立足数学文化,促进教育发展

高宇鹏 江涛

[摘  要] 数学教学中渗透数学文化具有应用价值、教育价值、美学价值等. 文章提出渗透数学文化须遵循相关性、趣味性、适度性等原则，并从课堂教学实录出发，具体介绍了基于数学文化渗透的解题教学措施与方法，最后从以下三方面提出思考：介绍数学史，激发解题兴趣;揭露数学美，培养审美情操;渗透数学思想，发展数学核心素养.

[关键词] 数学文化;解题教学;思维

近年来，随着新课改这股风的流动，数学文化已经潜移默化地渗透到高考试题中，这意味着高考不只考查学生的知识与技能，还注重学生的综合素养. 这就要求教师在日常教学中，应重视数学文化的研究，善于利用数学文化资源，引导学生在各种课型中感知、体验数学文化的价值，全方位提升学生的数学核心素养.

数学文化的价值

郑毓信教授提出：数学文化是一种既独立又开放的系统，是数学共同体特有的观念、行为与态度，也可以理解为数学传统，它以独有的方式推动着人类文化的进步与发展[1]. 数学文化可以帮助人们更好地认识、理解、改造这个世界，帮助人们更加科学地掌握学习方法，提升认知水平层次，对锻炼人的意志品质，增强人的理想信念，提升人的文化品味具有直接影响.

1. 应用价值

数学文化在人类生活的各个方面以及社会发展的各个领域中应用得极为广泛，如信息技术的发展就离不开数学文化的支撑——计算机的运行需要相应的软件，而软件就是数据结构、二进制与算法等数学知识的应用体现. 正如谷超豪先生所言：“数学是现代高科技的核心，而数学文化又是促进数学教育发展的基石. ”

数学因应用而产生，为应用所发展，如我们日常购物、就餐、分析股市、贷款投资等，都离不开数学知识的辅助，而这些知识的发展都依托于数学文化的日积月累. 因此，数学文化具有重要的应用价值.

2. 教育价值

数学文化属于人类文化的精华，能大幅度提升人类的综合素养. 当人们掌握数学基础知识、数学思想方法、数学精神时，能够不断提升思维能力，具备更好的数感与符号意识等[2]. 因此，数学文化的教育价值是其他任何训练方式都无法替代的.

除此之外，数学文化还能提升人们的鉴赏能力与解决实际问题的能力，一个具备良好的文化内涵与品味的人，不仅拥有“真善美”的特质，还拥有一个睿智的大脑. 因此，数学文化具有重要的教育价值.

3. 美学价值

以核心素养为导向的数学教学，需要将美学素养作为教学的重要内容之一. 数学美一般以结构的方式呈现，属于一种含蓄、深沉、科学的哲学之美，尤其是一些独特的数学知识，能够体现出数学学科独有的美感. 如最简的数学定理——欧拉定理，它以独有的美感在世界数学史上占有不败之地;再如勾股定理，它为人类创造出了無限的价值，它的美体现在方方面面.

数学是一门充满艺术的学科，称为“艺术”必有美学价值. 它的美与绘画的视觉、音乐的视听有所区别，数学文化的艺术美主要体现在科学范畴，如黄金分割的应用等，都展现了数学文化的美学价值.

渗透原则

1. 相关性原则

课堂教学关注更多的是学生“四基”与“四能”的发展情况，常忽视数学文化对核心素养发展的影响. 事实证明，将“四基”与“四能”的发展与“数学文化”有机地结合在一起，往往能达到事半功倍的效果. 这就要求教师在教学中，能根据教学内容渗透与之相关的数学文化，帮助学生从教学目标上建立联系. 长此以往，学生不仅能收获丰富的知识，还能接受数学文化的熏陶，促进核心素养的发展.

2. 趣味性原则

法国帕斯卡提出：数学是一门严肃的学科，教师应想方设法让它变得有趣. 教师若能结合学生的身心发展规律，在课堂上渗透一些风趣且有内涵的数学文化，不仅能活跃课堂气氛，调动学习热情，还能激发学生的学习动机，让学生产生探索欲，形成深度学习.

