金属表面缺陷检测方法YOLOv3I

刘浩翰,孙 铖,贺怀清,惠康华

(中国民航大学 计算机科学与技术学院,天津 300300)

由于工业金属零件在生产过程中产生的表面缺陷会影响机械设备的正常运行,因此能快速、准确、全面地检测其表面缺陷具有重要意义.目前,轴承沟道表面缺陷检测方法主要归结为两类: 标准的缺陷检测和基于深度学习的缺陷检测.轴承生产环境精细且复杂,所产生的缺陷大小形状各异,同时与金属表面有相似的纹理特性,因此检测较困难.标准检测方法通常需要相关领域质检专家参与检验缺陷,成本较高,同时无法避免视觉疲劳导致的误检、漏检,检测效果得不到保证.基于深度学习的缺陷检测方法主要有两阶段(two-stage)和单阶段(one-stage)两种.两阶段目标检测算法包括生成候选框和使用卷积神经网络(convolutional neural networks,CNN)[1]提取特征并进行分类回归两个阶段,其代表性算法有R-CNN[2],SPP-Net[3],FastR-CNN[4],Faster R-CNN[5]和Mask R-CNN[6].单阶段缺陷检测算法是基于端到端回归的方法,其典型代表有SSD(single shot multiBox detector)[7]和YOLO(you only look once)系列算法[8-10].两阶段目标检测算法因其对每个候选框进行特征提取、分类和预测框回归,因而具有较高的准确性,单阶段目标检测算法则具有更快的检测速度.

基于深度学习的目标检测算法依赖卷积神经网络提取输入图像特征,效果越好的模型通常有越深的卷积神经网络结构,同时网络模型会产生更多的参数量和计算量.例如: 田强等[11]通过改进残差模块结构,加强模型正则化抑制网络的过拟合,通过控制卷积核数量减少网络冗余参数,加速了网络训练过程; 朱海琦等[12]使用残差思想充分提取浅层特征信息,提高了浅层特征信息利用率; 黄凤荣等[13]基于Faster R-CNN引入多级ROI(region of interest)池化层结构,提高了发动机零件表面缺陷检测效率; 史文旭等[14]提出了融合和增强特征模块的SSD遥感图像目标检测算法; 连丽容等[15]基于RetinaNet深度学习模型结合双目机器视觉提高了路侧行人检测结果召回率,但检测速度低于对比算法YOLOv3(you only look once v3); 许增等[16]提出了结合DenseNet的改进YOLOv3方法,将网络的每层都与后面所有层连接,模型精度得到提升但显著增加了参数量和计算量; 易三莉等[17]使用U-Net结合Inception模块增加网络宽度,但Inception模块各分支卷积核大小相同,不能有效提取输入的多尺度特征; 杨焰飞等[18]将Inception模块放入特征融合支路因而降低了模型运行速率; 王雪[19]在U-Net基础上使用空洞卷积提取多尺度特征,因为使用不同的扩张率导致感受野不连续,可能会丢失如边缘之类的连续信息.上述方法有的通过增加网络模型的深度、合并模型获得模型在精度性能上的提升,缺点是引入了较多的参数,使模型运行缓慢,不能很好地兼顾检测的精度和速度,模型参数使用率较低; 有的通过使用改进后的残差模块提取浅层特征,但网络底层的维度变化,会丢失细节信息; 还有通过增加网络各层之间的连接,改变感受野大小,但会导致模型复杂度增大或丢失一些连续性信息.本文综合对比了YOLOv3,YOLOv4和YOLOv5[20]的最完全版YOLOv5x模型,经实验证明YOLOv4,YOLOv5不适合本文复杂纹理背景工业缺陷检测的研究,最终选择YOLOv3作为基模型进行工业金属表面缺陷检测的研究.

