分形分抗逼近电路的简略分析法：理论基础与应用

邓颖 袁晓

根据分形分抗逼近电路的电路结构特征，利用一种新方法——简略分析法，对分形分抗逼近电路的运算特征和性能进行定性研究.针对未经拓展前的Oldham分形链分抗逼近电路，建立简略分析法的理论基础，确定该理论研究的组成内容，并验证该种方法内容构成的可靠性.在此基础上，利用简略分析法实现标度拓展后的分形分抗逼近电路在运算特征与性能方面的应用研究.利用典型的数值求解方法进行仿真来验证应用结果.总结性提出简略分析法使用过程中应当遵循的法则，为分形分抗逼近电路运算性能和特征的研究提供理论指导.

分抗逼近电路； 简略分析法； 特征频率； 近似求解； 运算有效性

TP211+5A2023.013002

收稿日期： 2022-04-27

作者简介： 邓颖（1998-）， 女， 四川资阳人， 硕士研究生， 研究方向为信号与信息处理.

通讯作者： 袁晓. E-mail： yuanxiao@scu.edu.com

Theoretical basis and application of fractal fractance approximation circuit

brief analysis method

DENG Ying， YUAN Xiao

（College of Electronics and Information Engineering， Sichuan University， Chengdu 610064， China）

According to the circuit structure characteristics of fractal fractance approximation circuit， a new method， brief analysis， is used to qualitatively research the operation characteristics and performance of fractal fractance approximation circuit. Aiming at Oldham fractal chain fractance approximation circuit before expansion， the theoretical basis of brief analysis method is established， the content of the theoretical study is determined， and the reliability of the content composition of this method is verified. On this basis， the application research of scale-extended fractal fractance approximation circuit in computing characteristics and performance is realized by using brief analysis method.A typical numerical method is used to verify the application results. In conclusion， this paper puts forward some rules that should be followed in the application of the brief analysis method， and provides theoretical guidance for the study of the performance and characteristics of fractal fractance approximation circuit.

Fractance approximation circuit; Brief analysis method; Eigenfrequency; Approximate solution; Operational effectiveness

1 引 言

分抗逼近电路理论研究的内容首先是根据电路结构和数学描述分析其运算特征和性能［1］.由于分抗的分数阶微积分运算性能，使用分数阶电路与系统对许多自然现象的物理建模，使得对问题的分析更加精准可靠.比如分数阶信号处理［2，3］，分数阶扩散过程［4，5］及分数阶电路与系统［6，7］等.

对于未经标度拓展的分形分抗逼近电路进行归一化后，可获得其归一化迭代电路以及对应的归一化迭代方程.对于标度拓展［8］后的任意阶标度分形分抗逼近电路，其有理阻抗函数的代数迭代方程都是典型的非正则标度方程，该类方程目前还无法解析求解.归一化迭代方程与非正则标度方程作为数学描述分别蕴含标度拓展前的分形分抗与任意阶标度分形分抗的运算性能［9］，然而分析分形分抗逼近电路的运算特征与性能需要借助数值求解的方法获得.Oldham Ⅰ型分形链分抗与标度拓展后的Liu-Kaplan Ⅰ型分形链分抗数值仿真的运算性能曲线如图1所示.

根据数值仿真定量分析的结果可知，Oldham Ⅰ型分形链分抗具有低频有效的负半阶运算特性，且其本征K指标即为lg4.标度拓展后的Liu-Kaplan Ⅰ型分形链分抗任意负分数阶算子的有理逼近且运算阶为Liu氏阶，且具有固定的振荡周期W=lgσ.即数值求解可以实现对分形分抗逼近电路的运算特征与性能的定量研究［10，11］.而数值求解往往需要借助仿真工具编程实现，如何实现在数值仿真分析之前，简单快速并且相对精确地根据电路的拓扑结构从理论上定性分析分形分抗逼近电路的运算特性是一个值得探寻的问题.如分形分抗逼近电路的运算阶与运算有效性判断问题，逼近带宽与特征频率的求解问题，频段划分的问题等.对于Oldham Ⅰ型分形链分抗逼近电路，K指标为什么是lg4的问题在理论上还未得到解决.对于标度分形分抗，其固有振荡周期W=lgσ的理论验证问题，且由于标度分形分抗的数学描述为非正则标度方程无法解析求解，寻找理论分析标度分形分抗运算特性与性能的方法也是很有必要的.

本文利用一种从电路结构角度出发的新研究方法——简略分析法，解决从理论上定性分析分抗逼近电路的运算特征与性能的问题.以Oldham分形链分抗逼近电路为例建立简略分析法理论，确定简略分析法的理研究内容.在利用数值仿真验证该方法合理的基础上，运用该种方法实现对标度分形分抗逼近电路关于运算特征与性能方面的应用.

2 简略分析法的理论基础建立

简略分析法以分形分抗逼近电路为研究对象，根据电路的拓扑结构，探究不同初始阻抗条件下，不同频段电阻与电容的频域特征，比较电阻阻抗与电容阻抗的相对大小关系，对电路中的电阻与电容进行短路或开路处理，得到简略电路与对应的阻抗函数.通过绘制近似Bode图等方式初步判定分形分抗逼近电路的运算有效性，进而分析运算特征及性能指标参数.

2.1 简略分析法：归一化处理与初步分析运算性能

Oldham等根据半积分电解分析的大量实验及理论分析，引进一类负半阶运算特征的RC分形链分抗逼近电路［12-14］，其原型电路如图2a.

