zy=

2*x*y-（x*exp（x/y））/y^2

键入：

zxx=

exp（x/y）/y^2

键入：

zyy=

2*x+（x^2*exp（x/y））/y^4+（2*x*exp（x/y））/y^3

键入：

＞＞zxy=diff（zx，'y'，1）

回车得到：

zxy=

2*y-exp（x/y）/y^2-（x*exp（x/y））/y^3

3 积分

3.1 不定积分

计算（1）∫x cos 5xdx，（2）∫

x3(x2-4)(x+2)dx。

解：

（1）键入：

＞＞clear all;syms x C;y=x*cos（5*x）;int（y，x）+C

回车得到：

ans=

C+cos（5*x）/25+（x*sin（5*x））/5

（2）键入：

＞＞clear all; syms x C; y=x^3/（（x^2-4）*（x+2））;int（y，x）+C

回车得到：

ans=

C+x+log（x-2）/2-（5*log（x+2））/2-2/（x+2）3.2 定积分

计算（1）∫0π(x sin x)2dx。

解：

（1）键入：

＞＞clear all;syms x;y=1-sin（x）^3;int（y，x，0，pi）回车得到：

ans=

pi-4/3

（2）键入：

clear all;syms x;y=（x*sin（x））^2;int（y，x，0，pi）回车得到：

ans=

（pi*（2*pi^2-3））/12

π(1-sin3x)dx，（2）∫0