三角形何时面积最小

朱记松 陈俊国

【摘要】本文引导学生将一个“三角形面积最小值问题”一般化，经历提出问题、操作探究、猜想、推理论证、建立数学模型并运用模型解决问题等过程，体会建模思想，感悟数学的应用价值.

【关键词】建模；三角形；面积；最小值

1问题情境

如图1，有一个矩形花园ABCD，AB=5米，BC=9米．根据设计要求，点E在AB边上，且AE=2米，点F，G分别在BC，AD边上，且∠FEG=60°，并在△EFG内种植一种名贵兰花．请你根据设计要求，判断是否存在面积最小的△EFG.若存在，求出当△EFG的面积取得最小值时，EG的长；若不存在，请说明理由.

2探究分析

已知，如图1，在△EFG中，已知∠FEG=60°，如何求它的面积？再如何求其最小值？

（1）不妨联想一下初中阶段所接触到的三角形的面积计算公式，有如下方法：①S=12×底×高；②海伦公式S=p（p－EG）（p－EF）（p－GF），其中p=EG+GF+EF2；③S=12EG·EF·sin∠GEF.根据已知条件，不难联想到公式S△EFG=12EG·EF·sin∠GEF.不妨设∠BEF=α，则∠AEG=120°－α，所以EF=3cosα，EG=2cos（120°－α），故S△EFG=332cosα·cos（120°－α）.由于cosα·cos（120°－α）的最小值计算超出了初中生知识范围（供学有余力的学生自主探究，增强学习兴趣），因此还需另辟蹊径.

（2）既然使用公式不能直接求解，那能否将△EFG的面积进行转化呢？由于此问题是以矩形为背景设计的，告诉了边之间的位置关系——邻边垂直、对边平行.由对边平行，又可联想到什么？三线八角之间的关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）、平行线之间的距离处处相等、平行线分线段成比例、相似三角形判定预备定理等.因此可以通过“平行构造相似三角形、根据同高的两三角形的面积比等于底边长度之比”进行转化.延长GE，CB交于点H，如图2.因为AD∥BC，AEEB=23，所以EGEH=23，S△EFG=23S△EFH=23×12×3HF=HF.因此△EFG面积的最小值就转化成线段HF的最小值了.即在△EFH中，∠HEF=120°，EB⊥HF，EB=3，求HF的最小值.

3问题提出

为不失一般性，特提出如下问题：已知，如图3，在△ABC中，∠BAC=α，AD⊥BC于点D，AD=m，求BC的最小值.

4建模分析

4.1操作探究

打开几何画板（5.06最强中文版），运用“构造”菜单制作直线l及直线l外一定点A，AD⊥l于点D，在直线l上任意取一点B，作∠BAC=120°，射线AC交直线l于点C.运用“度量”菜单分别度量出BD，BC的长度，以BD，BC的长度为P点的横、纵坐标，运用菜单“绘图—绘制点P”制作点P；同时选中点B，P，运用菜单“构造—轨迹”作出BC关于BD变化的函数图象，如图4.

在直线l上拖动点B，发现点P在图象上的位置也在不断改变.经观察发现：（1）当BD=DC时，BC有唯一值，且为最小值；（2）当BD≠DC时，给定一个BC的值n，从图象发现会对应着两个BD的值，记为a1，a2，且a1+a2=n，此时它们分别对应的三角形，记作△AB1C1，△AB2C2，如图5.此时△AB1D≌△AC2D，△AC1D≌△AB2D，则AB1=AC2，AC1=AB2，所以△AB1C1≌△AC2B2.因此认定它们的形状大小是相同的.

作出猜想：在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=m，∠BAC=α.（m，α均为定值）

（1）当BD=DC时，BC取最小值；（2）给定一个BC值n，则此三角形的三边长度、三内角的大小是唯一确定的.也就是说，不同的BC值n，则对应着不同形状、大小的三角形.

4.2激活已有知识经验

通过上述几何画板操作，发现：△ABC中，∠BAC=α，AD⊥BC于点D，AD=m，若BC确定，△ABC也就唯一确定，同时与它相关的元素（如图形、公式、结论）也唯一确定：即其周长、面积、各边上的中线、高线、各内角平分线的长度都唯一确定；其内切圆、外接圆也是唯一确定；特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，其外接圆直径d=AB=BCsinA，其内切圆半径r=AC+BC－AB2或r=2S△ABCAB+BC+AC（对任意三角形都适合）.

改变BC的长度，会引起△ABC形状大小的改变.而△ABC形状大小的改变又会带来哪些变化呢？你最想关注的问题是什么？

4.3深入思考

既然在Rt△ABC中，∠C=90°，其外接圓直径d=AB=BCsinA，那么在斜三角形△ABC中，当∠BAC，BC均为定值时，BCsinA是否也对应着该三角形的外接圆直径呢？

（1）若△ABC是锐角三角形，作外接⊙O，作直径BD，连接CD，如图61，则∠A=∠D，∠BCD=90°，所以BD=BCsinD=BCsinA；

（2）若△ABC是钝角三角形，作外接⊙O，作直径BD，连接CD，如图62，则∠A+∠D=180°，∠BCD=90°，所以BD=BCsinD=BCsin（180°－A）=BCsinA.（说明：sin（180°－A）=sinA.）

综上（1）（2），对任意△ABC，其外接圆的直径d=BCsinA.

根据上述结论，原问题将进一步转化为“在△ABC中，已知∠BAC=α，AD⊥BC于点D，AD=m，求其外接圆直（半）径的最小值”.

