布鲁纳认知结构学习理论对小学数学教学的启示

黄欣然　喻平

【编者按】 从2019年第6期开始，我们陆续刊登了南京师范大学喻平教授团队的“数学学习心理学研究及其教学启示”（小学）系列文章。其中，前7篇文章聚焦数学学习心理学关注的基本概念（方面），如应用题解决、思维品质、样例设计、非智力因素、逻辑推理、学习策略、思维发展等；从第8篇文章（2022年第1期）开始，聚焦的是与数学学习心理学有关的经典理论（思想）。这些经典理论（思想）常读常新，是数学教育教学及其研究需要不断回顾与体味、努力传承与发展的原点。本期刊登的文章聚焦布鲁纳的认知结构学习理论，大概念统领、核心素养导向、单元教学、跨学科学习、探究式学习等“新概念”都可以在其中找到根源。

摘要：布魯纳认知结构学习理论的心理学基础是归类理论、编码系统、表征系统；课程思想是结构思想；教学形式是发现学习，其前提是学习准备、直觉思维、学习动机。认知结构学习理论对小学数学教学的启示有：注重教学内容的整体处理，提供富有想象的思维空间，设置多元表征的问题情境，提倡探究过程的学习方式。

关键词：小学数学;布鲁纳；认知结构；发现学习；表征系统

布鲁纳认知结构学习理论的基本观点是，（学科）知识的学习基于（学科）结构的学习。布鲁纳指出：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”［1］基于这种思想，布鲁纳提出“发现学习”的主张。重温经典，解读认知结构学习理论，对当下的数学教学有积极的参考价值。

一、布鲁纳认知结构学习理论概述

布鲁纳认知结构学习理论的基本框架，由心理学基础、课程思想与教学形式等组成。

（一）认知结构学习理论的心理学基础

归类理论、编码系统、表征系统为认知结构学习理论建立了心理学基础。

1.归类理论

布鲁纳认为，归类就是分别对待各种相同的事物，对周围的各种物体、事件和人进行分类，所有的认知活动都涉及类别问题。［2］归类理论源于布鲁纳对知觉的研究，他认为知觉过程有四个步骤——（1）初步归类：注意事物的某些特征，孤立地看待事物；（2）搜寻线索：寻找可以用来辨别该事物的某些特征，以便将其归入某一类别；（3）证实线索：确认归类的准确性；（4）结束证实：不再对其他线索进行探索。可见，知觉的过程就是归类的过程。

归类理论引申出两个重要推论。一是结构思想。结构就是一个系统，而组建系统的前提是对事物进行分类，在分类基础上进一步抽象进行二次分类，以此类推的多层分类结果就是一个结构。二是认知学习观。为了更好地促进学习，提供信息是必要的，但是，掌握这些信息本身并不是学习的目的，学习应该超越所给的信息。［3］

显然，认知学习观是基于结构思想的。而且，认知学习观与当前课程改革“从知识为本转向素养为本”的基本理念一致：提供给学生的信息是知识，但学习的目标不限于理解和掌握知识，更重要的是发展核心素养。

2.编码系统

在归类理论的基础上，布鲁纳进一步提出编码系统的概念。编码系统是一组相互联系的、非具体性的类别。编码系统的一个重要特征是，对相关的类别作出层次结构的安排：较高的类别处于上层，较低的类别处于下层。这就是上面所说的多层次归类，得到的结果即一种结构。因此，编码系统理论进一步支持了结构思想。

编码系统的另一层意义在于，对知识的保持和迁移起着重要作用。因为层次分明、条理清晰的知识在头脑中会形成优良的认知结构，这种认知结构由知识相互联结、相互支撑形成的网络结构内化而成，使知识不容易被遗忘。同时，个体在学习新知识或解决新问题时，可以沿头脑中的知识网络迅速、准确地提取信息，实现知识的有效迁移。

3.表征系统

布鲁纳认为，人类智慧生长期间，有三种表征系统在起作用，即动作表征、表象表征和符号表征。动作表征指依据实物或行为来认识事物；表象表征指通过头脑中的映象来认识事物；符号表征指通过各种符号来认识事物。布鲁纳提出的表征系统与皮亚杰的儿童认知发展理论是相通的，不同之处在于：皮亚杰关注的是知识本身的性质，属于认识论问题；布鲁纳关注的是知识增长的过程，属于学习论问题。