当初始阻抗Z0（s）=∞时，根据电路结构可得到其阻抗函数

4 简略分析法的应用验证及近似求解的法则

4.1 简略分析法应用的验证

对于标度分抗逼近电路的数值求解算法的选取，由于B型标度分形塔、2h型标度分形树等双重标度分抗电路本身的迭代结构复杂，电路不能等效为双口网络，传输参量矩阵法难度较大不再适用.因此统一选用标度矩阵迭代法和系数矢量迭代法两种典型的数值求解方法对各标度分抗逼近电路的应用进行验证.

在不同初始阻抗下，对标度分抗逼近电路进行数值求解的系数矢量迭代法和标度矩阵迭代法的初始迭代参数如表2.同样以初始阻抗y0（w）=0时为例，数值仿真标度分形格正比拓展与反比拓展的频域特性曲线如图14所示.

观察图14a和14b反映出简略分析法近似求解可粗略分析标度分形格的运算性能，与图8中Oldham Ⅰ型分形链的幅频特性对比曲线总体相比误差较大，且特征频率指数也存在一定的误差，原因是标度拓展后的分抗逼近电路引入标度特征参量，随着电路节数的增加，标度特征参量随指数的增加而大幅变化，由此带来的简略分析近似误差相对更大.除此以外，当在初始阻抗y0（w）=0时，在由电容起主要作用的频段内，利用简略分析法求解转折点幅频特性时，需要在特征频率指数与幅频特性函数的求解时进行两次简略分析，从而增加误差.图14c和14d发现，标度分形格分抗在低频逼近带或者高频逼近带具有分数阶运算性能，且运算阶μ=-lgα/lgσ.验证标度分形格分抗逼近电路的振荡周期为W=lgσ，即随着迭代次数k的递增，逼近带宽增加lgσ.

综上可知，数值求解分形分抗逼近电路的运算特性与性能的结果与采用简略分析法进行理论分析的结果基本相符，利用简略分析法实现对分形分抗逼近电路关于运算特征与性能的应用研究是合理的.

4.2 简略分析法的使用法则

根据上述不同分形分抗逼近电路利用简略分析法进行运算特征与性能的应用研究，可实现在各种初始阻抗条件下的运算特征于性能的研究，分形分抗逼近电路使用简略分析法的法则如下.

（1） “归一处理”——对于原型电路及其阻抗函数可进行归一化处理，从而便于利用数学描述反应电路的特征与性能.

（2） “从简出发”——对于迭代电路的性质研究，选择从迭代次数k=1出发依次递增分析其幅频特性，总结相关规律寻找共性.

（3） “优先极限”——优先考虑极限频率时的频域特性，此时得到极限频段起主要作用的元件，实现对归一化阻抗函数的简化.

（4） “短小断大”——在特定频率条件下，分析电路中的电阻阻抗与电容阻抗的相对大小，阻抗较小的近似做短路处理，阻抗较大的近似做开路处理.

（5） “保持回路”——近似处理后的整个二端网络要保证构成回路.即将原电路中的电阻或电容近似处理后，整个电路不能被短路或开路.

（6） “阻抗最小”——近似处理后的电路在保证构成回路的前提下，选择阻抗最小的支路构成回路.

（7） “优先电容”——对于单重迭代分形分抗逼近电路，如果选择处理电路中的电阻或电容都可满足条件1）和2），此时应当优先选择对电容做近似开路或短路处理.

（8） “以直代曲”——在初始阻抗y0（w）=0或y0（w）=∞条件下，对于逼近带的幅频特性可由极限频段与逼近带幅频特征函数的近似渐进波特线得到.

（9） “注意量级”——在初始阻抗y0（w）=γ条件下，特征频率指数与运算阶都会随γ的不同而存在不同的近似值.因此对于分形分抗需要注意初始阻抗值γ与剩余电阻值和的相对数量级.

根据以上分形分抗逼近电路简略分析法的法则，可有效且可靠的从电路的角度，实现对分形分抗逼近电路关于分数阶运算性能与特征指标参量方面的分析.

5 结 论

通过分析大量分形分抗逼近电路的电路结构，提出一种从电路角度对分形分抗逼近电路的运算特征与性能进行定性研究的新方法——简略分析法.建立该方法的理论研究内容：对分形分抗逼近电路的运算频率进行范围划分，粗略确定有效频段；定义不同频段分界转折点处的特征频率；验证分形分抗逼近电路的本征K指标与标度分形分抗逼近电路的固有振荡周期W；探索不同初始阻抗条件下分形分抗逼近电路的进行近似求解过程，对电路运算有效性进行判断.在利用仿真验证该方法合理的基础上，运用该种方法实现对标度分形分抗逼近电路关于运算特征与性能方面的应用.利用典型数值求解方法进行合理性与可靠性的验证，结果表明简略分析法为分形分抗逼近电路运算特征与性能的定性研究提供一种行之有效的理论方法.

本文研究的简略分析法的建立与应用在理论上仍需完善.关于分析分抗逼近电路的运算特征与性能的研究还有以下需要深入研究的问题：

（1） 对于简略分析法除去本文中的理论基础与应用，该方法在分形分抗逼近电路的领域中还存在哪些研究方向与应用场景.

（2） 简略分析法可从电路角度验证Oldham分形链逼近电路的本征K指标，能否从其归一化迭代方程出发，从数学解析的角度进行本征K指标的探讨与验证.

（3） 对于运算有效性的判定是否可以从解析求解非正则标度方程进行研究.如果能够获得非正则标度方程解的解析表达式，或许可以从数学解析的角度探讨电路的运算有效性.

（4） 对于标度分形分抗数值仿真的幅频特性曲线结果在转折点处存在误差，该误差的来源除了近似求解是否存在其他的原因，又如何从理论上实现对误差的修正.

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