指向思维发展的初中数学学习任务设置探究*——以实例“编制·评价·拓展”序列化任务为例

何 娜|浙江省杭州市大成岳家湾实验学校

在数学教学中培养学生的思维能力、提升其思维品质，已成为核心素养视域下数学教学的应然追求.数学思维品质是个体在数学活动中所表现出来的对数量关系及空间形式认识的个性特征，主要包括数学思维的灵活性、独创性、批判性、广阔性、深刻性和敏捷性.教学中，笔者通过设置实例“编制·评价·拓展”序列化任务重构课堂，让学生在对比分析、抽象概括、质疑思辨、问题求解等思维活动中亲历知识的构建、内化和应用，建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系，使思维品质得到高层次发展，以下详细阐述.

一、实例编制任务：立足思维路径，指向思维的灵活性和独创性

数学是研究数量关系和空间形式的科学，具有高度的抽象性、逻辑的严谨性和广泛的应用性［1］.在形成数学概念、法则、定理以及解决问题的过程中，均需辅以一定范围和数量的例证帮助学生理解.因此，笔者设计涵盖整个单元知识的实例编制任务，促进数学知识与学生已有经验的融合，提升学生思维的灵活性和独创性.

（一）逆向融合：实例编制的价值取向

实例编制，指针对某个数学知识，通过师生活动，创造性地编制出契合的例子.传统教学中，往往是教师出示实例，学生进行分析归纳，这容易导致数学知识与学生的生活经验、学习经历脱节.反之，让学生基于已有的数学知识和自身经验编制实例，则是从逆向思维的角度，通过对数学知识内涵的认识，反向融合外延部分.如通过编制“平行四边形”实例，学生可明确其知识成分是“边、角和对角线”，厘清其内涵特征是“四条边、两组对边分别平行”，认识其外延有“矩形、菱形、正方形”.

编制实例需要经历比较、分析、综合、概括等思维活动，可充分展示学生对数学知识的内涵、外延、特征、关联等维度的认知偏差，或反映出学生对相关知识适用情境的思维定式与局限，使教师能更有针对性地进行教学.

（二）五环路径：实例编制的结构分析

数学实例是数学“概念、法则、定理”的具体模型或生活例证，具有“式子（方程、不等式、函数）、图形、图表、事件”等诸多表征形式.如数与代数以式子为主，图形与几何以图形为主，统计与概率以图表和事件为主等.

在实例编制的过程中，师生需经历“主题确定→成分拆析→情境关联→组合实例→多元表征”五个环节的编制路径.“主题确定”要求立足数学知识的整体性和数学方法的一贯性，紧扣单元大概念；“成分拆析”要求从知识的内涵与上下位概念的角度加以区分；“情境关联”要求从知识的外延与意义的角度加以联系；“组合实例”要求创造性地重组相关内容；“多元表征”要求选用与数学知识相契合的表达方式.

例如，笔者摘选“一次函数”复习课例，让学生写出一个一次函数，并赋予其实际意义.该实例的编制路径详见表1.

表1 “一次函数”实例的编制路径

（三）分层编制：实例编制的实施策略

实例编制一般以学生为主、教师为辅.由于不同层次的学生对实例的感知水平不同，实例编制的任务要求与分工也应有所不同.教师可统筹“学生认知水平”和“任务复杂度”，给出相应的操作要求.

复杂任务：（1）认知水平高：教师呈现主题，学生独立完成实例编制；（2）认知水平低：教师呈现典型实例，学生模仿完成实例编制.

中等任务：（1）认知水平高：教师呈现实例框架，学生填补框架内容；（2）认知水平低：教师呈现完备实例，学生分析实例内容.

为了凸显实例的独创性，避免出现同质化现象，教师应采用“先编后议”的形式：先让学生独立完成实例编制，再分组评价与借鉴.实例编制任务，除了要求学生聚焦实例本身外，还应要求学生提炼出编制的路径、展示所编实例的类型等，从而提升学生思维的灵活性和独创性.同时，这些鲜活、生动的实例能为后续的实例评价作铺垫.

二、实例评价任务：立足标准制订，指向思维的批判性和广阔性

根据布卢姆认知目标分类理论，作为认知领域的高层次教育目标，评价是依据准则和标准来作出判断，包括核查（有关内在一致性的判断）和评判（基于外部准则所作的判断），而且只有明确运用标准作出的判断，才属于评价［2］。因此，教师要为不同层次的学生提供机会，并给出相应的评价标准，引导学生解释自己的推理、进行数学归纳，或在不同的概念、解题方法和表征之间建立关联，进而对自己与他人的实例作出分析、提出疑问并逐步完善、修正，最终提升思维的批判性和广阔性.