“动作—表象—符号”是儿童认知发展的顺序，也是学习的序列。［4］即人类智慧发展始终沿着这三种表征系统的顺序前进，动作表征、表象表征和符号表征是按顺序发展的，它们不能相互取代，彼此之间也不能跨越某种表征而存在。［5］当认知发展到一定的程度时，个体就能一直连续不断地使用这三种表征系统去认知。也就是说，学习者至少有三种显然不同的方式来表征学习的经验和思维。

在此基础上，英国数学教育家迪恩斯提出数学学习的知觉变式原则，延伸出多元表征理论。［6］该理论既满足不同儿童的认知风格，也帮助儿童从多种具体模型中抽象出数学结构。依此来设计教学，可以较好地达到促进学生智慧发展或认知生长的目的。

（二）认知结构学习理论的课程思想与教学形式

结构思想是认知结构学习理论的课程思想，发现学习是认知结构学习理论的教学形式。

1.结构思想

在《教育过程》一书中，布鲁纳反复强调结构思想的重要性。他用生物学、数学、语言学中的三个实例通俗地解读了基本原理统领的学科结构。例如，代数学就是把已知数同未知数用方程联系起来，使得未知数成为可知的一种方法。解这些方程需要使用三个运算法则：交换律、分配律和结合律。学生一旦掌握了这三个运算法则所体现的思想，就能认识到，要解的“新”方程其实不是新的，而不过是一个旧方程的变形罢了。［7］

他还用一章的内容专门讨论基本原理统领的学科结构的重要性。概括地说，第一，懂得基本原理可以使学科更容易理解，不仅是对理科的学习，也包括对文科的学习；第二，学科结构有利于知识的记忆——“除非把一件件事情放进构造得很好的模式里，否则就会遗忘。详细的资料是依靠简化的表达方式保存在记忆里的”；第三，学科结构有利于知识的迁移——结构是一种模式，有助于理解可能遇到的其他类似的事物；第四，教材的结构化可以缩小“高级”知识和“初级”知识之间的差距，因为两者可以通过结构联系起来。［8］

《义务教育课程方案（2022年版）》在“课程标准编制”中提出：加强课程内容的内在联系，突出课程内容结构化，探索主题、项目、任务等内容组织方式。［9］由此滋生出的大概念、任务群、问题链、单元教学、跨学科教学等概念，本质就是结构化，学理上与布鲁纳的结构思想一脉相承。

2.发现学习

布鲁纳认为，学生在掌握学科基本原理的同时，还要掌握学习这一学科的基本方法，其中，发现的方法最为重要。于是，他依据表征系统的理论，提出发现学习的主张。所谓“发现学习”，是指学生在教师的启发诱导下，通过自己独立阅读、积极思考而自行发现并掌握新知识的一种学习方式，包括“在学习中发现”和“在发现中学习”两个含义。

要实现发现学习，应当考虑三个前提：学习准备、直觉思维、学习动机。

学习准备涉及儿童的智力发展、学习的行为、螺旋式课程。关于儿童的智力发展，布鲁纳用认知表征系统替代了皮亚杰的认知发展理论，建立了学习与教学的桥梁。对于学习的行为，布鲁纳认为，学习是知识获得、转化和评价的过程。（1）获得新知识，或者是对已有知识的替代，或者是对已有知识的提炼。（2）获得了新知识后，还要对它进行转化，可以通过外推（由已知推未知）、内插（增添知识或补充空白）、变换等方式把知识整理成另一种形式，以便“超越所给的信息”。（3）评价则是对知识转化的一种检查，通过评价可以核对处理知识的方法（发现与转化）是否适合新的任务或者用得是否正确，因此，评价通常包含对知识的合理性进行判断。

直觉思维具有非逻辑性和直接性的特点，表现为能很快地产生假设，迅速地对问题的解决方案作出猜想和预测，因而对发现活动极为重要。布鲁纳十分提倡在发现学习中利用直觉思维，因为这样的思维方式不仅能显著地提高学生的认知效率，更能在一定程度上对学生的内部认知结构产生潜移默化的影响。

学习动机包括外部动机和内部动机。内部动机比外部动机更加重要，所以，布鲁纳认为，应当将外部动机转化为内部动机。发现活动有利于激发学生的好奇心，学生容易受好奇心的驱使，对探求未知的结果表现出兴趣。所以，布鲁纳把好奇心称为“学生内部动机的原型”。

