跨学科：数学思想方法融入高中地理教学的研究

李 敏|云南省昆明市官渡区第六中学

推进基于跨学科的课程综合化教学是我国深化基础教育教学改革的重要举措。作为一门研究地理环境及其与人类活动关系的学科，地理学科具有综合性、跨学科交叉性的特点，但在中学地理教学中，这种跨学科交叉性体现得并不明显，地理学科与其他学科的融合度也不够。这导致在面对真实世界和复杂地理情境时，学生难以有机融合各学科知识分析和解决问题。下面，笔者以高中地理学科为基础，探讨数学思想方法融入高中地理教学的必然性、应用和策略。

一、数学思想方法融入高中地理教学的必然性

在地理学科中，我们常常可以看到用数学来描述地理事物，对地理现象或规律进行解释性描述的现象，而各种地理公式的表达和推导、时间的计算、图表的分析、图实（图像和实际情况）变换等问题，其实也都可以借助数学知识和数学思维方法加以分析、解释。20 世纪中叶，计量运动和现代地理数学方法在地理学科中的兴起，使定量化成为现代地理学重要的研究手段和发展方向。随着现代数学和信息技术的发展，运用数学知识和思维方法以及计算机技术，可以科学处理地理数据、精准分析地理要素间关系、模拟地理系统演化规律、解释演绎地理规律、预测地理系统发展趋势［1］，从而为优化调控人地关系提供依据。

因此，将数学思想方法融入高中地理教学，既能不断丰富地理学习的手段，帮助学生了解现代地理学科的发展方向，又有利于学生在探索世界、探究问题时发现新的方法、拓展新的领域，培养创新思维和创新精神。另外，利用数学知识和方法学习地理，可以减轻记忆负担、减少机械刷题，有利于“双减”政策的落实。如赤道线速度并不要求识记，但在解题时往往 会用 到，这 时 只 需 要 利用V0＝C赤/T≈40000/24≈1670千米/小时（赤道周长除以地球自转周期）这一简单的数学知识处理即可［2］。

随着新一轮课程改革的实施，跨学科教学被提到重要位置，我们不能再对高中地理中的跨学科知识、问题视而不见，数学思想方法融入高中地理教学也将成为一种必然趋势。

二、数学思想方法在高中地理教学中的应用

（一）地理数据的获取和处理

一般情形下，地理实体或地理要素可以用数据表征。要获取有意义的地理数据样本，我们往往需要利用科学的数学抽样方法，包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。如要调查旅客到昆明世博园旅游的目的和需求，我们可以根据不同年龄段采用分层抽样的方式获取样本数据。将这些地理数据用数学统计学方法处理、统计、分析后，可以用平均数、方差等统计特征值刻画地理实体的某些特征，还可以进一步利用地理数据生成频率直方图、坐标图、雷达图等地理统计图表，从而直观反映地理事物的关系、分布或变化等特征。

（二）地理事象的表达和解释

数学在地理学科中的魅力在于它能以简洁的形式和严密的逻辑描述和解释复杂的地理问题［3］。第一，利用数学可以定义和表示重要的地理概念，如用二面角定义经度，用二面角的平面角表示黄赤交角、线面角定义太阳高度和纬度，用韦恩图表示相关概念之间的关系。第二，利用数学关系式或数学图像表达地理事象和地理规律，如正午太阳高度公式、地图比例尺、坡度、人口迁移率等。第三，利用数学知识和方法解释地理现象和地理问题，如利用三视图和投影的知识进行图实变换，以解释等高线地形图与地理实体（实际地形）之间的关系，又如根据正午太阳公式H=90°-｜φ-φ0｜（φ、φ0分别表示地表某地纬度和太阳直射点纬度）结合函数最值，可以解释“两地（太阳直射地和地表某地）纬度越接近正午太阳高度越大”的规律。

（三）地理问题的分析和解决

传统的地理方法以综合归纳为主，数学方法则以演绎推理为主，在高中地理中融入数学思想方法，可以实现定性与定量、归纳与演绎“两条腿走路”，拓展分析和解决地理问题的思路和手段。地理计算、地理图表分析等地理问题，可以直接利用数学知识和方法分析解决，如在等高线地形图中通过构造数列和不等式分别求等高距和高差范围，利用数学放缩法进行地理估算，利用函数、导数、统计、线性规划、数列等数学知识分析地理图表中的极值、变化趋势、变化率、拐点、值的分布等特征并映射相应的地理特征和要素，利用相关系数、显著性检验分析地理要素之间的相关性。

而更复杂的实践性或探究性地理问题的解决，往往需要构建数学模型，其基本思路和环节是：将地理情境问题数学化，建立数学模型；利用数学思想方法对数学模型进行求解、验证；将求解结论还原为地理问题，进而解释地理现象或得出地理规律。如利用数学演绎推理的方法研究正午太阳高度的变化规律，教师可以引导学生利用平面几何、立体几何、函数、三角函数等重要数学知识构建出正午太阳高度的数学模型，并利用函数思想、分类讨论思想、数形结合思想等重要数学思想方法推理、分析函数的单调性、最值等规律，最后还原成地理问题，得出正午太阳高度的纬度分布和季节变化规律。正午太阳高度变化规律的数学推演详见图1。