（一）搭建标准：实例评价的价值取向

评价是教学过程中的一个重要环节.客观而全面的评价，需要依据一套科学、合理的标准.但由于学生个体间存在数学学习水平差异，使不同学生对实例的评价标准并不一致，即使是根据同一知识而编制实例.因此，让不同层次的学生对编制的实例进行辨析、讨论，在思维充分碰撞后，建立起一套基于全班共识、科学合理的实例评价标准体系是实例评价任务的核心价值诉求.

评价标准可指向“求同、比异”两个视角.“求同”，是抽象出自我与他人实例中的共同部分，能体现思维的关联与完备.“比异”，是比较二者相异的部分，或修正知识的过度关联等问题，能彰显思维的批判与质疑.如笔者在课堂中呈现部分学生编制的“中位数”实例，引导学生通过“求同、比异”两个视角的评价，逐步搭建出“中位数”的评价标准.由此，学生再次巩固了“中位数”的概念，明确了它与样本数据的“多少、间隔、呈现顺序”等因素无关，与数据“按大小排序后的位置”有关.这可进一步揭示“中位数”与“平均数、众数”等概念间的区别与联系，促进学生对知识的本质理解.

（二）设立维度：实例评价的结构分析

实例评价标准体系，是由表征评价对象各方面特性及其相互联系的多个指标所构成的有机整体.制订评价标准体系，需设立评价标准维度.数学实例是结合学生的认知结构和现实经验，使用“式子、图形、图表、事件”等形式来表征数学“概念、法则、定理”的具体模型或生活例证，因此我们可将知识理解、表征方式、特色创新等作为评价维度，设计实例的评价标准框架（详见图1）.

图1 实例评价标准框架

设立评价维度后，教师可让学生进一步细化评价维度，从而建立一套针对性、适用性较强且具有一定操作性、可测量的评价指标.通常，教师可引导学生小组合作，针对已编制的实例开展讨论，通过有效追问、多元联系，帮助学生的思维触角向更宽更广的未知领域纵横求索，从而提出新见解.如在“分式运算”单元评价实例的“知识关联”维度中，纵向上要与分式的概念、分式的基本性质、解分式方程相关联，横向上要与分数运算相关联，体会数式通性.教师要引导学生通过纵向、横向的分析、对比、归纳，形成系统化、结构化的知识体系，进而提升思维的广阔性.

（三）辨正错误：实例评价的实施策略

实例评价任务的实施，以学生为主体，教师要尊重并合理利用学生的差异，聚焦实例“内容同质化、内涵过度关联、外延过度扩张”三类问题，以组内互评、全班展评、自我评价等方式实施评价.

内容同质化：学生编制的实例在知识成分、表征形式等方面相互模仿，以致逐渐趋同的现象.如让学生借助尺规作一个等腰三角形时，出现大量利用中垂线的性质绘制等腰三角形的情况，很少有学生想到利用同圆的半径相等绘制等腰三角形等方法.

内涵过度关联：将不存在的特征关联到数学知识.如把“边的长度”与“角的度数”过度关联，错误地认为“角的两边越长，角度就越大”.

外延过度扩张：将概念的使用范围扩大，使其现实意义缺失.如将平均数应用到“某学生从1 岁到13 岁的平均身高”，使数学知识缺失了实际意义.

组内互评即以小组形式开展生生间的交流，以一种完全开放的状态，对实例编制的问题提出规避化的建议，并尝试修正实例.全班展评是学生在班级范围内，以评价标准框架为扶手，对已编制的实例进行各个维度的评价.自我评价指学生依据评价标准框架，对自己编制的实例进行分析、判断和释疑，进而重构已有知识结构，不断走向自我认同与自我完善.

因此，教师要给学生创造交流评价的机会，使其依据实例评价的标准框架，从数学知识的各个维度对自己与他人的实例作出分析、提出质疑，在思维碰撞的过程中逐步修正自己的片面观念，使思维从混沌走向通透，提升思维的批判性和广阔性.

三、实例拓展任务：立足问题解决，指向思维的深刻性和敏捷性

目前，学科大概念与深度学习的教育理念已深入人心，而高通路迁移是实现深度学习的有效路径.在实例编制与评价任务之后设计拓展任务，通过增加问题指向构建出新的数学问题，可促进学生构建良好的认知网络，提炼相关实例的大概念，以高位的数学思想方法统摄数学知识，从而提升数学思维的深刻性和敏捷性.

（一）纵横关联：实例拓展的价值取向

知识掌握的核心指标，指该知识能在不同应用背景下迁移，其前提是学生能准确捕捉知识间的关联.因此，在完成实例编制与评价后，教师还需挖掘知识间的关联，依据条件或结论引导学生展开联想，对已有实例作“纵向、横向”两个维度的拓展.如对“两角互余”这个实例作拓展，学生可依据“90°是180°的一半”这条线索展开联想，将其与“平角、同旁内角、圆周角、全等三角形”等知识关联，设计拓展实例，部分示例（所涉及图形均略）如下.