值得注意的是，教师不能为了“趣味”而随意选择一些没有根据的数学“史料”，渗透数学文化讲究趣味性的同时，还要注重其科学性、严谨性，择取与教学内容相关且有教育意义的数学史料，才能让学生集中注意力更深层次地理解知识的来龙去脉，让课堂充满活力且不失“庄重感”.

3. 适度性原则

数学文化固然重要，但渗透时也要把握好“度”. 首先，数学文化的渗透应在教学内容的基础上实施，应在能顺利完成教学目标的前提下进行，切忌将数学课上成历史课，出现喧宾夺主的现象;其次，择取的数学文化难度要适中，过于简单的内容难以达到预期效果，过于繁杂的内容又难以激发学生的探索欲，而落于学生最近发展区的内容才是恰到好处的.

解题教学中的渗透方法

例1 已知在△ABC中，A≥60°，求证：2a≥b+c.

这道题的起点比较低，学生很快就提出了用正弦定理“边化角”的方法解题，即将a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入问题，得到2a≥b+c与2sinA≥sinB+sinC等价. 这是应用化归思想，兼顾条件与结论的过程.

学生求证过程为：从项数变化考虑，2sinA≥sinB+sinC与2sinA≥2sincos等价. 由于sin=sin=cos，因此仅需证明sinA≥coscos即可.

关于sinA≥coscos的证明，学生呈现出了如下过程：sinA≥coscos的左边存在sinA，右边存在cos，从倍角公式出发，可改证2sincos≥coscos. 同时，在△ABC中，由A≥60°可得30°≤<90°，所以cos>0，也就是证明2sin≥cos. 因为2sin≥2×sin30°=1，但cos≤1，所以2sin≥cos成立.

从学生的证明过程来看，接近完美. 证明2a≥b+c前，学生就自主发现了条件和结论在形式上存在差别，因此用正弦定理实施转化，而后通过角与项数的变化，让不等式的两边进一步简化、整齐. 教师在此过程中与学生分享了正弦定理的数学史料，让学生在心理上产生了一种愉悦感，并从中体验到了数学之美.

例2 在△ABC中，如果A≥60°，R，r分别为△ABC外接圆和内切圆的半径，求证：2R+4（-1）r≥b+c.

学生经过思考，认为解决本题的难点在于如何将R，r，b，c转化为统一的形式. 从例1的解题思路出发，用正弦定理可以联系△ABC的边以及其外接圆的直径，至于怎样将R，r以及△ABC的三条边联系起来，还有待研究.

为了帮助学生理清解题思路，教师进行了如下点拨：解题时，如果实在找不到方法，可以借助数形结合思想，将抽象的问题转化为直观形象的图形.

基于教师的引导，学生呈现出了如下解题过程：

如图1所示，已知△ABC的内切圆和三条边的切点分别为D，E，F，内心为I. 根据相切关系，不难理解ID，IE，IF分别与BC，AC，AB边垂直，借助面积法得S=S+S+S，于是bcsinA=（a+b+c）r，所以r=①.

接下来将式①代入2R+4（-1）r≥b+c，则证明2R+4（-1）·≥b+c②. 借助正弦定理，消除正因子2R后，则证明1+4（-1）≥sinB+sinC③.

教师充分肯定了学生的证明过程，这里将形式混乱的不等式化归成了仅有三个角的正弦的不等式，问题变得简单许多. 此时，又有学生主动提出了新的运算方法：从r的表达式和角A的关系出发，根据△ABC三条边与☉I相切的条件，获得三条切线的长. 假设AE=AF=x，BF=BD=y，CE=CD=z，有z+y=a，z+x=b，x+y=c，可知x=. 同时tan=，因此r=xtan=tan④. 将不等式②转化成2R+4（-1）tan≥b+c后，应用正弦定理，再将不等式转化成1+2（-1）（sinC+sinB-sinA）tan≥sinB+sinC⑤.

如此轉化使得内切圆的半径和角A产生了关联，改变了解题目标. 至于不等式③或不等式⑤该如何推进，化简不等式③中复杂的分式或不等式⑤中左边偏复杂的第二项即可.