为权衡网络模型的精度和速度,本文基于YOLOv3提出一种改进的缺陷检测方法YOLOv3I(you only look once v3 inception).为解决轴承等工业零件表面缺陷大小不一难以检测、深度学习模型参数量大使用效率低的问题,将标准CNN结构使用单一固定大小的卷积核改进为使用多个不同尺度卷积核进行并行处理的结构,不同大小的卷积核有不同大小的感受野,可以适应和提取不同尺寸的缺陷特征,通过提取多尺度特征进行融合以提升网络模型的特征提取能力.在使用1×1卷积大幅度减少多个卷积核并行导致的参数增加问题的同时,引入空间可分离卷积,将卷积核分解为不对称卷积,增加网络的宽度和深度,在不改变感受野的前提下进一步提升了网络在精度上的性能,同时减少了模型参数量.标准CNN进行特征下采样时通常先对输入的多维特征进行维度提升使特征稀疏化,保留更多特征信息,升维表明需更高的计算开销,本文使用升维与池化多路并行的方式完成高效率下采样,同时在每个支路前使用1×1卷积降维,减小网络参数量,提高模型的参数使用效率.

1 YOLOv3模型

1.1 模型特征

两阶段检测方法通常用产生的候选框进行训练和预测,但产生候选框的过程会耗费很多时间,并重复对每个候选框使用分类器进行训练和预测,计算量较大,其较低的检测效率无法满足生产实时性要求.

(1)

由式(1)可见,网络特征提取能力的提高会增大每个预测网格是否存在物体的概率Pobject,从而使预测框进行分类预测时更“自信”.

同时每个网格会产生C个类别的条件概率PClassi|Object,即在预测网格存在物体的前提下产生的类别概率,预测框共享条件概率; 在预测阶段每个网格会产生3个不同大小的预测框预测输入图像上的目标,预测框的信息包括(x,y,w,h,confobject),其中x和y是预测框归一化位置,w和h分别为预测框归一化的宽和高,confobject为预测框中包含目标的置信度,预测框预测的每个类别的概率PClassi为

(2)

1.2 骨架网络

图1 DarkNet-53的组成单元BlockFig.1 Composition unit Block of DarkNet-53

CNN定义的标准范式[21]: 多个卷积层与池化层交叉堆叠,再通过多个全连接层进行向量展平输出.YOLOv3骨架网络DarkNet-53由5个段堆叠构成,单个段的输入输出特征图尺寸相同,段与段之间通过步长为2的卷积层进行下采样.Block借鉴残差模块[22]设计思想并通过堆叠形成不同的段,Block的输入输出尺寸维度相同,其结构如图1所示.

1.3 YOLOv3在金属缺陷检测中的问题分析

YOLOv3检测头部分使用多尺度网格划分的方案仍无法满足工业缺陷检测背景复杂的使用需求.多尺度网格划分在很大程度上缓解了同时检测不同大小目标的问题,密集的网格划分能更好地适应密集型目标的检测场景,但YOLOv3骨架结构设计的简洁特性,特征提取层仅使用单一卷积尺度,无法应对缺陷目标前景和背景纹理相似度高、区分度较差导致的误检和漏检情况.假设网络模型可学习到输入样本的多个尺度特征,就能更好地学习和理解输入样本特点,再结合YOLOv3多尺度目标检测的优势,可提高其对复杂背景下目标检测的性能.

残差模块在对残差分支进行拟合时只考虑了所拟合特征与底层输入是否有差别,未考虑多尺度特征的表达,未充分利用网络高层丰富的语义信息.残差网络对残差分支进行拟合而非对整个底层输入进行拟合,使模型在训练阶段能更快地收敛,恒等映射分支保留底层特征,具有特征复用的作用,最后两个分支进行相加操作,同时保留输入底层特征和学习到的特征.网络高层已逐渐开始映射输入数据的语义信息,如果网络高层对输入信息进行多尺度特征处理而不是简单地拟合残差信息,可提高网络模型高层对多尺度语义信息的响应,提高复杂场景下识别大小不同目标的能力.假设网络高层可使用不同大小感受野处理输入的特征信息,在保留底层特征的同时融合多尺度特征,将提高网络模型对多尺度特征的表达能力.

