培养学生建模能力的研究

马秀丽

随着计算机技术的高速发展，数学在自然科学中的应用得到了前所未有的拓展，涉及工程技术、金融管理、生物医学、自然环境等诸多领域。建立数字模型，利用数学方法解决生活应用和科学研究等问题。通过对现实问题的提炼，变具象为抽象，变问题为模型。从实际问题和定量分析角度出发，深入问题，了解对象信息，通过调查研究，假设问题条件，简化解析过程，分析内在规律，验证演算结果并找到科学应用的最优解。这些都可以通过对模型进行求解与验证，得到准确的解答并用它来解释现实问题。初中数学知识具备很强的实用性，在教学中培养学生的建模能力，可以有效提高他们的数学学习能力、应用能力。

一、数学建模的概念及基本流程

在学习或生活中，针对某类事物系统或是某个知识点的数量依存关系，运用数学专业语言，借助数学符号表述出该系统或知识点所体现的一种纯关系数学结构。这就是数学建模，其流程大致需要以下几个步骤：第一步，模型准备。了解需要解决问题的背景与意义，搜集各种相关信息，把建模对象的个体特征弄清楚，以数学逻辑对问题进行清晰准确的解析。第二步，模型假设。参考建模目的和需要解决的问题特征，对问题元素进行提炼简化，并根据已知元素进行恰当的假设，这一步在建模中至关重要。问题对象所带来的若干因素，不可以照单全收、一概考虑。建模者需要充分发挥自己的观察能力、判斷能力，分辨主次先后，尽可能地将处理方法简单化，让其呈现均匀化、线化特征。第三步，建立模型。以假设对象自身的因果关系为假设分析依据，以数学工具来寻找建模对象的内在发展规律，分析各量间等式关系，建立基本逻辑框架。有了假设的基本架构，应用数学工具对问题中常量与变量间的关系进行刻画，构建相应的数学模型结构。第四步，模型求解。整理已知数据，运用数值运算、证明定量、逻辑运算、画图形、解方程等传统数学方法，以及计算机大数据等新型技术，对模型进行推演计算（包括精算和估算）。第五步，模型分析。运用机理分析法、数据分析法或仿真或其他方法，对所建的数学模型进行评估分析，从因果两个方向逐步细化，并进行稳定性和误差分析。第六步，模型检验。模型数据分析结果出来后，要和实际情况进行对比验证，合理性、准确性和适用性是衡量建模成功与否的三大要素。

二、培养学生数学建模能力的意义

（一）促进数学应用意识的形成

作为自然科学基础，数学知识和思维的有效应用，是核心素养逐步形成的前提。初中数学内容的应用与其他学科的学习及未来的生活工作有着密不可分的联系。井然有序地在教学中培养学生的建模能力，有机结合科学理论与生活实践，感受专业知识的应用价值，提升应用数学知识解决实际问题的基本能力，可促进学生数学应用意识的有效形成。在一次次建模过程中，数学基础知识得到进一步巩固，知识点之间联系得以强化，学生分析问题的思维习惯逐步形成，解决问题的综合能力逐渐提升，这与新的课程改革精神是高度一致的。学生从建模中可以体会到学习数学知识的初心，生活与数学之间的联系桥梁得以直观呈现，认识学习数学的价值，潜移默化地促进了学生核心素养的形成。

（二）促进学生综合能力的提升

新的课程改革精神，对核心素养作了较为具体的要求，在数学方面主要体现在以逻辑思维能力、实际应用能力、创新创作能力、发散能力以及自主思考能力等为代表的综合能力。传统数学课堂教学，相对比较重视理论知识的掌握，实践应用与理论探索结合不是很紧密，学生实践能力的培养相对不够重视。学生数学建模能力的培养，刚好可以针对性地弥补传统教学这方面的不足，学生可以得到一个展示自我的平台和突破自我的机会。数学建模中，学生数学知识应用能力、专业术语解读能力和创造能力等技能可以得到充分的应用与锻炼。良好的学习环境，自由的想象空间，为学生数学建模能力的培养提供了必要条件，同时也有效促进了学生数学思维的形成与数学素养的提升。