图1 正午太阳高度变化规律的数学推演

一般来说，不同的地理问题需要采用不同的数学模型或数学方法，如分析气候与某农作物产量的相关性，可以利用相关系数、回归分析法等数学知识方法构建回归模型，预测昆明市区人口的变化，可以利用趋势线法（直线、对数、指数、抛物线）构建数学模型。

三、数学思想方法融入高中地理教学的策略

（一）以大概念为统领，架构思维逻辑进路

要实现学科有机融合，需要以大概念为统领，寻找学科之间的思维触发器和逻辑联结点，并以此为支点架构思维逻辑进路。大概念能反映学科本质、认知方式、思维方法、价值观念，具有概括性、统摄性、普适性、可迁移性等特点，能够有效整合课程内容和促进思维结构化，大概念可以分为哲学大概念、共通（跨学科）大概念及学科大概念等级别［4］。哲学大概念概括程度和抽象程度最高，它为人们提供基本而系统的世界观、价值观和方法论，指导着人们的思想观念和思维活动；共通（跨学科）大概念是各学科共通的大概念，它有助于建立学科间的联系，打破学科间的壁垒，为学科融合提供逻辑节点和思维纽带；学科大概念融通学科内知识，统摄学科基本概念，揭示学科基本规律和基本思维方法。以各级大概念为统领，有利于自上而下厘清问题的来龙去脉，架构思维逻辑进路，为跨学科教学扫除思维障碍。

如设计鲁教版普通高中教科书《地理》选择性必修第一册第一单元第一节中“昼夜长短的变化规律”的教学时，教师可先以“世界是运动和变化的”宇宙观、“运动和变化是有规律的”和“规律是可以认识的”认识论、“从一般到特殊，从特殊到一般”方法论、“尊重规律，善用规律改造世界”价值观等哲学大概念作为思维指引、逻辑起点，再以“对应、关系、联系、变化、规律、归纳法、演绎法”等共通（跨学科）大概念为纽带，引导学生找出与昼夜长短变化相关的因素，然后用“函数是刻画真实世界中运动和变化现象最基本的数学工具”等数学大概念为指引［5］，引导学生对相关地理大概念［地理分布、地理关系（联系）、地理（变化）过程］构建函数模型进行表征，最后用函数类型、函数图象、函数的性质（定义域、值域、单调性、周期性、对称性）等数学基本概念，引导学生去探究昼夜长短的变化规律。以昼夜长短和函数为例，其大概念的层级对应关系详见图2。

图2 大概念的层级对应关系（以昼夜长短和函数为例）

（二）以知识融合为基础，加强学科关联与协同

实现跨学科融合的方式有很多，如基于真实情境真实问题的主题式跨学科教学，一个学科融合其他学科的渗透式跨学科教学，以探究解决自然界或社会问题为背景的研究性跨学科教学等，但不管哪种跨学科形式，学科知识内容的融合都是最基本的，也是培养学生跨学科思维和能力的起点与关键点。高中地理和数学学科的知识融合有如下两方面表现。

其一，表现在知识内容的融合上。如利用数学立体几何、三角函数、圆等知识，推解任意纬线的长度C=C0· cosφ（C0为赤道昼长，φ 为该纬线纬度）；又如将“各类土地利用付租能力随距离递减示意图”转化为最高付租函数（分段函数）表达形式，以更好地解释城市功能区分化的原因。

其二，表现在思想方法的渗透上。如在分析最短航距问题时：利用函数思想和数学建模可推导任意两地最短航距的数学表达式cosα=sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cos（θ2-θ1）或球面距离L=R·arccos［sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cos（θ2-θ1）］，其中，R表示地球半径，α表示球面距离对应的弧度，φ1、φ2表示两地纬度，θ1、θ2表示两地经度；利用分类讨论思想，则可讨论不同情形下的最短航距问题［6］。又如通过数学方法分析人口数据，不仅可以直观地表达一个地区的人口现状，还可以依据不同人口增长模式和人口增长率对若干年后的人口状况进行预测、评估，为制定合理的人口政策提供参考依据，从而更有利于培养正确的人口观念。

实现地理和数学知识的融合，还需要加强学科间的协同。首先，在地理课堂上，教师要有渗透数学知识和方法的意识和能力，通过应用数学，不仅能够帮助学生解决地理问题，还能够培养学生的数学应用、数学建模等数学核心素养。其次，对于一些难度较大、耗时较多的关联地理和数学的问题，教师可以先将地理事实作为情境编成数学探究题，通过数学课堂解决“数学问题部分”，如最短航距（球面距离）的计算公式、昼长的函数表达式等，再将“数学问题转化为地理问题”回归地理课堂，这期间需要地理教师和数学教师协同合作，课堂衔接也要紧密。课堂是学习的主阵地，教师要发挥课堂上学科融合教学的作用，这样才能久久为功，真正促进学生跨学科思维和能力的提升。