（三）认知结构学习理论的基本框架

将上述概念组合成一个框架（如图1所示），可以清楚地把握认知结构学习理论的体系。

结构思想是课程思想，其心理学基础是归类理论、编码系统、表征系统。发现学习是教学形式，其前提是学习准备、直觉思维、学习动机。同时，表征系统又是学习准备的心理学基础。

认知结构学习理论于现代教育的启示可以归纳为以下几点：（1）结构化的课程思想，由此衍生出大概念统领、单元整体、跨学科综合等教学模式。（2）认知学习观，即掌握信息本身不是学习的目的，学习应该“超越所给的信息”，由此衍生出通过知识学习来培养学生核心素养的现代解释。（3）表征系统的双重性，即动作表征、表象表征、符号表征是对不同年龄阶段学生思维的刻画，具有顺序性；这三种表征又在各个年龄段同时并存，也就是对事物的认识存在多元表征样态。（4）发现学习的目标指向，即发现结果是目标之一，但经历发现的过程是更为重要的目标。

二、对小学数学教学的启示

（一）注重教学内容的整体处理

布鲁纳提出要将学科内容结构化，讲授学科的结构，不仅可以让学生简单而明确地把握学习内容，而且可以培养学生迁移运用的能力。数学是一门知识高度结构化的学科，教师首先要对数学知识有一个整体性、系统性的认知，然后以整体（系统）观念为指导去教学，让学生将获得的新的知识与已有知识联系起来去理解和掌握，在头脑里形成知识网络。这样，学生就更容易理解、巩固、保持所学知识。

注重教学内容的整体处理，要从两个方面来开展：

1.课前教学内容的整体设计

第一，以章节为单元的设计。教材是教学内容的基本载体，也是教学设计的重要依据。通常情况下，教师可以教材中的章节为单元来整体设计。这种类型的单元教学设计的主要任务有：

（1）分析本单元的数学知识结构。思考本单元知识与前面学过的哪些知识有联系，它们是什么关系；以及本单元知识与后面要学的哪些知识有联系，它们是什么关系。

（2）分析数学知识与现实生活的联系。思考如何使本单元的数学知识与儿童的家庭生活经验、学校生活经验、社会生活经验有机结合。

（3）分析本单元的数学思想方法。数学思想方法可能是贯穿本单元的，也可能是散布在本单元中的。无论哪种情形，都要在教学设计和实施中将其凸显出来。

（4）设计本单元的教学目标。围绕本单元的知识主线，设计培养核心素养的目标，列出主要的核心素养表现与次要的核心素养表现；对“四基”“四能”目标作出具体描述；对必备品格与正确价值观目标作出具体描述。

（5）设计本单元的学习质量评价方案（主要是思考作业的设计）。作业大概可分为两类：一类侧重于理解和巩固知识，另一类侧重于发展数学核心素养。要考虑两类作业的比重，还要兼顾核心素养的考查水平，使得不同水平的题目分布合理。

第二，跨章节的单元设计。由不同章节甚至不同年级的教材内容组合成单元，本质上是对一个学段数学教材的通盘分析，可以利用大概念（如基本原理、基本方法）作为统领，形成知识体系，同时按照教材的知识顺序推进教学。这种类型的单元教学设计的意义在于，连通知识点之间的关系，以旧知识作为铺垫，用类比的方式学习新知识；同时，通过沟通知识之间的联系，形成知识体系，帮助学生建立完整的认知结构。

例如，“几何度量”包含长度、角度、面积和体积等有关内容，分布在苏教版小学数学教材的不同年级（不同章节）中（具体如表1所示）。它们有相同的结构体系，因此，可以用大概念“度量”来统领，从而组成一个跨章节的单元。

教学内容教材分布长度二年级、三年级、六年级角度四年级面积三年级、五年级、六年级体积五年级、六年级教学“长度”内容时，首先，创设情境让学生感受单位的形成；其次，通过讲授和引导向学生展现“几何度量”单元的基本结构：度量对象的感知（线段）、度量单位的产生与发展（千米、米、厘米、毫米）、度量工具的使用（刻度尺）和度量方法的选择（直接比较、间接比较、精确比较）；最后，引导学生总结学习过程和数学思想，培养单位观念，发展数感与量感。［10］这样，教学“角度”內容时，就可以采用类比的方法来开展，以问题引领思考：长度有大小，角度有没有大小？长度有单位，角度有没有单位？长度有度量工具，角度有度量工具吗？教学“面积”和“体积”内容时，也可以采用这种思路。

