探赜索隐 钩深致远

钟黎 朱源

在《普通高中课程方案（2017年版2020年修订）》中提到普通高中的培养目标是“具有科学文化素养和终身学习能力，具有自主发展能力和沟通合作能力”[1]，如何让高中生兼具“理性思维”和“人文品质”，这就驱使教师要拥有超越学科的跨界视野。其次，在近年发行的《中国高考评价体系说明》中也提出要从“基础性、综合性、应用性、创新性的角度对素质教育的目标进行评价”[2]，而综合性的、跨学科的教学内容也能为评价落地提供抓手，实现对学生核心素养的综合考查。此外，数学史与数学教育（HPM）是近十年数学教育界研究的热点，这一理念对学生数学观和数学价值观的完善大有裨益。但由于大多数数学教师缺乏数学史的储备，导致这一理念未被大面积运用，恰好历史教师能弥补这一不足。综上所述，在课改、新高考等顶层设计的指引之下，结合近年来日益成熟的学术研究成果，数学与历史学科的融合是适时，教师探索新的教学方式更是适需的。

一、教学内容分析：融什么

“学科融合需要有一个相对稳定的支点，这样才能围绕特定支点汇聚各种学科知识。”[3]如何寻找融合支点，我们翻阅了两个学科的课程标准发现，《普通高中历史课程标准（2017年版2020年）》提到：“认同社会主义核心价值观和中华优秀传统文化。”[4]《普通高中数学课程标准（2017年版）》提到：“感悟我国古代数学的辉煌成就。”[5]在课标的引领下，我们立足并深挖教材，发现《九章算术》作为“中国古代算经之首”，在历史和数学新教材中均有提及，这说明《九章算术》作为“融合点”是可行的。在确定融合点之后，我们紧接着要确定融合的内容，我们从“方田章”中选择了一个数学问题，即“今有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七，问为田几何？”作为本次授课的核心材料，围绕这一数学问题，从两种学科视角去分析，呈现出融合课高度整合并相融的特点。从数学学科视角来看，本题考查的是弓形面积的计算，《九章算术》中给出的“术解”是一个经验公式，得到的是弓形面积的估计值。后来刘徽在作注时优化了“术解”，这种优化方法与与阿基米德的“穷竭法”相似，是“化曲为直、无限逼近”的极限思想的雏形。从历史学科视角来看，本题其实是先秦时期土地制度变化、“废井田、开阡陌”的表现，农业生产中大量不规则形状土地的出现，加之富国强兵的需要，新算术孕育而生。正如恩格斯所说：“数学是从人的需要中产生的，是从丈量土地和测量容积，从计算时间制造器皿中产生的”[6]，渗透唯物史观的基本原理。

根据以上教学内容分析，我们确定了此次融合课的教学目标：“比较弓形面积术解、术解的优化及与阿基米德方法三者，了解数学‘以直代曲、 无限逼近’的极限思想”，“了解中国古代数学‘实用性’与‘算术化’的特点，分析中国古代数学在近代逐渐衰落的原因”。据此，我们确定了本节课的主题为“探赜索隐，钩深致远”，这句话出自《周易》，后世史家认为《九章算术》以《周易》为典范，受到了它的广泛影响。前半句是指探究事物的本质与深奥的道理，我们期待这节融合课能带领学生走进中国古代数学，挖掘数学本质、探究数学规律。后半句是希望同学们在探究完这些问题后，认识到中国古代数学对古代和现代所具有的“深远”影响。

二、教学过程阐述：怎么融

为令学生既领略数学的数理思辨、也能感叹历史的人文光辉，我们将本节课重新整合成三个部分。同时，本课也采用“任务驱动”的模式，下设七个任务，让学生在完成任务的过程中，达成本课教学目标，落實学科核心素养。