2 YOLOv3I模型

2.1 修正Inception

卷积操作通常是使卷积核在整个特征图上滑动计算,每个卷积核将只对某种特征敏感,其中大部分的激活值为0,这种密集连接结构的计算浪费了许多计算资源,一种解决办法是使用稀疏连接结构,现阶段硬件的实现均以数学矩阵即密集运算为基础而设计,可考虑在卷积层内部实现一种相对的稀疏结构,将稀疏的矩阵分解为密集的子矩阵进行计算,间接地利用矩阵的稀疏性、多支路并行的卷积结构以密集连接的形式实现稀疏计算,通过共享输入特征计算获取不同尺度的特征,将高度相关的特征聚集,下一层可同时提取不同尺度的特征,符合人类视觉信息的多尺度处理特点,对感受野中不同大小的物体都能进行正确的检测.基于此,Inception使用多尺度处理的概念,使用多支路卷积结构模块,1×1卷积提取局部信息,3×3和5×5是深度学习模型使用最多的卷积尺度,可以覆盖更大的感受野,捕获相距较远的激活信息之间的依赖信息,提取较大范围的空间信息,并且用这3种尺度的卷积可避免特征图尺寸对齐问题,鉴于池化操作在卷积网络中的成功应用,Inception模块添加了一个并行的池化支路,结构如图2所示.

较大的卷积尺寸如5×5会给模型带来较大的计算量,池化支路输出通道数与输入通道数相同,则下一个计算模块计算量加倍,例如: 假设对28×28×256维度的输入进行处理,各分支处理后维度为28×28×256,池化层没有参数,故不产生计算量,其中1×1,filters=128(filters指卷积核个数)卷积,3×3,filters=192卷积,5×5,filters=96卷积的计算量分别为28×28×128×1×1×256,28×28×192×3×3×256,28×28×96×5×5×256,共约8.54×108次乘加操作,若标准CNN卷积层单一大小卷积核为3×3,filters=256,则计算量为28×28×256×3×3×256,约为4.62×108次乘加操作,Inception模块计算量为其1.8倍,模块的堆叠将不可避免地使模型计算量急剧上升.

考虑到较大尺度卷积核可以聚合空间信息,因为特征图邻近单元有强相关性,相邻感受野的输出高度相关,因此在传入大卷积核和感受野之前进行特征降维,信息的损失会很小; 同时,为提高模型的表示能力增加模型的深度和宽度,使用1×1卷积[23],在较大卷积核之前进行降维,降低模型计算量,限制网络的大小,增加网络的深度,并且增加Inception模块层的卷积核数量,扩展了网络宽度.重新设计的Inception如图3所示.令符号#表示卷积层前面的1×1卷积层,则在较大卷积核前面分别使用#3×3,filters=64和#5×5,filters=96,池化层后面使用1×1,filters=64.

图2 Inception初始设计思想Fig.2 Initial design idea of Inception

图3 加入1×1卷积的Inception模块Fig.3 Inception module with 1×1 convolution

添加1×1卷积层不会破坏Inception结构的稀疏性,同时使用修正线性激活函数ReLU[24]增加模型的非线性表达能力,仍用上例,总计算量减少为3.58×108次乘加操作,相比不加入1×1卷积的Inception模块减少约60%的计算量,相比只有3×3卷积的标准CNN减少约22.5%的计算量,因此在堆叠Inception模块时不会导致计算量爆炸.综上,使用1×1卷积有3个作用: 1) 对多维度的特征进行升维、降维,减少模型参数量和计算量; 2) 增加模型非线性表达能力; 3) 增加模型深度和宽度.

2.2 引入空间可分离卷积

因为较大尺寸的卷积如5×5卷积计算量较大,减小其卷积核尺寸会缩小感受野大小,导致网络表达能力下降,因此引入空间可分离卷积[25],也称为不对称卷积.在不改变卷积层感受野的同时减少参数量,参数量的减少通常意味着计算量的减少,结构如图4所示.理论上,任何大小的卷积都能分解为不对称卷积,本文使用文献[18]的参数,设n=7.

空间可分离卷积是Inception模块的一个升级变种,标准CNN结构的单一固定大小的n×n卷积可使用1×n和n×1的不对称卷积替换,这样可进一步节省参数量,并且感受野大小保持不变,假设输入仍为28×28×256维,将3×3卷积分解为1×3卷积和3×1卷积的不对称卷积后,计算量为28×28×256×3×1×256×2=3.08×108,相比3×3卷积计算量减少约33.3%.如图5所示,将3×3卷积分解为1×3和3×1不对称卷积后,最终一个像素的感受野仍等同于3×3卷积的感受野,感受野大小均为3×3.同理,将图3中Inception的5×5卷积分解为两个3×3卷积,其底层感受野也将保持不变,再将每个3×3卷积使用空间可分离卷积分解为1×3和3×1卷积,最终结构如图4所示,然后将DarkNet-53段5的卷积结构替换为空间可分离卷积结构.

