数学“结构化”教学设计的实践与思考*——以《二元一次方程组》为例

何君青|江苏省南京市致远初级中学

当前，课堂教学仍存在“课课无关联，节节单一化”，“知识点”是教学、学习与评价基本单位的现象，这导致知识零碎、孤立，毫无结构体系可言，不利于学生的系统学习，更不符合新课标的要求.《义务教育课程方案（2022年版）》指出要“探索大单元教学，积极开展主题化、项目式学习等综合性教学活动，促进学生举一反三、融会贯通，加强知识间的内在关联，促进知识结构化”.“结构化”教学有利于学生形成知识间的网状结构，加强知识间的横纵联系，从而拓展思维深度、完善认知结构，最终提高教学效益，尤其是学生学习能力持续发展的效益.因此，教师需要提高自身站位，努力探索实施“结构化”教学的路径、方法，引领学生理解知识、迁移知识、开阔眼界，提升核心素养.下面，笔者以苏科版义务教育教科书《数学》七年级下册第十章《二元一次方程组》为例，阐述“结构化”教学的设计策略.

一、内容分析

笔者首先从课标要求、教材呈现两个方面对《二元一次方程组》这一章作了细致的分析，以便更准确地把握相关教学要求的精髓.

（一）课标要求

在对《二元一次方程组》这一章的具体要求方面，相较于《义务教育数学课程标准（2011年版）》，《义务教育数学课程标准（2022 年版）》仍将“能解简单的三元一次方程组”视为选学，仍要求学生“能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性”，即依然关注数学与实践的联系，可见将数学应用于生活的观点仍然是学习数学的重要前提，但有如下两点比较突出的变动.

其一，新增“理解方程的意义”，删去“体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”.张奠宙教授曾提出过方程的替代性定义“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系”［1］.可见方程意义的建构需要建立在对相等关系的理解上，而不是传统教学中所关注的形式化概念“含有未知数的等式是方程”.前一改动体现了对数学本质的更高要求，后一改动更贴合学生的认知规律，毕竟“方程是模型”这一概念过于抽象，学生不容易体会.可见模型意识虽然是方程体系学习的重点，但已经不再具体地要求表述，而是转变成引导学生在学习过程中去慢慢感悟，注重渗透，不强求一蹴而就．

其二，去除对“消元法”所作的“代入、加减”等具体条件的限制.可见已不再关注技巧性的操作，而着重于更为本质的内涵.此改动让学生的学习变得更灵活、更多样、更具探究意味，也更体现出二元一次方程组求解的思想，不再像以前那样过于形式化，这一点教师在设计教学时尤其要关注．

（二）教材呈现

在学习《二元一次方程组》之前，学生已经学习了一元一次方程的概念、解法及应用．二元一次方程（组）是有理数和整式运算的综合运用，也是今后学习待定系数法确定函数关系式的基础．教材中，《二元一次方程组》一章的编排与《一元一次方程》类似，均遵循“定义—解法—应用”的学习路径.该章主要学习内容包括：二元一次方程（组）的概念，二元一次方程组的解法，利用二元一次方程组分析与解决实际问题．“二元一次方程（组）的概念”的引入方式与“一元一次方程”一致：以丰富的问题情境引入，让学生在抽象、归纳的过程中，得到二元一次方程（组）的概念.对“二元一次方程组的解法”这一内容，教材凸显解二元一次方程组的基本思想“消元”，通过“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程，体现化归的思想.教材着重介绍了“消元”的两种方法：代入法和加减法．对“利用二元一次方程组分析与解决实际问题”这一内容，教材并未以实际问题的类型来划分，而是淡化烦琐的题型训练，突出一般策略的归纳、经验的积累，引导学生发展应用意识，体会数学学习的价值．

二、“结构化”教学设计及框架

（一）“结构化”教学设计

明确了《二元一次方程组》一章的课标要求、教材编排特点后，笔者对教材的结构、每节课的具体设想作出规划，并使设计内容凸显知识获得的关联性、方法研究的自主性以及经验运用的推广性.其“结构化”教学设计详见表1.

表1 《二元一次方程组》“结构化”教学设计

（二）“结构化”教学框架

二元一次方程（组）、三元一次方程组的概念教学，各版本教材均从丰富的素材引入，在大量的实际情境中抽象出数量关系，从而建立沟通已知量与未知量的等式，布列方程（组），建立起刻画实际情境的数学模型.而上述设计则以概念建构的方式进行教学，让学生类比一元一次方程的学习，自己给出相应二元一次方程（组）、三元一次方程组的定义，从而加深对“元”和“次”的理解，并在此过程中明确二者的区别与联系，发展创新意识和推理能力.这一设计凸显出内涵的一致性.

方程（组）的求解，依据的都是等式的基本性质或方程的同解原理，充分体现着转化与化归的数学思想.在“求二元一次方程组的解”的教学中，教师既应重视揭示求解过程中所体现的数学思想，强调通性通法，弱化技巧，又要逐步让学生感悟“消元法”的功用（能够简化问题，是解决“多元”方程组的一种策略），进而引导学生通过对“消元”的深刻理解，发展数学思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力.