（三）培养团结协作的意识和能力

数学建模，它不是一个个体运动，在各个环节之间需要形成一个团队相互协作。比如，由三名学生组成一个建模竞赛小组，在规定的时间内完成既定的参赛项目。在这个需要团队协作的集体项目里，每个成员都要充分发挥自己的特长与优势，相互弥补对方的缺点和不足，尽可能地释放自己的最大能量，争取达到“1+1+1＞3”的效果。这样的建模比赛，每个学生都可以得到展示优势、弥补缺点的机会，各队员的性格特点、思维习惯、知识架构都直接影响着团体的整体水平，队员之间需要合理分工、通力合作、集思广益、求同存异、相互弥补、相互协调形成合力，如此才能让团队释放出最大能量。在建模活动中，队员的团队合作意识会在不知不觉中得到提升，团队协作能力会逐渐提高。

三、培养学生数学建模能力的应用分析

（一）渗透建模思想，培养建模意识

思想引导行动，意识规范过程。建模能力要想得到有效的培养，正确的思想和良好的意识是最基础的条件之一。在课堂教学中，教师可先向学生渗透数学建模思想，确保学生理论知识有一定的基础，提供必要的培养条件。渗透建模思想，可促进学生思维习惯中形成建模意识。渗透过程中，教师可将一些生活实际问题有序合理地引入，帮助学生感受数学建模和现实生活的密切关系。教师可以将生活现实问题引入课堂教学，建立数学模型并展示其过程。

例如，某同学将1000元压岁钱存入银行（一年定期），定期到期后本息一并取出，捐献500元给贫困山区儿童，余下全部款项又按定期存入银行。第二年定期利率是第一年的90%，第二年到期后，结算本金和利息一共530元，问第一年的利率是多少（在不计利息税情况下）？

解：假设第一年利率为x，得出｛1000×（1+x）-500｝（1+0.9）x=530

→[90×x2+145x-3=0

→x1≈0.0204（2.04%）

这类题型有一定的抽象性，建模思想可以帮助学生把抽象问题具象化。通过深入了解既定目标信息、深层次进行调查研究、分析内在发展规律，一点点加深学生对建模的认知，以数学专业符号为表述工具，呈现数学模型表达，逐步渗透培养建模思想。建模思想的有效渗透，促进建模意识的顺利形成，可提升学生数学学科基础能力，有利于阶段性教学目标的顺利完成。

（二）拓展建模思维，提升建模技能

新的课程改革标准中，学生建模能力是初中生核心素养各项指标中不可或缺的重要组成部分之一。在建模思想渗透达到一定成效之后，建模思维的拓展和建模技能的提升，必须要及时跟进，从深度和广度两个方向进行完善。建模思维的多维度拓展，便于数学课堂氛围的营造。轻松良好的氛围之下，学生会更加主动地去感受数学世界的魅力，探寻未知世界的奇妙。在主动性和积极性都得以充分调动的情况下，全面开拓的建模思维会有效激发学生的创新能力，帮助学生掌握学科知识要点和重点，提高他们对数学知识的学习和应用能力。提升技能，拓展思维，是培养学生建模能力过程中极为重要的一个环节。思维的拓展与创新，知识获取能力的提升，是学生整个人生中健康成长和顺利发展所必须具备的前题条件和必要保障。怎么拓展建模思维？以“一次函数的应用”知识节点为例，教师提问：“移动”推出套餐“快捷通”和“全球通”，前者通话费0.4元/分钟，月租费50元；后者无月租，通话费0.6元/分钟。如果你是营业员，你会怎样根据顾客的需求推荐合适的套餐呢？教师引导学生运用一次函数对问题进行建模，总费用为ｙ，月通话总时长为x。“全球通”套餐费用为：y2=0.4x+50；“快捷通”套餐费用为：y1=0.6x。当y2

（三）创设问题情境，激发建模热情

在教学过程中，创设对口问题情境，可以有效激发学生的建模热情和兴趣。通过对数学问题的科学设计，设置出与教学主题密切相关的问题情境，以调动学生对建模及数学知识的学习积极性。以培养学生建模能力为出发点，教师为学生设计相关问题情境，根据学生数学学习经验，精心设计问题，激发其学习自信心。

例如，根据某地区山地气象信息表明，山下年均气温为20摄氏度，海拔每升高1000米，气温下降6摄氏度。问某一适合在18摄氏度至20摄氏度生长的植物，可以在山上哪一段高度种植？分析：从山脚向上每升高1000米温度降低五摄氏度，那么每升高一米温度降低千分之五摄氏度，假设宜种海拔为山脚以上x米，根据题意得出：22-6/1000x≤20≥18与22-6/1000x，解得：2000/3≥x≥1000/3。