2.课后学习内容的整体梳理

无论是以章节为单元的设计，还是跨章节的单元设计，教学一个单元的内容后，都要引导学生对学习内容进行整体梳理。事实上，教材中也有相应的处理：章节后面都有知识结构图。但要注意两点：一是教材中给出的知识结构图往往只有知识的纵向发展，缺少知识的横向联系，需要教师补充相关内容；二是梳理知识并不等同于给出知识结构图，更重要的是设计配套的作业来加强知识之间的联系，即设计一些将不同知识点联系起来的题目，让学生通过完成这些题目使知识结构在头脑中稳固地贮存下来。

（二）提供富有想象的思维空间

提供富有想象的思维空间有三层含义。一是指提供给学生的学习材料可以从多个角度认识：从表面认识到深度认识，从显性信息的认识到隐性信息的认识，从孤立地认识到联系地认识。这就与布鲁纳所说的“掌握信息本身并不是学习的目的，学习应该超越所给的信息”相契合。二是指提供给学生的问题有多种解决途径，可以让学生通过发散思维寻求解决问题的不同路径。三是指要鼓励学生对解答过的问题进行归类分析，寻找贯穿一类题目的思想方法，也就是解决问题的通性通法，而不要纠缠于解决某个题目的技能技巧。这是课程标准反复强调的理念，需要在教学中贯彻落实。

例1观察图2，你能想到什么？

学生观察这三个滑梯可能会发现：有的斜，有的平；有的陡，有的缓；有的高，有的矮；有的宽，有的窄……这些是图中的显性信息，那么，图中的隐性信息是什么呢？

在教师的引导下，学生会考虑滑梯的设计是否合理的问题，进而思考：这个合理性用什么标准来判断呢？这时，如果用数学的眼光来看待这三个滑梯，就会发现应当用滑梯的滑面与地面的夹角来判断合理性，从而抽象出角的度量概念。

例2某地山洪暴发，河水上涨。镇防灾办公室需要尽快打电话通知沿河的A村、B村、C村的村主任，让他们迅速组织群众转移。但是，由于地势偏僻，经济不发达，镇防灾办公室和四个村均只有一部电话，且通知一位村主任需要一分钟。请你设计一个有效的打电话方案。

这个问题的答案是不唯一的：有效的方案有多种（如图3所示）。其中，最快的方案也有多种（图3中方案③的几种等价形式）。

在此基础上，教师可以进一步推广问题：如果要通知8个村，最少需要多少分钟？如果要通知15个村，最少需要多少分钟？……你能否找到其中的规律？

（三）设置多元表征的问题情境

多元表征分为外部表征和内部表征。布鲁纳提出的表征系统属于内部表征，即动作表征、表象表征和符号表征描述的是人的心理现象和行为表现。多元外部表征指提供多样的、弹性的信息呈现方式：同一知识点或学习内容可以分别使用文本、图片、声音、动画、多媒体等方式呈现出来，从而使学习障碍最小化，学习机会最大化。这些外部表征内化后，就演变成内部表征了。

设置多元表征的问题情境，可以从两个方面开展：（1）在新知识学习阶段，充分利用教育技术为学生提供视觉、听觉等多方位的刺激，提供数学实验场景让学生多角度观察、操作，进而理解概念和规则；（2）在问题解决阶段，让学生用多种方式表征问题，找到解决问题的最优方法。

例3一包糖果平均分给三个小朋友，如果每人吃掉4块，那么三人剩下的糖果数之和恰好是原糖果数的1/3，问：原糖果有多少块？

这个问题可以用不同的方式来表征。表征1：画一个大圆，用它的面积表示原糖果数；把大圆三等分，每份即表示每个小朋友分得的糖果数；在大圆中再画一个小同心圆，用小同心圆的面积表示三人剩下的糖果数之和，于是两圆形成的圆环的面积便表示三人吃掉的糖果数之和，圆环被分成的三个等份表示三人分别吃掉的糖果数（如图4所示）。表征2如图5所示。这个表征更能准确地反映出题目所给的信息，更加通俗易懂。表征3：设原来糖果有x块，则x－12=1/3x。

