“三会”贯穿：乘法分配律的几何直观与意义建构

文|罗永军（特级教师） 许兆琛

在小学数学中，有哪一项运算定律特别重要，但又让学生常挠头、教师很抓狂？相信很多教师都会说，是乘法分配律。

它为什么特别重要？因为乘法分配律在运算中处于枢纽地位，是连通四则运算的关键节点。在加减乘除运算中，减法可以用“想加做减”来算，而除法相当于“乘倒数”，也就是说，小学的四则运算实际上可以归并到两个更为基础的运算：加法和乘法。连接这两个运算的定律即乘法分配律，而且是唯一的一个算术定律。乘法分配律的这个特性为多位数乘法，比如多位数乘一位数，多位数乘两位数、乘多位数提供了算理和算法。不仅如此，更为之后的代数运算提供了基础，比如合并同类项。对于乘法分配律的作用，有学者认为，它的发现使数学从“石器时代”发展到了“铁器时代”。

如此重要的数学定律，对于学生来说，难学吗？

一、痛点：学生为什么反复错

其实在正式学习之前，小学生有很多机会接触乘法分配律。比如在学乘法口诀时，把二三得6、三三得9，组合成三五15；学习一位数乘多位数时，如4 乘12 即4 个10 加上4 个2 合并得到48；还有长方形周长计算、两积之和的应用问题，等等。也就是说，学生在学习乘法分配律之前，已经有了一定的数学基础和应用经验，学起来应该不费劲。可是，现实情况不容乐观。

湖北宜昌天问学校的刘玉华老师曾做过大样本调研，结果显示，学生在学习乘法分配律时关注的是定律的“形”，如果改变一下乘数位置，如5×3+5×7，把5×3交换位置，变成3×5+5×7，学生的错误率马上上升，有写成3×（5+7）的，有写成5×（3+7）×5 的，还有把分配律和之前学过的结合律混起来，对连乘算式也进行了分配。学生从开始学，一直到五年级还是不断出错[1]。用类似的问卷，笔者对本校进行了调研，得到了相近结果。

为什么会错？以学生典型作答（30+4）×25=30+4×25 为例，从数学的角度来看，这当然是错的，但从儿童的视角来看，这又是“合理”的，因为在（30+4）×25 这个算式中，我们看到的是三个数，因此和它等价的算式“自然”也是三个数，比如30+4×25，这种基于视觉的数量守恒性就是学生的思维自然结构。而要形成正确结果30×25+4×25 则需要思维进行加工，这是人的思维的加工结构，当两者不一致时，错误就会产生[2]。另外，乘法分配律由于涉及到了两级运算，常常放在更为简单的乘法（加法）结合律之后教学，因此会因“同形继承”而受其干扰[3]，实际上这同样是由于学生的思维自然结构（基于视觉的形状守恒性）与思维的加工结构冲突所致。

二、疑点：教材是否给力

要让学生的思维冲破藩篱，建起新的结构不容易，作为重要教学资源的教材给出了哪些教学提示呢？从现行各版本教材给出的样例来看，主要方式是提供情境支撑，如在呈现求桌椅总价、植树总人数、铺地砖求总面积等情境中[4]，学生看图列式，发现算式a×（b+c）与算式a×b+a×c 的结果相同，从而得出a×（b+c）=a×b+a×c或a×b+a×c=a×（b+c）。

“呈现情境—看图列式—比较算式—寻找规律”的学习路径在运算定律的教学中不断重复，我们可能已经习以为常了。诚然，通过比较算式的异同来概括出定律的学习方式有利于学生快速认识乘法分配律“是什么”，不过对于定律“为什么”却难以解释，这会让学生只关注到定律的“形”，局限于“形”的记忆，一旦遇到“变形”，就会混乱，并且连“原形”也会被打碎，这正是学生反复出错的原因。

小学数学运算类知识属于程序性知识，程序性知识不仅要清楚“是什么”，还要理解“为什么”，更要明白“怎么变”。现行研究表明，对于学生目前的认知水平而言, 只有直观的才是他们容易理解和真正理解的[5]。现行教材在这方面给出的教学提示还不够充分。

