多元智能视角下《椭圆》教学的探索*

俞 昕|浙江省杭州高级中学钱江校区

霍华德·加德纳认为人的智能是一个复杂的综合体，涵盖语言、空间视觉、运动、音乐、数理逻辑、人际关系、自我认知、自然观察者（博物学家）、存在等智能.他还认为：每个人都有各自的智能强项和弱项，即优势智能与弱势智能；通过教育培养可以提高人的智能，即多元智能发展水平的高低关键在于后天的开发；应有意识地捕捉不同智能发展的最佳时机；不同智能之间存在“瓶颈效应”“补偿效应”和“催化效应”［1］.

有些学生的优势智能中有数理逻辑智能，教师可以借助其他智能让学生的数理逻辑智能发挥得淋漓尽致；有些学生的优势智能中没有数理逻辑智能，但这并不代表他们的智能结构中没有数理逻辑智能，只是数理逻辑智能没有位于智能结构的顶层，或者说隐藏着没有被真正开发.

数学是一门基础学科，其中蕴含的思想方法与核心素养涉及各个领域，拥有不同智能特征与优势智能的学生都需要数学思想与理性精神的浸润，都有通过不同方式发展数学核心素养的需求与权利.因此，要使多元智能理论真正服务于学生的数学学习，教师就要在教学中充分利用学生的多元智能，助推其数理逻辑智能，培养学生的“四基四能三会六素养”，从而落实立德树人根本任务.在人教A版普通高中教科书《数学》选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》的教学中，笔者对多元智能视角下的的《椭圆》教学进行了探索.

一、多元智能视角下的《椭圆》教学问题分解

椭圆是学生高中阶段所学的第一种圆锥曲线.《椭圆》教学对其所在单元的教学有引领作用.《圆锥曲线的方程》的教学要求学生研究圆锥曲线（几何图形），研究过程中要以数形结合思想和坐标法统领全局.教材按椭圆、双曲线、抛物线的顺序安排了三节内容，三种圆锥曲线的研究思路、过程和方法是“同构”的，对每一种圆锥曲线的研究都是按照“曲线的几何特性—曲线的标准方程—通过方程研究曲线的性质—应用”的过程展开的.在具体展开过程中，教材把椭圆作为重点，强调它的典型示范作用，注重数学思想和基本方法的引领性，而双曲线、抛物线的研究过程通过类比椭圆来完成.

《椭圆》教学中涉及数形结合等重要数学思想，从学习过程与结果来看这也是教学难点，而突破难点的一个途径是挖掘学生的多元智能.不是每一个学生都具有较强的数理逻辑智能，因此要使具有不同智能优势的学生都能沉浸于对椭圆的学习，达成单元课时教学目标，教师就需要充分挖掘蕴含在《椭圆》一节中的多元智能元素，将其渗透在单元课时教学目标当中，激发学生的优势智能，进而用优势智能助推数理逻辑智能，产生“催化效应”和“补偿效应”.

在具体操作中，教师可以先将大问题分解为几个结构化的、具有逻辑序列的基本问题，再将基本问题分解为一连串有意义的、相互联系的具体问题（详见表1）.在教学开始之前，教师可以引导学生利用“五何”问题分类法提出感兴趣和疑惑的问题：“是何”类问题，如椭圆的定义是什么；“为何”类问题，如为什么要研究椭圆；“如何”类问题，如选择怎样的方法研究椭圆；“由何”类问题，如我们可以由哪些方面来研究椭圆；“若何”类问题，如学习了椭圆后对我们有什么启发和帮助.

表1 《椭圆》教学中的大问题、基本问题和具体问题

二、多元智能视角下的《椭圆》教学设计

基于对《椭圆》一节大问题、基本问题、具体问题的分解，笔者探求解决以上问题的多元路径，力求让学生的多元智能在学习中发挥重要作用，增强其对椭圆探究的兴趣.具体探究过程如下.

（一）以语言智能助推数理逻辑智能

笔者先要求学生在正式开课前就收集好椭圆的相关资料，并整理归类.上课伊始，笔者让学生展示（结合PPT）自学成果.学生基于椭圆研究的历史一致达成“数学具有超前性”的认识：椭圆最初被研究仅仅是因为数学家们的爱好，和实际应用并没有什么联系，而在将近两千年之后，人们才发现椭圆与自然界的物体运动、天文学及军事科技等有着密切的联系.此外，对于椭圆不同定义以及研究方法的变化，不同科学家存在侧重与偏爱.部分学生将收集的资料表述如下.

