分数阶Hamiltonian 系统的可解性

薛婷婷

(新疆工程学院 数理学院，新疆 乌鲁木齐 830023)

经典的Hamiltonian 系统源于力学系统，是非线性科学研究领域中一类非常重要的研究对象.研究Hamiltonian 系统在解决诸多经典物理学、天体力学、航空科学、生命科学等方面都具有重要意义，国内外许多学者对Hamiltonian 系统产生兴趣，并取得了许多重要的结果[1-5].其中，具有左、右分数阶算子的微分方程的研究已经成为分数阶微分方程理论的一个新领域，广泛应用于反常扩散的物理现象，如分数阶对流扩散方程[6-7].考虑到左、右分数阶微分算子在全空间和Dirichlet 边界条件下具有变分结构，变分方法是研究相应问题可解性的重要工具.例如，Ervin 等在文献[8]中研究了如下稳态的分数阶对流扩散方程

式中： 0 ≤β ＜1，D是经典的一阶导数，和是左右Riemann-Liouville 型分数阶导数.通过构造合适的分数导数空间，利用Lax-Milgram 定理得到了该问题解的存在性和唯一性.

2013 年，Cesar[9]首次研究分数阶Hamiltonian 系统(简记HF)

(L)对t∈R，L(t)是 正定对称矩阵且存在一个函数l∈C(R,(0,∞)) ， 使得l(t)→+∞(t→∞)和 (L(t)u,u)≥l(t)|u|2,t∈R,u∈Rn.

文献[9]还要求W(t,u)满 足Ambrosetti-Rabinowitz 条件： (W1)W∈C1(R×Rn,R)且 存在一个常数 µ＞2，使得 0 ＜µW(t,u)≤(∇W(t,u),u), ∀(t,u)∈R×Rn{0}.即当 |u|→∞时 ，W(t,u)是超线性的.通过山路定理，得到HF(1)至少有一个非平凡解.在文献[10]中，Zhang 等要求L(t)是 正定且强制的，W(t,u)满足次线性增长条件，利用临界点理论中的亏格性质，研究HF(1)无穷多解的存在性.注意到，上述文献都是考虑L(t)满 足条件 (L)，它具有很强的限制性.然而当取L(t)=τIdn时 ，条件 (L)是 不满足的，其中 τ ＞0，Idn是n×n单位阵.如果没有强制性假设，则很难获得紧嵌入定理.在文献[11]中，考虑L(t)满足以下条件：

(L′)对t∈R，L(t)是 正定对称矩阵且存在常数 0 ＜τ1＜τ2＜+∞，使得

在条件 (L′) 下 ，作者获得新的紧嵌入定理.利用临界点理论中的亏格性质，在W(t,u)满足次线性增长条件下，得到HF(1)具有无穷多解的结果.此外，还有一些学者对研究势函数W(t,u)满足更一般的条件感兴趣.例如,Zhang 等在文献[12]中，研究势函数W(t,u)满足超二次项和次二次项的组合条件.通过山路定理，得到HF(1)至少具有2 个非平凡解的结果.

受以上文献启发，本文研究L(t)满 足条件(L′) ，势函数W(t,u)满足更一般的组合条件.这个新组合条件中超线性条件比Ambrosetti-Rabinowtiz 条件弱，次线性条件比一般次线性条件弱.本文需要建立新的紧嵌入定理，用于验证序列的紧性.通过临界点理论，研究HF(1)至少具有2 个非平凡解，在一定程度上推广了已有研究工作.本文研究势能W(t,u)具体形式为：

式中：当 |u|→∞时 ，W1(t,u)是 超线性的，W2(t,u)是无穷远处的次线性增长.

