常微分方程课程思政的探索与思考*

张盟盟 吴绍峰

（重庆人文科技学院）

常微分方程是集理论与实践为一体的一门必修课，是在学习了数分、高代等课程的基础之上，开设的一门课程，是进一步学习其他课程的前提，在对学生的逻辑推理、独立思考问题、团队协作等能力的提升方面占据重要地位，也培养学生严谨的数学思维及创新思维，同时也是联系微积分理论与实际问题的纽带，其课程中蕴含的重要数学思想、逻辑推理方法和处理技巧也经常用于解决实际问题，是数学学科联系实际的重要途径之一，在数学学习和科学研究中发挥着重要作用，也在数学人才培养过程中起着至关重要的作用[1]。

基于思政的大环境下，努力挖掘专业课程中的思政元素，发挥课程的育人功能是极其必要的。而常微分方程作为大学数学专业的专业基础课之一，不仅为学生提供专业理论知识，而且还承载着素质育人的功能。将思想政治教育融入到常微分方程课堂教学中去，努力挖掘该课程的教学方式、课程内容中蕴涵的育人元素，使之有效的渗入课堂教学中，潜移默化中感化学生，使学生在学习专业知识的同时，注重德育的培养和个人文化素养的提升，将传道授业解惑与立德树人齐头并进，将思想政治教育贯穿到教学始终，改善传统教学枯燥的课堂活动，沉寂的课堂氛围，无趣的课堂互动，让学生在快乐中汲取知识，不断成长。

然而常微分方程课程理论性较强，部分定理也比较抽象让人难以理解，故想要在教学过程中融入育人意识，教师确实需要花费更多的心思，付出更多的努力。本章从以下两个方面入手，探索常微分方程课程中如何引入思政理念。

一、加强专业教师对思政建设的思想认识

许多教师特别是非思政教育类专业教师，对思政有一定的片面理解，不理解其中的内涵，不能深入理解什么是思政元素，思政元素具体包含哪些，课程思政的内涵是什么，更不用提如何将思政元素引入纯理论学科，以及如何将马克思主义原理贯穿到整个教学过程，所以最重要的是加强任课教师对思政建设的意识，育人意识是思政建设的前提，只有育人意识加强，才能充分调动学生的积极性，才能把思政理念贯彻始终，有效地将专业教育和德育相结合。

要想将专业课程教师的德育认知提升到新的台阶，最基本的要求就是不忘初衷，继续进一步巩固扎实专业教师的理论基础。因为课程思政也是以专业理论为依托，只有不断提升教师的专业技能，理清课程内容的内在联系和蕴含的哲学思想，用心投入到教学实践中去，才能充分挖掘课程建设与人才培养的关系，提炼课程中的人文情怀、社会责任。但是由于专业教师对思政理论的认知有限，故教师思想政治理论学习也必不可少，教师可通过学习公社、高校教师创新大赛等交流平台，提升教师的自身教学技能，加强思政理论的学习[2]，一方面促进教师之间思政教育的交流学习，改变教师传统的教学观，授课过程中有意识的渗入社会主义核心价值观、哲学观等观点看法，另一方面有助于思政教学能力的提升。

二、找准课程思政着力点，挖掘课程中的思政元素

常微分方程属于偏理论课程，要想有效的融入思政元素，确实有一定的困难，作为专任教师首先要充分认识到常微分课程建设与人才培养、毕业要求的内在联系，从专业知识的背景、内在联系及其蕴涵的思想方法出发，寻找专业知识与价值引领的结合点，以此来提升课程建设的政治高度及人文情怀。

常微分方程讲授的主要内容包含以下几部分：一阶方程、高阶方程、一阶方程组的求解以及一阶方程解的连续依赖、可微性定理等。实际授课过程中偏应用部分讲解较少，整体理论性较强，所以在教学过程中要努力挖掘课程中的思政元素，找准着力点，比如课程中第三章第一节中一阶方程的解的存在定理，该部分内容纯粹为定理的推导证明，学生听起来也枯燥无味，看起来和思政元素没有任何联系，而作为教师可以从解的存在定理证明过程中蕴涵的思想入手，该证明主要采用逐步逼近法，在一阶方程存在唯一解的前提下，如果找不出真正的解，就可采用近似解无限逼近真实解，不断缩小与真实解的误差，就如人生理想看似遥不可及，但只要始终如一、坚持不懈、砥砺前行，每一次的到岸均是下一次航行的起点，不断地向目标靠近，终能到达彼岸。下面从三方面入手，简单阐述常微分课堂教学中的思政着力点。

（一）从课程中的数学文化中挖掘思政元素

将思政教育与数学文化相结合，从《常微分方程》中的数学文化入手，引入思政元素，是最常见的思政形式。比如在第一章讲授内容之前，可以花部分时间专门介绍常微分方程的发展史。自17 世纪末，微分方程这个词第一次在牛顿的书信中出现，到如今被应用到工业、航空航天、医学等多个领域，纵观常微分200 多年发展史，涌现出大批著名科学家，如牛顿、莱布尼茨、欧拉、伯努利、里卡蒂、刘维尔、柯西、庞加莱、李雅普诺夫等等[3]。许多教师也喜欢从这部分内容引入思政，因为思政元素明显，简单阐述科学家的奋斗经历及主要成果，科学家们在追求真理的过程中坚持不懈、不惧困难、勇往直前的科学精神与勇气，以此来鼓励学生，增强斗志。而课程中的伯努利方程、里卡蒂方程、欧拉方程等均为后人以他们的名字命名的方程，李雅普诺夫提出了运动稳定性理论，来解决方程解的初值扰动的影响，最后诞生了李雅普诺夫稳定性问题。这些知识点均可引入名人轶事，教育学生要孜孜不倦、不怕困难、勇于钻研，不能急于求成，一步一个脚印，前辈们也是在不断探索和失败中砥砺前行，为学生树立正确的学习榜样，端正学习态度。