（三）以问题解决为导向，引导学生科学探究世界

学生天生具有探索世界的兴趣，在教育教学的过程中，我们应注重突出学生作为现实世界探索者的地位。现实的世界其实并无学科之分，它是一个融合的、整体的和系统的世界，不同的学科从不同的方面、不同的角度对其加以阐释。学生在感知、学习和探索世界时，往往也将其作为一个整体，从不同角度去构建自己的意义世界。这需要学生能够在学科学习的基础上整合各学科知识，从而保证所构建世界的完整性、科学性和真实性。

就知识能力水平和思维层次来说，高中生还难以独自探索生活世界中的复杂问题，因此教师需要结合学生的已有知识经验和最近发展区，针对明确的目标和主题，设计一些导向性、阶梯性的问题链（这些问题往往具有综合性和跨学科性的特点），引导他们科学地探索世界。问题链的设计既要情境化，指向真实世界和生活世界，又要有逻辑指引性，联通生活世界和科学（理论）世界，打通问题解决的路径，最终达到知识结构化和思维进阶的目的。在探索世界解决问题的过程中，教师要注意学科融合或跨学科方法的运用，让学生的探索过程变得更加自然、有力。

而要科学地探究世界，教师还需要按“有什么（为什么）”“如何办”“怎么样”“如何用”的流程激发并引导学生去发现、思考。“有什么”注重对身边世界的感知、体悟和观照，从生活世界中去发现问题，并从“为什么”的角度激疑启思；“如何办”关注采用什么样的方法对所观察的世界进行探究，这往往需要就研究对象构建模型、合理表征；“怎么样”要求对所构建的模型进行推理、求解，探寻内在的本质规律，实现从生活实践到知识理论的升华；“如何用”强调深刻认识探究对象的影响，并利用其规律对生活世界进行科学合理的改造，从而为社会经济发展服务。

如探究“昼夜长短的变化规律”，可以进行如下设计。

（1）通过生活作息可以感受昆明每日的昼夜长短状况以及不同季节昼夜长短的变化状况，通过手机还可以进一步查到昆明每日的日出时间、日落时间以及昼长时长等信息，由此引发学生思考“昼夜长短的变化有什么规律”“昼夜长短变化跟哪些因素有关”“怎么计算昼夜时长呢”等问题。

（2）利用地球仪、电筒等仪器、设备，结合板图演示太阳直射点不变时不同纬度地区的昼夜长短状况，以及同一纬度在太阳直射点变化时的昼夜长短状况，引导学生发现昼夜长短状况可以用（纬线圈上的）昼弧夜弧这一数学特征来表征、昼长和夜长可以分别用昼弧的弧度和夜弧的弧度相关数学关系式来表达。

（3）采用控制变量法，通过演示观察引导学生发现同一时间（太阳直射位置固定）不同纬度地区昼夜长短状况不同、同一纬度地区在太阳直射点位置变化时其昼夜状况也不同，据此推测昼夜时长与地表纬度及太阳直射点的纬度有关，然后根据数学知识和方法让学生推出昼长关于地表纬度、太阳直射点纬度的函数关系式，从而构建出昼长的函数模型［昼长t=

（4）根据昼长的函数模型和函数的性质，结合实验演示，演绎、分析昼长和极昼极夜现象的纬度分布及时间（季节）变化规律。

（5）分析我国北方高中生夏季和冬季学习作息时间的差异、我国冬季和夏季南北温差大小产生的原因，理解昼夜长短的影响，进一步让学生利用昼长函数的计算原理设计一个基于昆明昼夜长短变化规律的日期钟（如昆明不同日期的昼长对应的日出时间不一样，通过日出时间可判断日期），从而创造性地应用地理规律。

在这样的教学中，学生不仅是学习者，更是探索者、研究者和“科学家”，科学家精神和跨学科思维方法的运用也贯穿课堂始终。

（四）以评价为指引，助推跨学科思维的形成

相较于单学科学习，跨学科学习对思维的要求更高，难度也更大，如果没有很好的评价激励机制，学生很容易在跨学科学习的道路上半途而废。因此，教师要采用差异性评价、表现性评价、综合性评价相结合的方式助推学生跨学科思维的形成。差异性评价即在满足最低跨学科水平的前提下，教师要针对不同层次和水平的学生作出不同的要求和肯定性评价。表现性评价即对学生在跨学科学习活动中表现出来的态度、能力、阶段成就、合作精神、探究精神和不畏艰难的品质，教师要作出客观性的评价，以此激励学生进一步前行。由于控制变量法、函数模型等数学思想方法比较深奥，将其融入高中地理教学时，教师更需要及时地鼓励、肯定学生的表现。综合性评价即教师对学生利用跨学科思维解决问题的品质、知识储备、能力和创新精神等作出全面的评估，为学生职业生涯的规划、发展提供可靠的依据。

综上，数学等跨学科思想方法在高中地理教学中的应用，是对课程综合化教学的有益探索、尝试。通过这种用其他学科的眼光审视地理问题、用地理视角看待其他学科现象的方式，不同学科的知识、方法和思想得以相互渗透。这为地理的教和学提供了新方法、新路径，加强了学科的综合性，有利于培养学生综合运用学科融通的视角和方法探索世界、解决复杂情境问题的能力和思维品质。