1 预备知识

定义1[8]函数u:R →Rn的 0 ＜α ＜1阶左和右Liouville-Weyl 分数阶积分的定义为：

定义2[8]函数u:R →Rn的 0 ＜α ＜1阶左和右Liouville-Weyl 分数阶导数的定义为：

下面用Fourier 变换定义分数阶Sobolev 空间Hα(R,Rn)， 并给出一个重要的Sobolev 引理.u(x)的Fourier 变换选 取 0 ＜α ＜1， 定 义 半 范 数 |u|α=和 范 数‖u‖α=

引理1[9]令 α ＞则Hα⊂C(R,Rn)且 存在一个常数Cα＞0，使得

注1由引理1 可知，若对 γ ∈[2,∞)，有

为了研究HF(1)解的存在性，下面将介绍合适的分数阶空间.设

则Xα是一个自反和可分的Hilbert 空间，其内积为：

下面给出本文用到的假设条件.

( H1)L∈C(R,Rn2)是 正定对称矩阵值函数，存在常数 0 ＜τ1＜τ2＜∞，使得

( H2)W1(t,u)=ω1(t)|u|s，其中s＞2， ω1∈C(R,R).

( H3) 存在一个开区间 Π ⊂R ，使得对 ∀t∈Π， 有 ω1(t)＞0 且 ω1(t)→0(|t|→+∞).

( H4) ∀t∈R，W2(t,0)=0，W2(t,u)∈C1(R×Rn,R) 且 存在一个常数1 ＜ϱ ＜2 和 一个连续函数b:R →R+，使得b(t)|u|ϱ≤W2(t,u), ∀(t,u)∈R×Rn.

( H5) ∀(t,u)∈R×Rn， 存在r1,r2∈(1,2)，使得

式中：bi(t):R →R+是 一个连续函数并且bi∈Lβi(R,R+)， βi∈

( H6)W1(t,u)=ω2(t)G(u)， 其中 ω2(t)∈C(R,R).

( H7) ∀t∈R， 有 ω2(t)＞0 且 ω2(t)→0(|t|→∞).

( H8)G∈C1(Rn, R),G(0)=0 且 当u→0时 ， ∇G(u)=o(|u|).

( H9) 当 |u|→∞时 ,

( H10) 存在h¯ ＞2和d1, ρ∞＞0 ， 使得对 |u|≥ρ∞， 有 ( ∇G(u),u)-h¯G(u)≥-d1|u|2.

引理2[12]若L(t)满 足条件( H1) ，则Xα连续嵌入到Hα.

注2由引理1 和引理2 可知，Xα连续嵌入到L∞(R,Rn) ， 因此存在C∞＞0，使得

另一方面，易知Xα嵌入L2(R,Rn)是 连续的.结合注1 可知，对 γ ∈[2,∞)， 存在Cγ＞0，使得

引 理3若 条 件( H1) 成 立，则Xα是 紧 嵌 入 到Lrζ(R,Rn)中 ，其 中r∈(1,2)，且 对t∈R，ζ ∈Lβ(R,R+)是正的.

证明对任何有界集Ω⊂Xα，存在d0＞0使得对u∈Ω， ‖u‖Xα≤d0.我们声称 Ω在Lrζ(R,Rn)中是紧的.事实上，因为 ζ ∈Lβ(R,R+)，所以对任意的 ε＞0，存在Tε＞0，使得

此外，由Sobolev 定理可知，存在u1,u2,···,um∈Ω， 使得对任意的u∈Ω，有

于 是 结 合(6)～(7)式 可 知， Ω在Lrζ(R,Rn)中 是 紧 的.显 然，Xα是 紧 嵌 入 到Lζr(R,Rn)中 ，其 中r∈(1,2)，且ζ ∈Lβ(R,R+)是正的.证毕.

引理4若条件 (H5)～(H8)成 立，如果在Xα中，若uk⇀u， 则在L2(R,Rn) 中 ，有 ∇W1(t,uk)→∇W1(t,u)和∇W2(t,uk)→∇W2(t,u).

证明假设在Xα中，uk⇀u.由Banach-Steinhaus 定理和(3)式可知，存在常数M0＞0，使得

从条件( H8) 和(8)式中，推断出存在d2＞0使得

因此，由(9)式，条件( H6) ，( H7)可知，

接下来证明在L2(R,Rn)中 ， ∇W2(t,uk)→∇W2(t,u).由条件( H5)和(8)式可知，

对i=1, 2成立.同理可得于是 利 用Lebesgue 控 制 收 敛定理，可 以 得 到 在L2(R,Rn)中 ， ∇W2(t,uk)→∇W2(t,u).证毕.

