聚集常态课堂 发展数学思维

黄雯

［摘  要］ 在新课程标准背景下，小学生数学核心素养的培养已经成为当前数学学科教学的根本方向，而学生思维能力的培养则是发展学生数学核心素养的重中之重。教师多样化的教学模式、合理的教学设计就是帮助学生在数学课堂中发展数学思维能力的有效方式之一。文章以“三角形面积计算公式的推导”为例，立足课堂设计细节，浅谈提升学生课堂思维能力的策略。

［关键词］ 思维能力；教学设计；三角形的面积

一、数学思维的表现及培养现状

《義务教育数学课程标准（2022年版）》中指出：在义务教育阶段，数学思维的主要表现为运算能力、推理意识或推理能力。通过数学思维可帮助学生掌握概念本质、构建知识结构、推理相关结论、建立问题模型等，帮助学生在学习数学知识的过程中凝练思考方法、提升个人能力。自全国各地大力实施课程改革以来，大部分一线教师更注重把课堂交还给学生，然而新时代背景下学生的学情是在不断发展变化的，如何更加高效地从“教师阵地”转变到“学生阵地”，在一节数学课中令各个思维层次的学生都能有所收获，充分经历知识形成的过程，需要教师脚踏实地地在实践教学中不断摸索前进，让每一节数学课都成为为学生的思维发展而量身打造的阶梯。

二、培养学生数学思维的重要性

1. 激发学生的学习兴趣

教育心理学家皮亚杰说：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。”与此同时，笔者认为有效的思维过程恰恰是激发学习兴趣的催化剂。研究表明，完成既定目标带来的成就感会使大脑持续更长时间的兴奋，影响力也更大。在研究数学知识时学生不仅需要调动已有的知识学习经验，还需要在此基础上进行“再创造”，完成知识和方法的二次延伸，进而解决新的问题。学生在这样有效的思维过程中厘清知识脉络，表达方法过程，建立数学模型，获得解决新问题、掌握新方法的成就感，会反过来激发其对数学的学习热情。

2. 积累学生的学习经验

现代课程改革的理念是以学生的发展为本，因此除了强调基础知识和基本技能，还希望学生能够感悟数学的基本思想，逐渐积累数学活动，特别是思维活动的经验［１］。特定的数学知识在各个学段中并不是独立存在的一个点，而是存在于完整的知识结构体中，学生在一节数学课堂上参与的思维活动，能够帮助其积累学习活动的经验，提炼获取知识的方法，在接下来的知识学习中举一反三。学生积累的学习经验，对其数学学习有着深远影响。除此之外，学生在思维发展过程中所积累的运算、推理等数学能力，养成的合乎逻辑的数学思维品质，也将在其他学科中发挥重要作用，推动其全面发展。

3. 发展学生的核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中将数学核心素养由10个增加为11个，各大素养分别对应数学眼光、数学思维、数学语言。其中的“运算能力”和“推理意识”两大素养正是学生会用数学的思维思考现实世界的发展重点。理解算理、掌握算法，选择合理、准确的运算策略解决问题，从已有的事例出发寻找事物间的内在规律，运用类比、归纳的方法进行合情推理以使学生能分析、解决现实中的数学问题，都是在帮助学生形成有理有据、依理而行的理性精神。王宪昌教授曾在书中提到数学思维可以使人在处理问题时迅速抓住事物的本质，从而找到解决问题的办法，还可以使人们形成良好的思维习惯，增加人们在处理问题时的能力［２］。数学思维的培养帮助学生获得适应未来生活和进一步发展所必须的关键能力，体现数学课程的育人价值，是发展学生核心素养的最终目标。

三、课堂中培养学生数学思维的策略

以上，无论是从国家在数学教育导向的大格局出发，还是从学生终身学习的角度考虑，对学生数学思维的培养都应该是教书育人的重中之重。

培养学生的数学思维，不仅需要教师在课堂实践中有丰富的教学经验，面对学生的课堂生成随机应变，还需要教师在掌握学情、精读教材后进行更加贴合学生思维基础、更加顺应学生思维发展的教学设计。唯有双管齐下，教师才能做好课堂中的“掌舵人”。本文以人教版五年级上册“三角形的面积”的教学设计为例谈谈如何培养学生的推理意识和运算能力，发展学生的数学思维。具体策略如下：