（1）平角为180°：若点O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OF、OG 分别平分∠AOB、∠BOC，则∠COG和∠FOA互余.

（2）两直线平行，同旁内角互补：若AB∥CD，直线EF 分别交AB、CD 于点E、F.∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线交于点G，则∠FEG和∠EFG互余.

（3）直径所对的圆周角为90°：若AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，则∠A和∠B互余.

（4）全等三角形对应角相等：若正方形ABCD 中，点E、F 分别在边CD、BC 上，且AF＝BE，则∠BAF和∠BEC互余.

因此，教师应帮助学生洞悉知识间的内在关联，促进其对数学知识的本质化认知，使其建立起系统化、结构化的知识体系，从而提升解决问题的能力.

（二）五向拓展：实例拓展的结构分析

实例拓展任务，从结构上看，具备“增、删、换、合、立”五大方向，教师可基于思维加工的视角，引导学生拓展某个核心知识的实例.“增”指增加数学知识的成分或背景材料，对其作特色化处理.“删”指减少数学知识的成分或背景材料，缩小其内涵，弱化条件.“换”指将数学知识的成分作替换，调整为其他知识，如教师可将“菱形”特征中的“对角线垂直”替换为“对角线相等”，这样就形成了“矩形”，然后引导学生比较二者的区别.“合”指将不同的数学知识成分加以组合，形成一个有意义的整体，如在学生掌握了“一次方程（组）、一元一次不等式、一次函数”的概念、性质和应用后，教师应引导学生进一步体会、思考三者间的关联，构建整体观下“一次式问题”的结构认知.“立”指针对同一个实例，通过不同分支的数学知识加以分析，形成全新的思维视角，如在学生学习了“相似三角形”的相关知识后，教师就可引导学生从“数”的方法解释“反比例函数的图象是中心对称图形”，并通过“形”的方法来推理证明.

上述拓展的过程，均围绕某一个核心知识开展，能让学生进一步体认到数学知识之间的联系，如上位、下位、并列等逻辑关系.如此，通过更为广泛的数学观念的建立，实现实例的灵活拓展，可提升学生思维的深刻性和敏捷性.

（三）增设条件：实例拓展的实施策略

问题是数学的心脏，培养学生问题解决能力一直是数学教学的重要目标.传统教学中，学生多是被动地解决由教师提出的问题，缺乏主动性和独立性.因此，实例拓展任务的实施过程，应以“学生围绕实例，设计一个相关的数学问题”为目标，让每个学生都可依据自己的认知水平，沿着自己感兴趣的方向去探索、思考和创造.教师要注重引导学生提升对问题增设指向的意识，使其能从多层面、多角度进行探究.在这一过程中，学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律，然后通过同化、顺应、结构重组等途径实现经验的整合与迁移，就可逐步完善认知结构，提升思维品质.

例如，在“函数与几何”专题复习课中，笔者提出问题：“已知函数的图象l，点A在l上，你能求出点A的坐标吗？”片刻思考后，学生发现此题缺少条件，这就引发了学生的认知冲突.此时，笔者再引导学生增设条件，编制具有层次性、个性化的问题链.学生增设条件的部分方案详见表2.

表2 “函数与几何”问题增设条件的方案（学生）

上述方案充分展示了学生个性化的思考过程.而这个等量关系既可用“数”的形式给出，也可借助“形”间接获取［3］.学生构建并解决问题后，教师还应引导学生对此类问题进行拓展、延伸，如“改变函数的类型”“改变内接几何图形的形状”“增加内接几何图形的个数”等，让学生感悟到解决此类问题的突破点是函数图象与几何图形的交点.其实，增设问题指向的过程，也是学生对知识再发现、再创造、再认识的过程.从不同的角度、运用多种方法思考和解决问题，不仅可使学生的思维变得更灵活，而且可提升其对知识的迁移能力，使其举一反三、触类旁通，进而提升数学思维的深刻性和敏捷性.

综上，为思维而教，应成为数学课堂教学的永恒追求，成为教师研究教学、指导学生的行动指南［4］.笔者通过实例“编制·评价·拓展”序列化任务，引导学生围绕数学章节学习的大概念，编制与核心知识相匹配的实例，归纳实例编制的思维路径，提升思维的灵活性和独创性，然后依托社会交互型的合作分组评价实例，让学生相互评价与自我修正实例，建立实例的评价标准，提升思维的批判性和广阔性，最后让学生对修正的实例进行多维度拓展，提升数学问题解决的模型迁移水平，提升思维的深刻性和敏捷性，取得了较好的教学效果.后续，笔者仍将探索更多指向学生思维发展的教学方法，以切实提升学生的数学核心素养.