5模型求解

（1）在△ABC中，若0<α<90°，作外接⊙O，设其半径为r，连接AO，BO，过点O作OE⊥BC于点E，连接AE，如图71.易知∠BOE=∠BAC=α，BC=2BE，OE=OB·cosα=r·cosα.因为OA+OE≥AE≥AD，即r+r·cosα≥m，解得r≥m1+cosα（当且仅当E，D重合时取“=”），故BCmin=2msinα1+cosα.

（2）在△ABC中，若90°<α<180°，作外接⊙O，设其半径为r，连接AO，BO，过点O作OE⊥BC于点E，如图72.易知∠BOE=180°－∠BAC=180°－α，BC=2BE，OE=OB·cos（180°－α）=－r·cosα.因为AD+OE≤OA，即m－r·cosα≤r，解得r≥m1+cosα（当且仅当E，D重合时取“=”），故BCmin=2msinα1+cosα.

（说明：当90°<α<180°，sinα=sin（180°－α），cosα=－cos（180°－α）.）

6数学模型

在△ABC中，已知∠BAC=α，AD⊥BC于点D，AD=m，当D为BC的中点时，BCmin=2msinα1+cosα.

7模型應用

7.1情境问题解决

在△EFH中，∠HEF=120°，EB⊥HF，EB=3，如图2，（S△EFG）min=HFmin=2×3sin120°1+cos120°=63（米2）.此时∠AEG=∠HEB=12∠HEF=60°，所以EG=AEcos∠AEG=4（米）.

7.2模型拓展

已知，如图3，在△ABC中，∠BAC=α，AD⊥BC于D，AD=m，求△ABC周长的最小值.

（1）激活已有经验：求△ABC周长的最小值，咱们是否接触过类似的问题？

回顾梳理：八年级已解决过这样一个问题：如图81，∠EDF=30°，点A在∠EDF内部，DA=6cm，B，C分别是射线DE，DF上的动点，连接AB，BC，AC，求AB+BC+AC的最小值.

问题解决：分别作点A关于DE，DF的对称点A1，A2，连接A1B，A2C，A1A2，DA1，DA2，如图82，则AB+BC+AC=A1B+BC+A2C≥A1A2且∠A1DE=∠ADE，∠A2DF=∠ADF，DA1=DA=DA2.所以∠A1DA2=2∠EDF=60°，△A1DA2为等边三角形，故（AB+BC+AC）min=A1A2=6cm.

方法提炼：将三角形的周长问题转化成一条折线，然后运用“两点之间线段最短”求其最小值.

（2）类比联想：要求图3中△ABC周长的最小值，是否也可以将它的三条边转化到同一条直线上？

延长CB至A1，使得BA1=BA，延长BC至A2，使得CA2=AC.如图9.则AB+BC+AC=A1B+BC+CA2=A1A2，且∠A1AA2=180°+α2.

（3）问题求解：运用模型不难得出

（A1A2）min=2msin（180°+α2）1+cos（180°+α2）=2mcosα21－sinα2，

即（C△ABC）min=2mcosα21－sinα2.

（说明：

sin（90°+α2）=sin90°cosα2+cos90°sinα2=

cosα2;

cos（90°+α2）=cos90°cosα2－sin90°sinα2=－sinα2.）

8建模反思

1.《义务教育数学课程标准（2022版）》指出：初中阶段综合与实践领域（数学建模活动），可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向（达到解一题会一类的效果），整合数学内部、数学与其它学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的问题.这就要求学生在平时的学习过程中，不仅要重视提炼基本的数学思想、基本图形，总结方法，还要养成自主学习（学习本学科后续内容、现代信息技术、查阅相关资料），乐于实践，与他人合作、交流的好习惯[1].

2.从建模过程看：（1）运用数学基本思想分析问题，提出问题.如何求S△EFG的最小值？①首先S△EFG的计算方法，那就自然地联想到初中所涉及到的三种三角形面积计算公式，再根据已知条件选取最合适的计算方法——引入参数，建立函数关系，在相应的自变量的取值范围内确定函数的最值.此思路可行，但由于学生的知识储备有限，无法求解，因此须另辟蹊径.②因为矩形的对边平行，因此可以通过构造相似三角形，在转化思想的指导下，将S△EFG的最小值问题转化成S△EHF的最小值，进而转化成线段HF的最小值，从而抽象出数学问题.（2）通过几何画板的动态操作，观察发现，作出猜想，然后充分类比、联想，激活学生已有的知识经验（基本图形、常见公式及变形、结论），探索出“三角形的一条边及所对的角之间究竟存在的联系”，逐步探索出解决问题的方向和方法——确定△EHF外接圆半径的最小值.（3）教师要给予适当引导与点拔甚至帮助.①在学生思维受阻（如在求BC的最小值出现束手无策时，教师用几何画板软件动态演示，引导学生观察、猜想，为问题的解决找到突破口）、或遇到未曾学习的本学科知识（如sinα=sin（180°－α），cosα=－cos（180°－α）等）、或跨学科知识时点拔；②帮助学生感悟如何从数学的角度审视问题，在发现和提出问题的过程中，引导学生体会用数学的眼光观察现实世界；在建模过程中，还要帮助学生感悟解决现实问题不仅要关注数学的知识，更要关注问题的背景知识，发现问题的本质与规律，然后用数学的概念、定理或公式予以表达，以引导学生体会用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.4：77-79.

[2]朱记松，陈俊国.“胡不归”的代数模型及其求解[J].中学数学杂志，2018（06）：59-60.

作者简介朱记松（1969—），男，安徽太湖人，中学高级教师；研究方向：初中数学教学与解题研究.

陈俊国（1985—），男，安徽太湖人，中学一级教师;研究方向：高中数学教学与解题研究.