1. 精析关键问题，指明思维方向

奥苏贝尔的有意义学习理论中提到，发生有意义的学习的三大主观条件之一是学习者的认知结构中必须具有能够同化新知识的适当的认知结构。而在正式学习三角形面积之前，学生已经充分掌握了平行四边形面积的推导过程，明晰平行四边形面积与底边和此底边对应的高有关，这是所有学生学习这节课的知识方法基础。除此之外，根据学情将学生大致分为三类：

（1）掌握三角形的面积计算公式但不清楚推导过程的学生；

（2）了解到三角形面积与其底和高有关但不清楚具体关系的学生；

（3）对三角形面积完全没有前期思考的学生。

根据所呈现的三种不同的认知结构基础的学情，为保证学生在实践之前有充分的思考，用思维成果指引实践操作，笔者设计了如下问题：

（1）三角形面积的大小和什么有关？

（2）三角形面积大小是否与底和高有关？（几何画板实时拖动演示，学生直观感受并验证）

（3）三角形面积与底和高究竟有怎样的关系？

（4）如何开展对三角形面积计算公式的探索？

四个问题环环相扣，教师完全尊重各类学情的学生在旧知和生活中对三角形面积计算的已有基础，先询问学生影响三角形面积大小的关键因素，由此引发三类学生的思考；再借助先进信息技术手段直观演示三角形的高不断拉长或底不断缩短对三角形面积造成的影响（如图1），验证第2类和第3类学生猜想的同时，引导所有学生将思维聚焦在三角形的底和高上；最后激发所有学生思考探索三角形面积的方法，与已掌握的平行四边形面积的研究方法接轨，从简单的知识关联学习中重点提炼数学思想方法——“转化”。分层设计的问题为不同学情的学生保留了可贵的思考空间，让不同思维水平的学生在对三角形面积的观察、比较、思考中都能得到发展。

2. 精准学材设计，把握思维梯度

多样化学具的设计供拥有不同原始经验的学生选择，为不同层次的学生搭建思维阶梯。人教版教材中，三角形面积的推导主要是通过将两个完全一样的三角形倍拼成平行四边形来完成的。课堂上教师直接提供两个完全一样的三角形学具暗示过于明显，也过于简单，大大局限了学生的思维。但如果直接弃而不用，难度较高的割补法也会使一部分学生无法“消化”。于是，为各个思维层次学生考虑，为推导三角形面积方法多样化搭桥铺路，笔者分别给不同小组准备了以下几类学具：

（2个全等直角三角形和1个普通锐角三角形）

（2个全等锐角三角形和1个直角三角形）

（2个全等钝角三角形和1个锐角三角形）

（1个大等腰三角形和1个小等腰三角形）

每组学生均配备了一把安全剪刀。

每个小组的学具各有不同，如何选择学具进而确定研究方法需要小组成员共同开动脑筋，旨在启发学生对手中的学具进行观察、比较、尝试。在这个过程中思维难度较小的倍拼法和思维难度较大的割补法均有可能出现。而为了打破学生或许存在的“倍拼法”的固化思维，笔者特意设计第4组大小不一的两个等腰三角形。在研究过程中学生既可以把大三角形剪成小三角形用倍拼法完成，又可以利用其中一个等腰三角形进行较简单的沿底边的高剪开的割补法。

这样的学材设计既贴近学生的学情，又给予学生充分的自主探索机会。教师彻底放手，通过学生自己生成的思维成果主导课堂、推动课堂。

3. 精设汇报过程，引领思维碰撞

学生展开互动交流，并相互点拨与相互帮助，进而建构系统的知识网络，逐步发展思维的系统性。本节课中，笔者精心设计汇报过程，层层推进，将思维碰撞出的火花聚焦成关键问题，引领学生进行一场“烧脑”大作战。