（一）以治天下，以利民用

任务一：分析“方田章”中出现大量“非方形田”的原因。

《九章算术》系统地总结了先秦至秦汉时期人们在社会实践中积累的数学知识，归纳成246个例题，分成九个大类：方田、粟米、衰分、商功等。“方田”章主要解决土地的丈量与赋税计算问题，但为何名为“方形”田的章节，却出现了大量“非方形”田的计算。教师引导学生结合《九章算术》的成书背景，从春秋战国时期土地制度变革的角度去分析原因。春秋战国时期铁农具与牛耕的使用，促使土地的大量开垦成为可能，而开垦出的土地未必呈“方形”。再加之各国为了“富国强兵”，需要统计土地数量以收取地租等等。这些活动都需要测量多种形状的土地面积，统计并测算土地成为国君的治国之术和国家的重大要务，因此推动了新算法的诞生。

最后，教师引用恩格斯的观点，引导学生从“唯物史观”的角度去理解生产力的进步带来的社会意识的发展，认识人民群众在社会发展中的重要作用。这一环节，教师引导学生通过多种不同的方式与视角，去描述和解释这一时期土地形状的演变，培养学生的历史解释和唯物史观素养。

之后，历史教师将讲台交给数学教师。数学教师选取“非方形田”中的“弧田”，带领学生一起探讨中国古代的先民们是如何计算它的面积的。

（二）探数之赜，穷数之道

任务二：思考计算“弧田（弓形田）”面积的方法。

教师将《九章算术》的第36个例题翻译成现代语言和数学语言。让学生结合高一所学，思考计算方法，得出“今解”（用扇形面积减去三角形面积）。紧接着提问学生，那么古人们是怎么计算的呢？进入到任务三的探究中。

任务三：探究中国古人采用经验公式计算弓形田面积的原因。

教师将展示古人的的计算方法——“术解”，并用数学语言转述。这是一个经验公式，得到的只是弓形面积的估计值。教师提问学生，古人为何没有提炼出计算弓形面积的精确方法？由于古代学者缺乏对角的认识与度量，没有发展出三角函数，因此“今解”未被当时的数学家发现。让学生从这一事例中体悟数学之道——“数学来源于生活，高于生活”。而“术解”作为一种经验公式，在实际应用过程中会出现较大误差，那如何优化呢？进入到任务四当中。

任务四：尝试改良术解的估算方法。

学生通过小组合作，探讨优化的方法。教师总结完小组讨论的结果后，通过Geogebra展示刘徽的优化方法。刘徽在为《九章算术》作注时通过弓形内接等腰三角形填充的方法优化了“术解”，这种方法与“割圆术”一致。这一环节让学生在古今对比中，感悟古人的智慧和数学之道——“数学的动态发展观”。

不过，面对同样的“弓形”，西方的大数学家阿基米德也曾经提出过他的解决方法，进入到任务五当中。

任务五：分析刘徽法和阿基米德法的关联。

教师通过Geogebra展示阿基米德用的穷竭法，并引导学生进行横向对比，领会中国刘徽与西方阿基米德在解决这一问题的思想上的共通之处——“化曲为直、无限逼近”思想，后来这种思想发展成了近代的“微积分”。这一环节让学生在中西对比中，感受数学的动态发展过程，并获得极限思想的直观经验。

刘徽法和阿基米德法中都蕴含着早期微积分的思想。如果我们将东西方数学发展史理解为两条线，此刻它们相遇在微积分萌芽阶段，而在此后，两条线是交织前行还是渐行渐远？我们进入第三部分的学习，数学教师将讲台再次还给历史教师。

（三）旨趣既异，途径亦殊

历史教师展示“公元前6世纪—1950年数学的重大成就分析”一表，引导学生归纳中国古代数学的发展脉络。学生根据表格能分析出，迈入世界近代以后，中国古代数学就逐步衰落了下去。

而衰落的原因何在？在回答这一问题前，得给学生提供一定的“脚手架”。需要先让学生知道中国古代数学是什么样的？它具有怎样的特点？以此过渡到任务六。

任务六：分析中国古代数学的特点。

教师依托“《唐阙史》中杨损用‘书算’选拔官员的故事”来创设情境，让学生神入历史，分析中国古代数学的特点。材料中“为吏之最，孰是先于书算耶”一句道出中国古代数学是统治者“治天下、利民用”的工具，分析得出中国古代数学具有“实用性”和“算术化”的特点。紧接着，我们以此为基础，一同探究任务七。