注3在条件 ( H2)～(H5)下，用同样的方法，引理4 仍然成立.

2 Hamiltonian 系统非平凡解存在的第一个定理

引理5[13]令B 是Banach 空间，I∈C1(B,Rn) 满 足(C) 条 件，即使得0(j→∞)的 序列在 B 上具有收敛子列.如果I还满足以下条件：(i)I(0)=0; (ii) 存在常数 ρ , η ＞0，使得I|∂Bρ≥η; (iii) 存在e∈， 使得I(e)≤0.则I存在临界值c≥η，其中

I:Xα→R

下面先建立HF(1)对应的变分框架.定义泛函 如下：

在条件 ( H1)～(H5)下 ，易知I∈C1(Xα,R)， 即I是定义在Xα上的连续Frechet 可微泛函.此外， ∀u,v∈Xα，有

于是有

此处， ∀v∈C0∞(R,Rn)，若

则称u∈Xα是HF(1)的一个解.

定理1假设条件 (H1)～(H5)成 立，则存在常数 µ1＞0 ， 使得对所有的 µ∈(0,µ1)，HF(1)至少有2 个非平凡解.

证明验证引理5 的条件成立，分4 步进行，如下所示：

(1) 验证泛函I满足 (C) 条 件.假设一个序列 {uk}k∈N⊂Xα使得 {I(uk)}k∈N有 界且满足‖I′(uk)‖Xα(1+‖uk‖Xα)→0(k→∞) ， 则存在一个常数M2＞0，使得

下证Xα中， {uk}k∈N有 界.否则，假设 ‖uk‖Xα→∞(k→∞).由条件(H4) ～( H5) 可知，对 (t,u)∈R×Rn，有

由（4），（10），（12）～（15）式，条件(H2) ，( H4) ～( H5) 和Holder 不等式可知，存在常数M3＞0， 使得当k→∞时，有

由注3 和(2)式可知，

根据（12）式可知，

结合（16）～（17）式可得， ‖uk-u‖Xα→0(k→+∞).因此，I满足 (C)条件.

(2) 由（3）～（4），（10），（15）式，条件( H2)和Holder 不等式可知，

因此，对 µ∈(0,µ1)， 存在 ρ1＞0和 η1＞0， 使得I|∂Bρ1≥η1， 其中Bρ1={u∈Xα:‖u‖Xα≤ρ1}.

(3) 选取 φ1∈Xα{0}， 其中 Π 是条件(H3) 中考虑的区间.对任意 ξ1∈R+， 由(10),(15)式，条件( H2) ,( H5)和Holder 不等式可知，

这意味着I(ξ1φ1)→-∞, ξ1→+∞.因此，存在＞0 使得令e1=，可以得到I(e1)＜0.因此，引理5的条件都成立.由引理5 可知，泛函I有一个临界值Γ={g∈C([0,1],Xα):g(0)=0,g(1)=e1}.因此，存在即函数是HF(1)的第一个非平凡解.

(4) 由（2）可知，在中，I是下有界的.选取 φ2∈Xα使 得 [0,1]中 ， φ2(t)≠0.对充分小的 ε1＞0，使得‖ε1φ2‖Xα≤ρ1， 由(10)式，条件( H2) ,( H4) 和1 ＜ϱ ＜2 ＜s可知，

综上所述，泛函I至少存在2 个不同的非平凡临界点，即HF(1)至少有2 个非平凡解.证毕.

注4文献[12]要求势函数W2满 足次线性增长条件：( A8) ∀ (t,u)∈R×Rn， 存在 ϱ ∈(1,2)使 得|∇W2(t,u)|≤， 其中c:R →R+是 一个连续函数且c∈Lξ(R,R+) ， ξ ∈[1,2].而本文定理1 要求势函数W2满足更一般的次线性增长条件 (H5).因为定理1 的条件 (H5)蕴含文献[12]中的次线性增长条件，所以定理1 的条件更弱.因此，本文的研究扩展了文献[12]的工作.