在汇报方式上，由学生主动汇报本小组研究的三角形类型及研究方法和结果，包括对三角形的具体操作（剪或拼）和对三角形面积计算公式的推导。在汇报过程中，有疑问的学生可以提出问题，由汇报小组成员解答。

在汇报顺序上，由于倍拼法较为简单，贴合大部分学生的思维水平，笔者有意将不同类型三角形倍拼法的推导过程安排在汇报前期。这样一方面能调动大部分学生思考不同类型三角形在进行倍拼法时的相同之处，加深理解倍拼法必须满足“两个完全一样的三角形”的基础条件，另一方面通过三种类型三角形面积的研究，能引导学生总结一般三角形的面积计算公式。让思维难度更大的割补法汇报紧随其后，在原有倍拼法的基础上给学生呈现完全不同的推导方法，这样的思维碰撞极大地激发了学生的数学兴趣，进一步打开了学生的数学视野，很好地体现了数学的魅力。

在汇报结果上，笔者聚焦两种不同推导方法所得出的相同公式的含义，引发学生展开讨论，根据推导过程判断相同公式中的“÷2”的含义是否一样，说明理由。笔者让学生在回顾牢记公式中的“÷2”的同时，通过比较思维明白知其然并知其所以然的重要性。

笔者合理设计汇报过程，关注汇报细节，让学生进行思维交流，细细聆听每一个声音，抓住最有价值的思考内容，能促进全班学生高效思考，使课堂教学达到高潮。

4. 精選分层练习，完成思维拔节

练习是巩固应用的主要形式，精心设计能拓展学生思维的广度，让学生从多角度、全方位对这个问题进行思考，在练习过程中发现数学的独特魅力，具备更强的逻辑思维能力［３］。不同层次练习题的训练目的有所不同，基础类练习题帮助所有学生夯实本节课的基础知识，在实际应用中将三角形面积的求解公式内化于心。拓展类练习题既可以帮助思维水平一般的学生开阔视野，又可以帮助学有余力的学生进一步研究。基础类练习题必不可少，拓展类练习题也是重中之重，是一节课的思维之光。笔者在“三角形的面积”一课中设计了如下拓展类练习题（如图2）供学生研究思考：

问题1：观察图形，你发现了什么？

问题2：在方格纸最右边画出和三角形①面积相等的三角形，你能画出多少个？

问题1旨在引导学生先独立思考后与同桌讨论，从三角形①②③中得出“等底等高三角形的面积相等”的结论；再结合三角形④⑤进而得出面积相等的三角形的底和高不一定相等，但是底和高的乘积一定相等，进而让学生感受数学中的“变与不变”，感受千变万化的数学。

问题2旨在引导学生运用等底等高的三角形面积相等这一结论动手操作，与四年级上册内容“平行与垂直”知识相结合，进而发现这样的三角形可以画无数个。

这样的拓展类练习题使得学生的思维水平迈上一个新的台阶，教会学生从基础简单的知识中找到新旧知识之间的联系，让不同思维层次的学生都获得训练，完成思维拔节。

思维能力的发展是终身的，在任何阶段教育工作者都应该善于发掘学生的思维潜力，善于评估学生的思维水平，也应该竭力为学生的思维能力的发展做出努力。课堂教学是一线教师在日常教学中接触最多的内容，恰恰由于日常，反而容易被忽视其重要的价值。然而，平凡的坚守往往能取得丰硕的成果。如果一线教师能够在日常教学中加入对学生数学思维能力培养的思考，在每节课的教学设计和教学实践中有所体现，那么每节数学课内含的思维的广度和深度会潜移默化地使学生的数学眼光、数学思维和数学语言更上一个层次。

参考文献：

［１］ 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题［Ｍ］. 北京：高等教育出版社，２０１３.

［２］ 王宪昌. 数学思维方法［Ｍ］. 北京：人民教育出版社，２０１０.

［３］ 张敏. 如何培养小学生的数学思维能力［Ｊ］. 数学学习与研究，２０１６（０４）：８０.