图4 Inception空间可分离卷积Fig.4 Inception with spatial separable convolution

图5 空间可分离卷积不改变感受野大小Fig.5 Spatial separable convolution won’t change receptive field size

2.3 使用池化与卷积并行结构的高效下采样

为避免池化导致信息丢失,在CNN结构中,通常会先对特征通道进行升维以保留足够多的稀疏特征.先升维将产生较大的计算量,先池化又将导致特征表示信息丢失,Inception使用池化与卷积并行结构的高效下采样同时完成升维和池化,结构如图6所示.

为提高对轴承等工业零件表面缺陷的特征提取能力,借鉴使用Inception[18,26]思想,不同于标准CNN卷积层使用单一固定大小的卷积核,使用多支路并行的多种规格卷积核对同一输入进行处理,然后将提取到的多尺度特征进行融合处理,并通过实验证明其有效性.

2.4 YOLOv3I网络结构

空间可分离卷积使用填充对多支路卷积和池化操作的输出进行尺寸对齐,文献[25]通过实验证明Inception模块不宜放到网络浅层,在特征图尺寸介于12～20间效果最好,段5输出特征图尺寸为13×13,因此将YOLOv3骨架网络DarkNet-53段5的Block使用空间可分离卷积进行改进,并保留DarkNet-53的残差结构,改进后的网络结构如图7所示.

图6 高效下采样模块Fig.6 Efficient downsampling module

图7 使用空间可分离卷积改进后的BlockFig.7 Improved Block using spatial separable convolution

池化操作具有平移不变性[27],因此在标准CNN结构中,使用多个池化操作缓慢减小特征图尺寸,降低模型的计算量,在一定程度上防止过拟合.单纯使用池化会导致特征空间信息的丢失,所以通常在池化前先进行升维以保留更多稀疏特征.为避免升维增加的计算量和池化导致的信息丢失,使用卷积和池化并行的结构完成高效下采样,结构如图4所示.在DarkNet-53的段3和段4、段4和段5之间均使用高效下采样结构.

3 实验及结果分析

3.1 实验数据集

本文使用公开数据集检验所提方法的可行性,并在轴承生产企业提供的真实轴承表面缺陷数据集上验证方法的实际效果.

公开数据集: 采用东北大学发布的钢板表面缺陷数据集NEU[28],图像分辨率为200×200,其中包括6种常见的典型金属表面缺陷,缺陷类型包括轧入氧化皮缺陷、补丁状缺陷、裂缝、麻点表面、夹杂质和划痕,每种缺陷类型有300张带有标注的缺陷图像,共1 800张图像.数据集NEU具有类内缺陷差距明显的特点,例如: 缺陷大小差异较大、纹理角度随机; 金属材质及表面反光导致的灰度值不统一等; 工业制造生产环境复杂性导致的金属制品复杂背景.这些特性使数据集NEU成为金属表面缺陷的代表性样本.

真实轴承沟道表面缺陷数据集: 从轴承制造工厂车间采集的约380张带有表面缺陷的轴承沟道图像,分辨率为640×480,其中包括短丝(short_wire)190张和砂轮花(wheel_flower)190张两个类别.短丝类似于麻点,呈向内凹和向外凸状; 砂轮花近似划痕,由打磨时与杂质碰撞产生.

表面缺陷数据不易采集,而深度学习模型常需要大量的数据才能学习到数据共有的特征以提高泛化性,本文对数据集进行数据增强扩容,用有限的数据集生成更多且同样有效的数据,使数据的分布更丰富,加强模型的鲁棒性,分别将数据集扩大10倍,数据集NEU扩增为18 000张,轴承数据集扩增为3 800张,均按8∶2配置训练集和测试集.

3.2 实验环境

实验平台采用Intel(R) Xeon(R) Silver 4214 CPU,32 GB内存,Ubuntu 18.04.5 LTS的服务器,使用NVIDIA Quadro RTX 5000 GPU进行加速运算,在Pytorch框架下进行开发与调试.