（二）从实际问题引入中挖掘思政元素

常微分方程在其它交叉学科中应用地位显而易见，尤其在数学建模中，而高教出版社出版的这本教材中，很少提及将微分方程与数学模型联系起来，往往是直接给出方程的定义，求解方法，故在教学过程中可从实际问题出发引导学生建立简单的微分方程模型，从而引出教学内容。比如在讲变量分离方程时，由论证星星之火可以燎原，引入Malthus人口模型[4]：在人口自然增长过程中，假设相对净增长率为固定常数k，记t时间人口总数为N(t),则在t到t+Δt时间段内人口增长数为, 即为关于N(t) 的一个一阶线性方程，从而引入变量分离方程。从人口模型中启示我们要控制人口数量，提高人口质量，正确处理人和自然的关系，走可持续发展道路。讲一阶线性方程时，可从实际问题艺术品鉴别模型入手，启发学生爱护文物，保护国家文化遗产，提升学生的爱国意识、家国情怀。此外，可结合传染病SIS 模型，与当前时事热点新冠病毒的相关知识相结合，从实际问题出发，建立一阶里卡蒂微分方程模型（或考虑病人治愈后可以重新被感染，建立SIS 模型，引入一阶方程组），在讲到传播途径时，可向学生宣传防疫、抗疫的科学意识和科学方法，努力安抚学生，不惧病毒，正确看待新冠病毒，同时增强学生对国家应对疫情的信心，提高学生对病毒的防范意识。同时可适当引入钟南山、李兰娟等科学家在抗击疫情中的感人事迹、卓越表现，培养学生的爱国情怀。

（三）从新知探究中挖掘思政元素

常微分方程课程偏理论，故要从课程内容中挖掘思政元素，就需要深入研究课程内容，理解各个知识点之间的内在联系，寻求解题过程、证明过程的一般规律以及蕴涵的思想方法。比如恰当微分方程与积分因子这一节，可采用小组讨论的方式，引导小组学生搜集资料，自行总结恰当方程的求解方法，并进行课堂汇报，提升学生查找、搜集文献的能力，同时让学生感受到团结协作的力量，培养分工协作及创新意识，最后由教师归纳总结恰当微分方程常用的几种求解方法：不定积分法、分组凑微法、线积分法等。同时教育学生，解决问题的方法往往不止一种，遇到困难时，可以多变换角度考虑问题。假如方程不是恰当方程，就需要想办法转化为恰当方程，这时候就需要寻找方程的积分因子，而积分因子的寻找是十分困难的，一旦找到，方程两端同时乘以积分因子，方程就可以转化为恰当方程，方程的解自然就迎刃而解。而积分因子就好比人生中的一座高峰，翻越之时困难重重，只要不断尝试坚持不懈，一旦达到顶峰，就会瞬间豁然开朗，柳暗花明。再比如第三章解对初值的连续可微性定理，这一章节内容理论性过强，对学生来说理解起来相对吃力，本身大部分学生对证明题都有与生俱来的恐惧感，而枯燥的推导过程更容易使学生心不在焉，这时可以采用几何图形形象的表示解对初值的连续依赖性定理，每一部分的证明对应画出相应的几何解释，这样学生更容易理解，达到事半功倍的效果，培养学生严密的逻辑推理能力的同时也培养学生透过表象看本质及抽象思维的能力，体现课程中蕴涵的数形结合思想。

常微分方程课程教学内容中的思政元素挖掘点见图1。

图1 常微分方程教学内容中的思政元素

将思政理论与常微分方程课程内容合二为一，活跃了课堂氛围，给课堂教学充满生机活力，使学生既学习了专业知识，又培养了学生透过表象看本质、量变引起质变等思维能力及由浅入深、由特殊到一般、由局部到整体等事物的一般规律，提升学生的文化素养、家国情怀和使命感，树立正确的哲学观和思想意识。

三、结束语

在课程思政的大环境下，常微分方程课程建设必须要保证知识传授的前提下，潜移默化的实现课程的育人目标。专业教师要努力做好专业课程内容的思政设计，努力学习思想政治理论及了解马克思主义观点，也要努力寻找德育与课程融合的有效途径，努力挖掘课程中的思政元素，才能更好的全员、全程、全方位育人。将常微分方程教学内容与思政理论合二为一融为一体，不仅丰富课堂内容，使学生对学习内容有更深入全面的掌握，知识内在联系及背景有进一步的了解，又可以接受思想政治教育，提升学生的个人素养、家国情怀和社会责任感，培养学生知行合一的品质，实现德育与专业教育相统一。

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重庆人文科技学院是经教育部批准成立的民办全日制普通高等学校，是全国应用技术型大学战略试点研究高校，重庆市硕士专业学位研究生教育培育试点单位。

学院创建于2000 年，西南师范大学与重庆利昂实业有限公司达成合作协议，联合创办西南师范大学行知育才学院；2006 年，西南师范大学与西南农业大学合并为西南大学，学院随之更名为西南大学育才学院，为独立学院；2013 年4 月，学院经教育部批准转设为独立设置的民办全日制普通本科高校，并更名为重庆人文科技学院。