建立方程模型，最重要的是寻找等量关系并用数学符号表达.只有正确寻找到题目中的等量关系，才能更好地列出方程.表格、示意图能够直观地体现出问题中蕴含的等量关系，因此借助表格、示意图分析问题并列出方程，仍然是该章教学中找寻等量关系以解决问题的有效方法.教师可类比一元一次方程相应的内容进行教学.

“解三元一次方程组”在教材中的定位是选学内容，教师可以将其视为本章的“大任务”，布置给学有余力的学生，让他们体会到研究方程的一般路径，并强化对“消元”的认识和应用，发展他们的应用能力.

基于上述分析，笔者设计了《二元一次方程组》“结构化”教学框架（详见图1）.

图1 《二元一次方程组》“结构化”教学框架

在明确了该章的教学顺序及每节课的设计意义后，笔者着重设计了每节课的关键环节，并结合“结构化”教学的特点，以问题串的形式展开教学，将知识、方法、经验有机融合.

从知识上看，学生在学习该章内容之前，已经完整地经历了对一元一次方程的探索和认识，故而将二者放在一起研究、区分，有助于学生后续对“元”与“次”扩展研究的理解.

从方法上看，在方程的学习上，学生总是经历“定义—解法—应用”的研究过程，而了解多元一次方程组的解法是重中之重，故笔者在该章的教学设计中就一次次明确并强化研究的路径、方法，这有助于学生在自主掌握、提升的基础上加深对多元方程组求解中的“消元法”的理解，进而在后续学习其他数学内容时能从一致性的角度加以分析、探索.

从经验上看，该章的设计始终通过类比、猜想、推理等方法进行探索、研究，能帮助学生积累丰富的学习经验，使其在发展推理能力、应用意识的同时，感悟从特殊到一般再到更一般的问题研究进程，继而举一反三，学会解决更多的问题.

三、“结构化”教学设计策略

“结构化”教学设计能帮助学生更好地理解和掌握学科的基本原理，实现知识与方法的迁移.其实施可分为两个阶段：一是设计阶段，二是调整阶段.

在设计阶段，教师先要结合课标、教材对所学内容进行科学分析，再根据学情重整单元框架、结构，甚至可以调整授课的顺序或内容，最后在课标、教材的指引及单元框架的统整下，将知识、方法、经验进行融合，制订出“结构化”教学设计.

在调整阶段，教师先要根据设计实施课堂教学，再根据课堂教学的得与失进行教学反思，最后修改、完善设计，从而实现教学设计的进阶，形成闭环.

根据以上论述，笔者设计了《二元一次方程组》“结构化”教学两阶段的框架（详见图2），努力在设计、调整的过程中掌握“结构化”教学的精髓，并尝试用如下策略进行“结构化”教学的探索.

图2 《二元一次方程组》“结构化”教学两阶段的框架

（一）知识的获得：关注内容联系

【设计1】

在“二元一次方程”一课的开始环节，笔者设计了如下一组问题.

问题1：前面我们学过什么方程？

问题2：今天我们将要学习一个新名词“二元一次方程”，你觉得它可能是什么意思呢？你的理由是什么？

问题3：你能试着写出几个二元一次方程吗？

问题4：你觉得二元一次方程的本质特征是什么？它与一元一次方程的区别和联系是什么？

【设计2】

在“三元一次方程组”一课的开始环节，笔者设计了如下一组问题.

问题1：前面我们学习了二元一次方程，若今天开展“三元一次方程”的研究，你觉得它的定义是什么？为什么会这样定义？

问题2：“三元一次方程组”又该如何定义？

问题3：你能写出一个三元一次方程组吗？

问题4：通过前面学习的经验，你觉得我们要如何一步步地研究三元一次方程组呢？

问题5：你为什么会这样一步步地研究呢？

分析：定义了“一元一次方程”之后，遵循从简单到复杂的研究路径，接下来将会开展二元一次方程（组）的研究.概念的获得实际上是掌握同类事物的共同关键特征，一般情况下，我们会采用概念同化和概念形成两种方式，而此处的两个设计用的都是概念建构的方式.这两个设计紧扣类比，一次次激活学生对“元”“次”的理解，引导学生在自主建构概念的过程中，感悟特殊与一般的关系，体会类似问题研究方法的一致性.从研究内容上看，设计2 是设计1 的延续和发展，教学设计中概念获得方式的一致性有利于学生更好地把握概念，弄清楚概念间的联系与区别.在这样的学习过程中，学生会不断地生成新问题并不断地解决新问题，这驱动着学生逐步提升能力、进阶思维，进而延伸至能够深刻理解多元多次方程.

（二）方法的获得：关注自主生成

【设计1】

在“解二元一次方程组”第1课时中，笔者设计了如下一组问题.