乘法分配律需要怎样的直观？乘法分配律反映的是运算中数与数之间的组合关系，实际上它是对两个（或多个）独立的乘法算式进行了相应的组合，形成了一个新的乘法算式。这样的组合是可逆的，也可以由一个乘法算式分解成多个独立的乘法算式。因此，学生需要意义理解：

1.什么样的乘法算式（因式）是可以组合的？

2.多个独立的因式是如何组合成一个因式的（或者相反）？

3.因式合并（或分解）前后有什么变化？

进一步考查上述三个认知诉求，我们发现这实际上就是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）提出的“三会”[6]要求，即我们需要让学生用数学的眼光观察事实和现象，从而感悟什么样的因式是可以组合的；用数学的思维思考这些因式是如何合并（或分解）的；用数学的语言表达因式合并或分解的过程，概括出乘法分配律。

理念的关联还需要实践来契合，那么，如何为乘法分配律设计“三会”学习路径呢？

三、着力点：“三会”如何来破局

（一）会观察：在操作中“看到”现象

我们希望学生在情境中能够完整地体验到乘法分配律的生成过程，是以一种亲身经历的“观察”，而不仅仅是对算式的视觉层面的“观察”。怎样让学生能沉浸其中呢？为此，我们设计了一个“动手做”的项目，学生在解决问题中，边做边想，发现关系。

连连看：哪些长方形可以连在一起，拼成一个更大的长方形？

师：同学们玩过“水果连连看”吗？都玩过呀，喜欢吗？大家是不是都想自己来玩一玩？（呈现图形）这些长方形等着你来“连连看”呢。

生：我觉得②号和③号可以连在一起。

生：看上去好像可以。还不知道这些长方形的长和宽是多少呢。

（教师适时补上数据，学生进一步观察判断。之后学生两人一组动手操作拼摆长方形卡片，验证猜测，操作后交流）

师：成功了吗？你是怎样选择的，谁愿意来分享？

生：我发现①号和③号可以连在一起，连成后是一个长8 厘米、宽2 厘米的长方形。

生：①号还能和②号拼在一起，拼成后是一个边长为5 厘米的正方形。

生：把②号和③号连在一起就是一个长7 厘米、宽3 厘米的长方形。

师：大家为什么不用上④号长方形呢？

生：它的长和宽与其他长方形都不一样。

生：④号与其他长方形的长和宽对不上，会多出一截。

小结：通过交流，我们发现了连接成功的关键是：当两个长方形有一条边相等时，这两个长方形就能拼成一个更大的长方形。而④号长方形与其他长方形的长和宽都不相同，所以无法拼成一个长方形。

【设计说明：相较于看图写算

式的引入方式，由学生动手实践而生成的学习素材既能让学生经历知识的生成过程，又能使学生做思结合近距离地观察现实材料，从而有利于学生用“数学的眼光观察现实世界”，发展空间观念和几何直观水平。】

（二）会思考：在解析中“识到”关系

找一找：对照算式和图形，你发现了什么？

师：想一想拼好之后的图形，在框里画一画。用算式表示拼组过程，对照算式和图形，你能发现什么？

生：我发现可以把两个乘法算式拼成一个乘法算式。

生：我觉得两个乘法算式中如果有一个乘数相同，就能拼成一个乘法算式。

生：要有一个数相同，这样才能拼在一起，5×2+4×6 就不能写成一个乘法算式。

师：看来，④号长方形有点孤单。如果我们为它配一个长方形，让它也能连成更大的长方形，你准备怎么配？长和宽分别是多少？请你摆一摆。

（图略，学生根据④号长方形的长和宽配出了相应的长方形，在操作中思考，进一步感悟了乘法分配律的意义）

【设计说明：乘法分配律不仅能刻画算式的运算规律，也能反映图形的运动规律。在教学中，将“算式变化”和“图形运动”互通共融，形象生动地展现了因式合并的条件和方法，让学生的运算能力、空间观念和几何直观水平得到同步发展。在学生有了初步感悟之后，教师放慢了教学节奏，继续增加素材让学生积累经验，深入思考，理解关系。】

（三）会表达：在各种应用中“悟到”规律

1.呈现乘法算式

5×4 8×67×5 4×10

9×6 ⬇×6 9×⬇ △×4

师：同学们看到的这些乘式，哪两个可以“连连看”，连成一个乘式？你也可以把两个乘数看成长方形的长和宽，把乘式想象成一个长方形。

生：5×4 和7×5 可以连成5×（4+7），8×6 和9×6 可以连成（8+9）×6，4×10 和5×4 可以连成4×（10+5），因为它们都有相同的乘数，其他的都不行。