任务七：探究中国古代数学发展至近代衰落的原因。

教师在课前将学生分成四个小组，阅读学案材料，引导学生从“内部”与“外部”两大角度探究衰落的原因。

材料1：

Q： 著名院士吴文俊认为中国与西方古代的数学存在“旨趣既异、途径亦殊”的现象，结合材料，谈谈你对这一观点的理解？

Q：结合材料，分析中国古代数学在近代衰落的原因？

这里着重呈现材料一，材料一呈现了以《九章算术》为代表的古代中国数学与以《几何原本》为代表的西方数学在“旨趣”与“途径”上的区别。中国数学从解决实际问题出发，形成算法，即计算的过程、方法和步骤，构造出以机械化为特色的算法体系。西方数学从公理出发，通过推理论证的方式，形成一套以公理化为特点的演绎体系。材料二则说明中国古代封建专制制度和政治思想对知识分子和古代数学发展所形成的束缚。材料三则说明儒学漠视实用之学和古代用数字推断人事吉凶、测定国运兴衰的神秘思想阻碍了古代数学的发展。材料四则说明古代数学繁琐复杂的符号体系在数学的抽象化表达中存在局限。最后从“内部”与“外部”两大角度总结中国古代数学发展至近代衰落的原因。

通过前面的学习，我们知道中国古代数学发展至近代后，逐步衰落了。那是否意味着中国古代数學就此“绝迹”了呢？

我们着重解方程，解决各式各样的问题，着重计算，要把计算的过程、方法、步骤说出来。这个方法步骤，用现在的话来讲，就相当于所谓算法……中国的古代数学是一种算法的数学，也就是一种计算机的数学。

——吴文俊《东方数学的使命》

教师介绍我国著名院士吴文俊的“数学机械化”思想，让学生了解到中国古代数学重“算术”的特点与当今计算机时代下重“算法”的趋势有异曲同工之处。以算法为核心的机械化思想，将为信息时代数学科学的创新发挥重大作用。这一环节促使学生意识到中国古代数学在现代社会的延伸与发展，感悟古代数学的价值，提升学生的科学精神。

三、教学反思说明：融得如何

本课例是深圳实验学校光明部历史学科以深圳市普通高中新课程新教材实施学科示范基地建设为牵引，探究学科融合的阶段性成果。该成果填补了部分文理学科融合的缺漏，但也存在授课时长分配、学案材料选择、课堂目标强化等课程后续优化问题，也对融合课是否要坚守学科立场、授课过程中教师角色分配等学科融合理论问题进行了探讨与反思。

不可否认，伴随着知识经济时代的到来和信息技术的迅速发展，社会对综合型、创新型人才的需求只会越来越大。相互贯通、交叉融合的学科融合课是时代发展的必然、也是新时期教师教学努力的方向。诚如季羡林先生所说：“像过去那样，死守学科阵地，鸡犬之声相闻，老死不相往来，己经完全不合时宜了”[7]，让我们一同打破学科壁垒，看到更多历史学科和学生发展的新可能。

【注释】

[1][4]教育部：《普通高中课程方案（2017年版2020年修订）》，北京：人民教育出版社，2020年，第3、13页。

[2]教育部考试中心：《中国高考评价体系说明》，北京：人民教育出版社，2019年，第25—27页。

[3]韦学飞：《学科融合的价值、目标与途径》，《教育理论与实践》2021年第17期，第9页。

[5]教育部：《普通高中历史课程标准（2017年版）》，北京：人民教育出版社，2017年，第31页。

[6]恩格斯：《反杜林论》，北京：人民出版社，1970年，第35—36页。

[7]季羡林：《光阴的馈赠》，北京：中国纺织出版社，2020年，第222页。