老子曰：“大道至简. ”以上解题过程告诉我们，数学解题追求的是一种简洁、对称与赏心悦目. 化繁为简的过程是促进学生思维发展的过程，亦是让学生感知数学文化博大精深的过程.

接下来，学生提出用三角形内角和与和差化积公式，得到sinA+sinB+sinC=4coscoscos⑥，sinB+sinC-sinA=4cossinsin⑦，将式⑥代入不等式③中的分母，不等式③的分子利用倍角公式展开，或将式⑦代入不等式⑤，把tan化弦后消除cos，获得待证明的同一不等式1+8（-1）sinsinsin≥sinB+sinC⑧. 在此基础上将不等式⑧转化为1+2cos·

2（-1）sin-cos

-4（-1）sin2≥0⑨（过程略）后再证明.

虽然此运算过程比较繁杂，但均为三角函数常规运算. 令学生感到意外的是内切圆的半径竟然存在两种代换方式. 最终学生利用分类讨论思想与放缩法，通过不等式证明法获得结论.

以上解题过程带给了学生较大的震撼，在解决数学问题时，我们需要从辩证唯物主义的角度出发，一分为二地进行观察与分析，只有踏踏实实地落实“四基”与“四能”，才能在数学道路上走得长远.

几点思考

1. 介绍数学史，激发解题兴趣

数学史是数学文化的重要组成部分，教材上所呈现的任何一个概念、定理或法则都不是凭空出现的，都有一个形成与发展过程[3]. 在解题教学中，教师可在学生应用某些定理时适当地渗透数学文化，激趣的同时深化学生对定理的应用意识.

如例1，题目门槛较低，学生顺利解题的同时，教师将相关定理的数学史料拎出来与学生分享，成功地激发了学生对这一类问题的研究兴趣，为接下来的解题教学奠定了良好的情感基础.

2. 揭露数学美，培养审美情操

若艺术美属于感性美，则数学美属于理性美和抽象美，它是一种数学思想、科学精神，需要人们用心去体会与领悟. 在解题教学中，尤其应注重数学的简洁美. 简洁美可以表现在数学语言、解题方法上. 哲学家狄德罗提出：美是将苦难、繁杂的问题简单化的过程.

在上述例题教学中，证明不等式2a≥b+c前，学生就自主发现了条件和结论在形式上存在差别，于是利用正弦定理实施转化，而后通过角与项数的变化，让不等式的两边进一步简化、整齐;在不等式2R+4（-1）r≥b+c的解决过程中，学生将形式混乱的不等式化归成了仅有三个角的正弦的不等式，让问题变得简单许多. 这些都揭露了数学的简洁美，为培养学生的审美情操奠定了基础.

3. 渗透数学思想，发展数学核心素养

学校教育的最终目标是促进学生更好地生活与工作，数学知识是教学的基础，数学思想方法则是促进学生形成可持续发展的关键. 数学思想方法是对问题本质的认识，与知识相比，思想方法的应用更深刻、广泛、久远.

如上述例题教学，就应用到了数形结合思想、化归思想、转化思想、分类讨论思想与整合思想等，这些思想方法的介入让解题过程变得更加简便，也让学生的头脑变得更加清晰. 因此，数学思想方法的应用是渗透数学文化必不可少的重要环节.

总之，数学文化是促进数学教育发展的关键. 作为新时代的数学教师，除了要有扎实的专业水平，还要“上知天文，下知地理”，要能在课堂恰当的时机“信手拈来”，推出与教学相关的数学文化知识，以激发学生的学习兴趣，夯实学生的知识基础，从真正意义上促进学生数学核心素养的形成与发展.

参考文献：

[1] 郑毓信，梁贯成. 认知科学建构主义与数学教育[M]. 上海：上海教育出版社，2002.

[2] 李小平. “数学文化”课的教学研究与实践[J]. 湘南学院学报，2013，34（05）：58-61.

[3] 葛亚平. 数学教学中融入数学文化的有效策略[J]. 教学与管理，2016（36）：100-102.