生：8×6 和⬇×6 好像也可以，但是不知道⬇是多少。假设⬇是1，那连成的是6×（8+1）。

生：其实不用管⬇是多少，只要有一个乘数相同，就可以拼成一个更大的长方形，是6×（⬇+8）。

生：这样的话，4×10 和△×4也可以连在一起，是4×（10+△）。

生：我觉得⬇×6 和9×⬇也可以连在一起，是⬇×（6+9）。

【设计说明：在初步感知乘法分配律的特点后，我们进一步提供“算式”素材，借助几何直观，深化对乘法分配律的意义理解。这里“算式”中的乘数，既有具体的数，又有抽象的符号，发展了学生的代数思维，从而更好地感悟乘法分配律的结构。】

2.补算式：如果算式不全，你还能连吗？

5×8+5×____=5×（8+2）

8×6+____×____=8×（6+4）

9×____+____×____=9×（3+7）

3×（2+5）=__________

3.这样的算式还能表示数学中、生活中的其他问题吗？

（1）选一选，哪幅图能表示3×（2+5）=3×2+3×5？

（2）请你来画一画：3×（2+5）=3×2+3×5。

【设计说明：在变式应用中，一方面变化“式”的不同形态，使学生积聚运算结构的思考，另一方面始终强调“式”“形”互通，即从“算式”想到“图形”、由“图形”归为“算式”，使学生既熟悉乘法分配律的形式，又理解其意义。同时，学生的应用意识也得到了提升。】

4.建立结构

师：我们发现的规律可以怎样表示？你能不能用文字、字母、符号等方法来表示你发现的规律？

小结归纳：ɑ×b+ɑ×c=ɑ×（b+c）或ɑ×（b+c）=ɑ×b+ɑ×c。

师：非常棒！我们把这样的运算规律称为“乘法分配律”。看到乘法分配律让你想到了什么？在以前的数学学习中，你遇到过吗？

生：我想到了前几节课中学过的“长方形周长”，长×2+宽×2=（长+宽）×2。

生：我的铅笔盒上有乘法口诀表，乘法口诀中也有分配律，比如7×9 可以看成是由3×9 和4×9加起来得到的。

生：我想到了动画片中的“黑猫警长抓老鼠”，警长ɑ 分别去抓2 只老鼠b 和c，相当于ɑ×b+ɑ×c，抓到老鼠后关进笼子里就好比ɑ×（b+c），这就是ɑ×b+ɑ×c=ɑ×（b+c）。

5．回顾反思，提出新问题

学生回顾过程，并提出新问题：乘法对减法有分配律吗？除法对加法有分配律吗？乘法分配律除了计算，还有什么用处呢？

【设计总述：2022年4月，作为学校“百年校庆展示活动”的数学专场，我们线上线下相结合，对省内外广大数学教师分享了这节课，得到了广泛鼓励。

与典型的“看图写式—比较算式—概括规律”重视运算律形式的教学相比，这节课更强调学生的运算能力和几何直观水平同步发展，更强调运算律的意义构建，以“三会”来贯穿教学：一是学习素材让学生自主创生。学生自己动手操作生成的学习材料，让学生能够亲历“会用数学的眼光观察”，理解知识的来源与形态。二是意义建构体现了数学本质。在教学中不断促进学生“会用数学的思维思考”算式与图形之间的对应，通过几何直观，促进概念之间的联系。学生在思考中自己分析、解决问题，对乘法分配律的几何意义和运算规律有了较为深入的理解。三是数学应用凸显了变式体验。在教学中通过多角度理解，有层次推进，深入感悟，在此基础上让学生“会用数学的语言表达”乘法分配律的结构和表现形式。回顾整个教学，我们体会到新课标提出的“三会”要求，既是学生素养发展的目标，又可以作为我们教学设计的方法论，以此来设计教学路径和学习素材，能够更好地达成教与学的一致性。】

基于“三会”要求，设计“三会”路径，发展“三会”素养，我们还只是初步尝试，旨在抛砖引玉，期待更多的教师来创意实践、智慧分享。