例4小红有3件不同的上衣和2件不同的裤子，搭配起来有多少种不同的穿法呢？

这个问题也可以用不同的方式来表征（如图6所示），包括用示意图表征事物，用文字符号表征事物;靠在一起（利用位置）表征关系，连线表征关系，等等。

（四）提倡探究过程的学习方式

以知识为本的教学有一种思维定式，就是一定要让学生学到某个知识点，或者掌握一种解题方法，即让学生获得一个“结果”。以素养为本的教学应突破这个定式，将“结果”与“过程”并重——有时候，让学生经历探究的过程比简单地获得一个结果更加重要，因为探究的过程本身就能发展学生的素养。

吴正宪老师上过一节“复式折线统计图”的课［11］，她是这样教学的——

首先，提出一个问题：

同学们喜爱足球运动吗？足球运动中有一项重要的技术叫罚点球。五（1）班和五（2）班计划进行一次罚点球比赛，看看哪个班的同学罚点球的水平高。五（1）班准备从甲、乙、丙三人中推荐一人作为代表，跟五（2）班比赛。他们三人在第一周每天的训练后，都进行了一次点球比赛，每人罚10个点球，表2是进球的数据记录。看了这张表，你准备推荐谁参赛？

学生每天进球数星期一星期二星期三星期四星期五甲26147乙45455丙23455然后，发放学习单，让学生用统计图作为分析工具，进行探究。

学生的意见产生了分歧：有的认为应从进球总数考虑，有的认为应从进球平均数考虑，有的认为要看进球的稳定性，有的认为要看进球的发展趋势。最终，有学生提出：只有这一张表，还不能确定派谁作为代表。

于是，吴老师又提供了第二周训练后的进球数据，让学生继续探究。

……

下课了，也没有得到一个统一的答案。

这堂课特色很鲜明，采用的是问题开放教学模式：问题提出之后，一直没有给出标准答案，而让学生自由发挥，借助直观想象和逻辑推理，提出自己的观點，提出自己解决问题的方法。这堂课打破了学生解决数学问题一定要得到最终答案的思维定式，给学生留下了发散的思维空间，指向的是学生数据意识、几何直观、推理意识等数学核心素养的发展。

进一步来看，通过探究得到一个结论本身就是过程的体现，让学生经历这个探究过程是教学设计时必须考虑的因素。

例如，教学“三角形的面积公式”时，可以这样让学生经历探究得到三角形面积公式的过程：

第一步，给出如图7所示的三个图，让学生把每个图沿一条对角线剪开，再观察得到的两个图形有什么关系。学生可以发现：对角线把一个平行四边形分成了两个完全一样的三角形，所以，两个三角形的面积相等;进而，三角形的面积等于平行四边形面积的一半，或者说，平行四边形的面积是三角形面积的2倍。

第二步，给出如图8所示的三个图，让学生把每个图沿一条对角线剪开，再思考所得三角形的底是多少，高是多少，面积是多少。学生可以发现：三角形的面积等于与它等底、等高的平行四边形面积的一半。

第三步，出示图9，让学生思考此时三角形的面积和平行四边形的面积之间是什么关系，以及在平行四边形的边DE上移动三角形顶点A的位置时，这种关系会不会发生变化。通过一个三角形的变式演示，让学生进一步体会到：任意一个三角形的面积都等于与它等底、等高的平行四边形面积的一半。从而得到三角形面积公式：S=12ah。

参考文献：

［1］［7］［8］ 布鲁纳.教育过程［M］.邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1982：31，28，3648.

［2］［3］ 施良方.学习论——学习心理学的理论与原理［M］.北京：人民教育出版社，1992：205，205.

［4］ 趙静.布鲁纳的儿童智慧发展表征理论对小学数学螺旋课程教学的启示［J］.现代教育科学，2018（9）：6770.

［5］ 邵瑞珍.布鲁纳的课程论［J］.外国教育资料，1978（5）：110.

［6］ 唐剑岚.数学多元表征学习的认知模型及教学研究［D］.南京：南京师范大学，2008：18.

［9］ 中华人民共和国教育部.义务教育课程方案（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：11.

［10］ 侯学萍，陈琳.小学数学单元教学的整体设计［J］.教学与管理，2018（29）：4345.

［11］ 吴正宪，鲁静华，张秋爽，等.会说话的数据，让决策有依据——“复式折线统计图”课堂教学实录［J］.小学教学（数学版），2019（11）：14-18.

*本文系喻平教授团队的“数学学习心理学研究及其教学启示”（小学）系列文章之十。