基于深度学习的课堂教学实践与思考—— 以“二项式系数的性质及应用”为例

南京航空航天大学附属高级中学 (210007) 戈 敏

数学深度学习是指在理解学习的基础上,在教师的引领下,学生带着自己的想法,围绕具有挑战性的学习任务,积极主动参与,并将它们融入原有认知结构,进而将已有的知识迁移到新的情境中,做出决策和解决问题的学习.它是触及数学知识本质,探究数学知识间相互关联,在理解的基础上更多关注分析、评价与创造层面的高阶思维的学习[1].笔者以在全市研讨活动中开设的公开课“二项式系数的性质及应用”为例,阐述基于促进学生深度学习的课堂教学实践与思考.

1 教材解读

“二项式系数的性质及应用”是苏教版《高中数学选择性必修第二册》第7章第4节第二课时的内容.本课时内容蕴含着丰富的数学文化、数学模型和数学规律,对本课时内容的深度学习有利于增强学生的爱国情感和学好数学的信心;四条性质的归纳过程可以促进学生观察发现、抽象概括及分析解决问题能力的发展;其中性质(3)和性质(4)的证明因需要扎实的学识基础和敏捷的思辨能力故为本节课的教学重难点,同时这也是促进学生发展逻辑推理素养和数学运算素养的良好素材.

2 教学目标

(1)经历从特殊到一般,归纳猜想、合情推理得到二项式系数的性质,让学生感受数学符号语言的简洁美,发展学生的数据分析和数学抽象核心素养.

(2)通过对二项式系数性质的严格求证,培养学生问题解决能力、合作能力、创新意识和理性精神,发展学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

3 教学过程

3.1 问题驱动,激发兴趣

生1:由特殊到一般.

设计意图:在对数学新知的探究过程中,若直接得到“通性通法”较困难,便可从特例出发,观察出具体规律,进而归纳得到一般性的结论.从特殊到一般,由具体到抽象,既是重要的数学思想与核心素养,也是学生获得四基、提升四能的基本途径之一.

3.2 深度探究,提出猜想

问题2 请进行特殊化取值,观察二项式系数的特点,你能得出哪些一般性结论?

生2:当n依次取0,1,2,3,4,5,6时,得到一系列特殊的二项式系数,计算出具体数值,观察发现每一行的二项式系数都是对称的.

生3:每一行的二项式系数都是两端向中间逐渐增大,中间的是最大值.

师生互动:大家横向观察的非常全面,还有其他观察角度吗?还能得出哪些结论?

生5:纵向观察,有1,2,3,4,5,6,…是等差数列.

生6:为了便于纵向观察,可以对数据做“居中处理”,得到了“杨辉三角”.观察发现除了两端的1以外,每一个数都等于它“肩上”两个数的和.

设计意图:在上一节课“二项式定理”的学习中,学生已经经历过从特殊到一般的数学思想的运用,此处,应充分挖掘学生的智慧潜能,鼓励学生深度参与、深度探究,畅所欲言.依据学情,学生对数据的处理通常采用“左对齐”和横向观察法,在此基础上,通过深度思考和合作探究,实现向对数据做“居中处理”和纵向观察法的最近发展区迈进,有利于强化学生的深度学习,提升学生分析问题和解决问题的能力,促进学生学会思考的思维品质的发展.通过插入视频介绍“杨辉三角”相关数学文化发展史,使学生增强爱国情感和学好数学的信心.

问题3你能把得出的结论用数学符号语言简洁的表达出来吗?

设计意图:数学符号语言是数学思维的外显形式,它反映了数学思维的特征,简化了数学思维的过程,是数学思维的载体[2].它相较于文字语言更具形式化、公理化、抽象化、简约化的特征.把数学叙述语言翻译成数学符号语言的过程,既是对知识的生成深入理解、深度思维并深度加工概括的过程,也是把握事物本质、发展数学抽象素养的过程,有利于学生积累从具体到抽象的实践活动经验,同时也为下一步对所获猜想正确性进行论证做好铺垫.

3.3 科学求证,建构新知

问题4 由“结论”上升到“性质”,需要给出科学的论证过程.上面的结论1和结论2在组合数的性质学习过程中已经实现证明,你能证明结论3和结论4吗?

生14:赋值,令a=b=1.

设计意图:性质的证明是本节课的教学难点,难点的突破需要学生扎实的知识储备、良好的心理素质和善于合作的协作能力,难点的突破过程有利于学生关键能力的培养和逻辑推理素养、数学运算素养的提升,有利于学生理性思维品质的发展和严谨求实的科学精神的生长.在不久前结束的数列专题中“数列的单调性研究”带来的正向迁移作用下,学生对于二项式系数的单调性研究能够独立突破.和性质的探究可借助多媒体技术,利用动画技术实现二项式定理中参数向具体数值的变化,助力学生提炼出“赋值法”.

3.4 深度体验,提升素养

例题证明:在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

练习已知在(a+b)n的展开式中:

(1)第4项与第8项的二项式系数相等,则n=__________;

(2)只有第5项的二项式系数最大,则n=__________.

设计意图:通过有针对性的习题训练,促使学生对于刚刚突破的重难点知识再度进行梳理巩固,促使四基落地生根,四能持续发展.通过练习,也促使学生形成规范化、严谨化的答题习惯,体悟数学学习的应用价值,发展数学运算核心素养.

4 教学思考

4.1 身临其境——深度学习是以学生亲历知识为导入

著名数学教育家张奠宙先生在他的《张奠宙数学教育随想录》中说道:“学习数学,经过由薄到厚和由厚到薄的过程,对所学的东西做到懂,彻底懂,经过消化的懂,我们的基础就算是真正打好了”.学习数学的第一步,是张先生所言的“懂”,是在亲历知识的发现、发生、发展过程中形成的对知识导入的必要性的深入理解,同时这也是学生思辨能力和创造能力培养的有效途径.二项式系数性质的探究过程,既是分析处理多组数据、多角度归纳得出结论、把结论转化为数学符号语言的过程,也是发展学生的数据分析、数学建模和数学抽象核心素养、培养学生的合作能力的过程.

4.2 渐入佳境——深度学习是以学生深度参与为主体

深度学习是学生感知觉、思维、情感、意志、价值观全面参与的、全身心投入的活动.[3]在本课时的课堂教学中,学生带着自己的想法,围绕性质证明这一具有挑战性的学习任务,积极主动参与,深入思考,尝试用定义法和赋值法解决问题,最终用准确的数学语言给出科学论证,从而将感性认识上升到了理性思维.性质证明解决之后能够将它们融入原有认知结构,进而将新学的知识与方法迁移到新的问题情境之中,解决新问题.这样的深度学习过程既能助力学生的四基四能真正落地生根,又能激发学生的学习兴趣与学习信心.

4.3 永无止境——深度学习是以学生终身发展为目标

深度学习既要“深”下去,也要“远”开来.具体地说,学生通过深度学习获得的求真的品质、求实的态度、充盈的精神文化和擅于思考与合作的习惯比知识本身更能促进学生全面地可持续地发展,这些高级素养应是教与学的核心,它会在学生走出校园之后引导学生终身学习,促使学生成为能够创造未来美好生活的社会人.也如史宁中先生所言:数学教育的终极目标是,一个人学习数学之后,即便这个人未来从事的工作和数学无关,也应当会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界.