3.3 基模型的确定

平均精度(average precision,AP)和平均准确率(mean average precision,mAP)是缺陷检测最常用的衡量模型性能的指标,分别考察模型在数据集每个类别上的精度和模型在数据集所有类别上的综合性能.YOLOv4,YOLOv5的数据预处理功能默认开启,如马赛克增强(Mosaic)、自动聚类锚框等,YOLOv3未使用数据预处理.本文选用YOLOv3,YOLOv4和YOLOv5的最完全版模型YOLOv5x进行实验对比,以确定本文的基模型.

YOLO系列模型在对输入图像进行特征提取和划分网格进行最终预测时均将图像和特征图处理为正方形.为增加实验难度,使用图像长宽比不同的轴承数据集测试各模型性能,在训练过程中均使用多尺度训练.测试阶段为充分评估各模型检测性能,采用黑边填充,将输入图像按长边等比缩放至分辨率640×640.对比模型的各类别平均精度、平均准确率、参数量和模型复杂度,对比结果列于表1.模型复杂度用每秒浮点运算次数(FLOPs)表示.

表1 YOLO系列模型在轴承数据集上的性能对比

工业缺陷检测不同于自然生活场景下的目标检测,对输入样本过度地预处理和改进网络模型特征融合方式可能增加输入样本复杂背景对模型的扰动,导致模型“退化”.相比YOLOv3,YOLOv4通过增大感受野、集成多种注意力机制以及使用更多特征融合方式,模型显得臃肿,使得在处理复杂背景下目标检测问题时性能出现“退化”,YOLOv4之所以各类别平均精度较低,平均准确率仍可以达72.8%,是因为其仍有较好的召回率,为81.4%,说明了YOLOv4查找潜在缺陷的能力较强,但分类性能极差; YOLOv5发布已两年,至今未向COCO[29]等权威性公开数据集服务器提交结果,目前存在较大争议,本文测试了YOLOv5最完全版本YOLOv5x,其模型复杂度远超YOLOv3和YOLOv4.

综上,YOLOv3表现最好,因此本文选择YOLOv3作为基模型.

3.4 模型训练

用随机梯度下降(stochastic gradient descent,SGD)优化器进行参数的优化,初始学习率设为0.01,用余弦学习率衰减(cosine learning rate scheduler,COS),动量设为0.937,权重衰减系数设为0.000 5,使学习率缓慢减小从而更好收敛,模型训练300个周期(epochs).数据集增强扩容能有效防止过拟合现象.使用多尺度进行训练,即一个训练周期中每训练10个batch就将输入图像的分辨率随机加减n×32像素大小,数据集NEU输入图像分辨率保持在[224,416],轴承数据集输入图像分辨率保持在[480,640].图8为损失函数曲线.由图8可见,模型经过300个训练周期后曲线变化趋于平缓,说明模型均已收敛.随着训练的进行,YOLOv3与改进后的YOLOv3I模型在增强后的数据集NEU上的平均准确率变化如图9所示,由图9可见,改进后的模型所减少的参数并未影响其性能,并且YOLOv3I在精度上性能更好.

图8 模型损失函数曲线Fig.8 Loss function curves of models

图9 模型测试集上精度曲线Fig.9 Accuracy curves of models on test datasets

3.5 实验结果与对比分析

使用训练好的改进模型对数据集中的图像进行检测,图10和图11分别为YOLOv3模型和改进后的YOLOv3I模型对轴承沟道表面缺陷数据集和数据集NEU的检测效果.由图10和图11可见,改进后的模型对各类缺陷都有较好的检测效果,可检测出更多潜在的目标,并能以更高的置信度confobject检测缺陷目标.

图10 改进前后模型在真实轴承数据集上的检测结果Fig.10 Detection results of models before and after improvement on real bearing dataset

图11 改进前后模型在数据集NEU上的检测结果Fig.11 Detection results of models before and after improvement on NEU dataset

由图10可见,对于真实轴承数据集,第一组图片由于杂质与目标缺陷颜色类似,YOLOv3误将其检测为缺陷目标,而YOLOv3I并未出现误检测; 第二组对比图YOLOv3I检测出更多潜在的缺陷,模型召回率更高; 第三组在数据集图像较模糊时,YOLOv3I仍能保持较高的检测性能,体现了更好的泛化性能.由图11可见,改进后的模型对各类缺陷精度均有不同程度的提升.改进后的YOLOv3I模型参数量较原模型有一定程度下降,模型总参数量为4.76×107,而YOLOv3参数量为6.26×107,改进后的模型参数量减少24%,YOLOv3I模型复杂度有所降低.