上述问题情境的设置贴近生活，形象生动易于理解，教师可以利用它引导学生建立不等式数学模型，让学生感受到数学知识的趣味性和实用性。

（四）从易到难递进，逐步树立信心

学习是一个递进的过程，从简单到困难，步步递进，更容易克服学生对知识重点、难点的恐惧心理，进而树立他们学习的自信心。建模能力的培养也同此理，如果一开始给的应用题难度过大，学生的学习自信心会受到打击。所以，教师要根据学生真实的学习水平出发，从较容易的内容开始，把问题分析到位，讲解透彻，层层推进，逐步到位。对一些不易掌握的难题，可设置一些过渡性知识作为桥梁，让学生可以顺利的分层进阶，逐步巩固学习自信心。

比如，学校保洁室放一桶消毒液，纯度为100%，容量是100升。保洁阿姨倒出一部分做环境消毒使用，并往桶里加满清水。第二天，保洁阿姨又倒出同等量的消毒液做环境消毒，并继续往桶里加满清水。此时桶中纯消毒液（含量100%）为64升，问保洁阿姨每一次倒出的消毒液多少升？1.以桶内装有浓度为90%的消毒液100升为已知条件，求桶中有多少升浓度为100%的消毒液？2.以桶内装有浓度为100%的消毒液100升为已知条件，倒出20升后再加满清水，求现在的消毒液浓度是多少？3.以桶内原装有浓度为100%消毒液100升为已知条件，求倒出20升后加满水搅均，再倒出20升混合液后，原桶中浓度为100%的消毒液还有多少？

以上三个问题，有一定难度，在建模应用的时候，我们可以设计以下两个问题：1.假如每次倒出消毒液为[x]升，那么第一次有多少升消毒液被倒出来，桶里还有消毒液多少升，桶里消毒液浓度为百分之多少？2.第二次从桶中倒出消毒液[x]升，其中包含浓度为100%的消毒液多少升，桶中还余留浓度为100%的消毒液多少升？

在教师有意识的引导下，学生对原题进行阅读，对已知条件进行思考分析，所面临的问题就可以顺利得到解决。在练习设置上，教师也要进行梯度设计，从简单的开始，让学生根据自己当前能力选择合适的作业来完成。这样的设置更能让学生体会到成功的喜悦，从而树立战胜学习困难的坚定信心。

（五）强化建模应用，体现建模价值

数学知识诞生于生活，是广大人民群众对生活的归纳、分析与总结，同时又服务于生活工作的各个方面。数学知识的学习、建模能力的培养，其最终目的是将来在生活和工作中得以应用。教师在对初中学生进行数学建模能力的培养时，可以把生活工作中的素材有序应用到教学活动中来。当学生具备一定的思想意识和思维习惯后，教师要强化学生对建模的实际应用能力，在不断的应用当中充分体现建模的价值所在。通过生活中的日常问题，社会关注问题等现实素材，体会数学建模对于现实生活的重要性和实用性，激发学生学习并应用建模的兴趣。以财务中常见的“增收节支”主题为例，教师可以把现实生活中的案例引用进来，让学生直观地感受到掌握建模技能就可以应用于实践。

例如，学校高中部去年招新生1800名，今年招生较去年呈现百分之五的增幅。其中女生去年少招了3个百分点，招收男生较去年多了7%，问去年女生招了多少名？男生招了多少名？解析：今年男女生共招1800×（1+5%），去年男女生共招1800名。设去年女生为x名，男生为y名，今年女生为（1-3%）x，男生为（1+7%）y，x+y=1800，（1+7%）y+（1-3%）x=1800y（1+5%）。得出结果：去年男生招了1280人，女生320人。在教学过程中，教师既要让学生掌握数学知识，更要教会学生运用现有的知识去解决现实、未知问题。把解题方式方法和数学概念定理进行模型化处理，既能巩固强化学生对数学基础知识的积累与掌握，又能把数學专业知识广泛的应用到现实生活中。这样从现实问题出发创建数学模型，应用价值得到充分体现。

由此可见，教师要以核心素养的培养作为基本教学实施目标，关注学生的学习需求，了解学生的身心特点，革新教学模式，更新教学理念，为学生专业技能的提升和综合素养的完善提供必要条件。

作者单位   甘肃省天水市张家川县闫家中学