3 Hamiltonian 系统非平凡解存在的第二个定理

引 理6[14]设 B 是Banach 空 间，I∈C1(B,R)满 足 PS条 件，即 使 得 {I(un)}n∈N是 有 界 的 且I′(un)→0(n→∞)的 序列 {un}n∈N在 B 上具有一个收敛子序列.又设I(0)=0满足：

(i) 存在 ρ ,η ＞0 使得I|∂Bρ≥η;

(ii) 存在e∈B/Bρ使得I(e)≤0.

令Γ={g∈C([0,1],B):g(0)=0,g(1)=e},c=I(g(s))， 则c是I的临界值且c≥η.

定理2假设条件( H1) 和 (H4)～(H10)成 立，又设G(u)≥0 ， 则存在常数 µ2＞0 ，使得对每一个 µ∈(0,µ2)，HF(1)至少有2 个非平凡解.

证明验证引理6 的条件成立，分步进行，如下所示：

(1) 验证泛函I满足 ( PS) 条 件.假设序列 {uk}k∈N⊂Xα使得 |I(uk)|＜∞,I′(uk)→0， 则存在常数M4＞0，使得

下证Xα中，{uk}是有界的.设其中的 定义见条件( H10).由条件( H8)可知，于是存在 ρ2∈(0,ρ∞)，使得对 |u|≤ρ2，有

情形1：z0≠0.令Ω={t∈R||z0(t)|＞0}，则meas(Ω)＞0.易知存在Ω0⊂Ω使得meas(Ω0)＞0 和否则，对k∈N，有meas(Bk∩Ω)=0，其中Bk={t∈R||t|≤k}.可以推断meas(Bk∩Ω)=0，即meas(Ω)=0，这是矛盾的.因为 ‖uk‖Xα→+∞(k→∞)， |uk(t)|=|zk(t)|·‖uk‖Xα， 所以t∈Ω0， |uk(t)|→+∞(k→∞).另一方面，根据(10),(15),(18)式和条件( H5)，可以得到：

这意味着，

另一方面，由 Ω0的 性质和 条 件( H7) 可 知，存在 ϖ ＞0使 得 对t∈Ω0， ω2(t)≥ϖ.根 据条件( H6) ,( H7)，G(u)≥0和Fatou 引理可知，

这与(21)式矛盾.

情形2：z0≡0.根据（10），（12），（14）～（15），（18）～（19）式，条件（ H7） ，（ H10）可知，

矛盾.其余的证明类似于定理1 中的第一步.故I满足 ( PS)条件.

(2) 由条件( H8) 可知，存在 δ1＞0 使 得 | ∇G(u)|∀|u|≤δ1.考虑到G(0)=0， 所以对 |u|≤δ1，有

令 ρ3=根据(23)式，设 µ2=mi n这意味着对 µ∈(0,µ2)，存在常数 η2＞0使 得I|∂Bρ3＞η2.

(3) 选 取e3∈Xα(-1,1)使 得 ‖e3‖Xα=1.由( H7) ，在＞0使 得 对t∈(-1,1)， ω2(t)≥，所 以 存 在＞0和Y ⊂(-1,1)， 使 得对t∈Y ， meas(Y)＞0， 有 |e3(t)|≥.由 条 件( H9) 知，存 在 常数M5＞0 ， δ2＞0， 对 |u|≥δ2，有这意味着对，有

由M5的任意性可知，

由（4），（10），（15），（24）式和条件( H5)可知，

注5文献[12]中势函数W1满 足Ambrosetti-Rabinowtiz 条件，而本文定理2 中要求势函数W1满足更一般的超线性增长条件 (H8)～(H10).因为Ambrosetti-Rabinowtiz 条件蕴含定理2 中条件 (H8)～(H10)，所以定理2 的条件弱于Ambrosetti-Rabinowtiz 条件.

Solvability of fractio nal Hamiltonian systems