为尽可能多地保留输入图像细节,模型测试阶段使用图像长边进行等比缩放,且要符合YOLO输入图像分辨率为32倍数的条件,因此轴承数据集上模型测试使用分辨率640×640,数据集NEU上模型测试使用分辨率224×224,相比于YOLOv3,二者计算量FLOPs分别减少12 GB FLOPs和1.6 GB FLOPs,降低了模型复杂度.

上述实验结果表明,改进后的YOLOv3I模型具有更强的多尺度特征提取能力,从而提高了模型预测框的置信度confobject,各类别的条件概率有提高,即提高了网络模型的分类性能,因此具有更好的检测性能,相比于YOLOv3,在均能检测出缺陷时,YOLOv3I的分类精度更高,YOLOv3I可将YOLOv3漏检的缺陷检测出来,即检测出更多的潜在缺陷,在工业缺陷检测中具有较高的应用价值.因此,使用多支路并行的卷积结构替换单层固定大小的卷积可提高模型在具有多样性缺陷类型数据上的性能,通过高效下采样能使模型同时完成升维并减小特征图尺寸,节省了模型参数,并且性能有一定提升.

本文使用单阶段检测方法SSD作为对比方法,并且SSD模型规模要大于YOLOv3,理论上SSD有更大的模型容量,模型特征表示能力应更强.表2和表3列出了YOLOv3,YOLOv3I和SSD在两个数据集上的对比结果.SSD同属于单阶段检测模型,使用VGG16作为骨架网络,通过对比结果分析可知,因VGG比较繁琐的设计,较高的计算量,在工业缺陷检测较复杂的背景下其检测精度不如YOLO模型.而本文改进方法减少了计算量,网络模型更有效,模型精度也有一定提高.

表2 不同模型在轴承数据集上的性能对比

表3 不同模型在数据集NEU上的性能对比

3.6 消融实验

为进一步说明改进模型的有效性,设置消融实验,在轴承数据集和数据集NEU上分别验证空间可分离卷积和高效下采样结构对改进模型的正向作用.

表4 轴承数据集上的消融实验

表5 数据集NEU上的消融实验

由于轴承数据集图像分辨率长宽比不同,因此为尽可能多地保留图像细节,使用640×640分辨率进行测试,而数据集NEU图像分辨率为200×200,为符合YOLOv3输入图像为32倍数的条件,使用224×224分辨率进行测试.由于二者使用不同分辨率进行测试,因此模型参数量规模相同时,在轴承数据集上的浮点计算量更高,因此模型在两个数据集上复杂度不同.由表4可见,由于轴承数据集规模较小,因此原方法YOLOv3即可达到91.6%的平均准确率; 使用空间可分离卷积,模型调和平均值有所下降,而平均准确率小幅上升约0.8%,说明空间可分离卷积并未同时提升查准率和查全率,但相比原方法有所提高,并且模型参数量约下降18%; 使用高效下采样后,调和平均值下降更多,反映了查准率、查全率二者提升不协调,平均准确率约提升1.5%,相比原方法降低了模型参数量和计算量; YOLOv3I参数量下降24%,模型复杂度减小12 GB FLOPs,模型容量减小的同时精度提升,提高了模型的参数利用率和计算效率.由表5可见,数据集NEU规模相比轴承数据集较大,在融合空间可分离卷积和高效下采样后模型平均准确率提高5.5%,模型复杂度下降1.6 GB FLOPs,与轴承数据集上结果相同,提高了模型参数利用率,证明了本文方法的有效性.

综上所述,本文通过修改YOLOv3骨架网络DarkNet-53,使用多支路并行卷积替换其段5的标准CNN卷积模块,增加了模型的宽度,对提取到的多尺度特征进行堆叠融合以更好地理解输入数据; 通过1×1卷积进行升维、降维,缓解了并行支路卷积堆叠引起的参数量爆炸问题,具有跨通道信息交流的作用,并加深了模型的深度; 使用空间可分离卷积不但保留了多支路并行卷积提取多尺度特征的优点,将普通卷积分解为不对称卷积,在保持感受野不变的前提下进一步减少参数量,在公开数据集NEU和企业提供的轴承数据集上通过实验证明了改进后模型性能的提升,并且通过设置消融实验进一步证明了本文方法的有效性.