问题1：“在我校刚刚结束的篮球联赛中，规定赢一场得2 分，输一场得1 分.八（1）班赛了12 场，共得20 分.那么八（1）班赢了几场？输了几场？”你能解决这个问题吗？你用了什么方法？

问题2：用方程解决时，你列了什么式子？

问题3：有人列了昨天学习的二元一次方程组.那么，这个方程组你们会解吗？

问题4：你们是怎么想的？为什么这么想？灵感从何而来？

问题5：这样的解法合理吗？为什么？

问题6：还有其他方法吗？

问题7：同学们用了很多方法解上面的二元一次方程组，得到的结果是相同的.再做两题试试看.

问题8：想想看，解二元一次方程组时，你们用的方法有什么共同的特点？

问题9：将你们使用的多种方法归归类，发现区别和联系了吗？

问题10：现在大家明白解二元一次方程组的本质了吗？

【设计2】

在“三元一次方程组”一课中，笔者设计了如下一组问题.

问题1：你会解三元一次方程组吗？想一想，可能怎么去解呢？为什么你会这样想？

问题2：三元一次方程组和二元一次方程组解法的相同之处与不同之处分别是什么？

分析：越是由自然生长而得到的方法，记忆越是深刻、持久.设计1 一开始并未强求解决方法的一致，即算术方法、方程方法都可用.在问题聚焦后，则指向二元一次方程组的解决办法，并提出了如何求解二元一次方程组这一问题.学生在尝试的过程中，有可能运用“加减消元法”，也可能运用“代入消元法”，而运用“代入消元法”又有部分“代入”与整体“代入”两种情形.在这纷繁复杂的方法背后，教师要让学生体会并提炼方法的共同之处“消元”.这样的方法获得有助于学生加深理解.设计2 是“消元”的又一次运用，在巩固知识的同时，能帮助学生更深刻地理解“消元”.这两个设计紧扣“特殊与一般”的关系引导学生去研究问题，有利于发展学生的逻辑思维能力，使其将求解二元一次方程组的方法迁移到三元一次方程组上，在“特殊”中寻找出共性，从而体会方法背后的精髓，发展类比、迁移、推理等能力.

（三）经验的获得：关注学用结合

【设计1】

在“解二元一次方程组”第1 课时的末尾处，笔者设计了如下一组问题.

问题1：通过今天的学习，你对解二元一次方程组有了什么体会？

问题2：我们今天是如何一步步探索得到解二元一次方程组的方法的？

在“解二元一次方程组”第2 课时的末尾处，笔者设计了如下一组问题.

问题1：学习了二元一次方程组的定义和解法后，你觉得什么是三元一次方程组？

问题2：通过“解二元一次方程组”这两节课的学习，你觉得你会求三元一次方程组的解吗？说说看你的想法.

问题3：你能体会到解n 元一次方程组的一般方法吗？

【设计2】

在“三元一次方程组”一课的末尾处，笔者设计了如下一组问题.

问题1：通过今天的学习，你有哪些收获？

问题2：在今天的学习过程中，你对方程有了更深刻的体会吗？若给你一类“新”方程，你会研究这类方程吗？

问题3：今天的学习真的仅仅是学会了三元一次方程组的定义、解法吗？你还有其他收获和体会吗？

分析：学习了二元一次方程组、三元一次方程组的概念、解法后，让学生将其转化成可以熟练运用的知识、技能，从而解决问题，有利于学生更好地理解知识的本质.这两个设计均通过课时结尾处的反思式、拓展式问题，将特殊引向一般乃至于更一般，帮助学生打通知识联系的壁垒、勾连起整式方程的共通之处，使其加深对概念的理解，进而发展运算能力、推理能力.事实上，在学习过程中，获得对某一个知识的认知并不是最重要的，获得如何学到知识、方法的经验才是可贵的.这可以让学生学用结合，学会解决类似的问题，进而能提炼出一系列解题策略.

四、“结构化”教学设计的思考

“结构化”教学设计需整体把握教学内容，注重前后内容、方法、经验之间的联系，让学生在深刻了解数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义的同时，建立起对数学知识的本质理解，提炼出能打通数学知识之间关联、发挥核心作用的数学方法和有效经验，最终指向学生未来的发展［2］.

以此观照，上述《二元一次方程组》“结构化”教学设计，能够比较充分地揭示二元一次方程与一元一次方程在有关知识和研究方法上的纵横关联.一方面，在整式方程中“元”的数学本质统摄下，教师紧紧依靠类比的方式，剖析不同知识、不同结论在形成过程中的共同之处，可使学生所学过的一元一次方程的知识与研究方法，对学习二元一次方程（组）乃至三元一次方程（组）起到直接的启发作用，有利于学生感悟知识学习的整体性和研究方法的一致性，进而形成相对完整的知识结构和认知结构.另一方面，该设计紧紧抓住方程特殊与一般、一般与特殊的关系，借助学生对经验、知识与方法的及时迁移运用，使学生的经验、知识与方法不断得到内化，思维不断得到拓展和进阶.通过知识的拓展促进知识结构的优化，高度契合学生未来发展的目标，可发展学生的推理能力、运算能力和数学抽象能力.当然，“结构化”教学设计并不是只有一种方法和策略，其推进和完善仍有待于广大专家、一线教师的研讨、实践，从而真正实现学生核心素养培育的落地.