生1：我对教材的章头图进行追本溯源，查询到古希腊数学家梅内克缪斯用垂直于圆锥锥面的一条母线的平面截圆锥，当圆锥顶角为锐角、直角、钝角时，分别得到我们熟知的椭圆、抛物线、双曲线.

生2：鼎鼎大名的欧几里得也对圆锥曲线有过深入研究.他在《圆锥曲线》一书中对圆锥曲线知识进行汇总，可惜该书已失传.他在《面轨迹》一书中不加证明地给出了圆锥曲线的定义：“到定点与到定直线的距离之比等于给定比的点的轨迹是圆锥曲线：当给定比小于1时，轨迹是椭圆；当给定比等于1时，轨迹是抛物线；当给定比大于1时，轨迹是双曲线.”

生3：阿基米德是第一个利用辅助圆来绘制椭圆的人，这是均匀压缩思想的起源.

生4：在学习圆方程的时候曾经接触过阿波罗尼奥斯圆，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出了487个命题，对椭圆进行系列阐述.

生5：“天空立法者”开普勒发现行星的运行轨道是椭圆，并最先提出椭圆焦点、离心率等概念.

生6：自从笛卡尔和费马创立了解析几何之后，人们就开始从代数的角度来研究椭圆问题.

生7：旦德林利用一个圆锥的内切球，证明了椭圆的截面定义与轨迹定义的等价性，此球被称为旦德林球.

师：教材中使用的椭圆定义方法是固定一根绳子两端画椭圆，这一方法是荷兰数学家舒腾给出的椭圆机械作图三种方法中的一种.（借助动画演示，详细地向学生介绍教材中椭圆的定义）

在收集资料的过程中，有一件事令学生非常郁闷，那就是关于椭圆研究的历史资料多数来源于西方，我国古代对于椭圆的研究颇少.我国古代关于椭圆的知识都是从国外传入的，传入的时期主要是在明末清初.第一个带来椭圆知识的是利玛窦——来自意大利的传教士.这激发了学生的爱国热情和历史责任感，并由此带来一种学习紧迫感，促使学生更加努力地学习数学，以便让将来有更多的数学新发现由中国来书写.同时，在当堂表述椭圆研究相关资料的过程中，学生实现了知识互通、智能互补.

（二）以空间视觉智能助推数理逻辑智能

在学生表述之后，笔者借助直观想象，先抽象出几何图形，让学生感受现实问题和图形间的转换，再将椭圆与矩形联系，让学生感受图形与图形之间的转换.

师：感谢同学们为我们带来了如此丰富的椭圆历史资料，下面让我们类比之前学习直线方程与圆方程的方法来探究椭圆方程，大家有哪些想法？

生1：刚才有同学提到均匀压缩思想，我的想法是类比正方形压缩为矩形的过程，椭圆可以看成是通过压缩圆得到的，那么椭圆方程应该可以通过伸缩变换圆方程得到.

师：你的想法非常棒！你具有非常丰富的空间想象能力，从空间视觉上确实可以实现由圆伸缩变换为椭圆的操作.我们可以先来看看教材第108页的例2.

在解决了这个问题之后，笔者带领学生继续回归到椭圆的定义，引导学生思考如何通过定义得到椭圆的方程，将几何的视觉直观进一步过渡到严格的代数推理论证.笔者提出以下问题，引导学生思考解决.

问题1：运用“建设限代化”五步坐标法推导椭圆方程，首先要建立坐标系，以便运算和化简.那么，如何建立坐标系呢？

问题2：在建立好的坐标系中，思考如何将椭圆定义的文字语言转化为数学符号语言.由此可以得到一个方程，即椭圆方程.

问题3：你得到的椭圆方程能否进一步化简？如何化简？

问题4：从数学简洁美和对称美的视角来看，你能将个人化简过的方程进一步简洁化和优美化吗？

问题5：大家可能得到了不同的椭圆方程，这些方程之间有何联系？

问题6：为什么教材中得到的椭圆方程被称为“标准方程”？这个“标准”体现在哪里？

这六个问题层层递进，有助于使拥有不同智能优势的学生都能进行该课时的核心问题解决，学生可以沿着问题串拾级而上.即使不具备数理逻辑优势智能的学生，在该问题串的引导下也基本能通过独立探究或合作交流得到椭圆的标准方程.

波格列诺夫认为，由于解析几何可以作为解决各类问题的一种普遍适应的方法，因此对于解析几何来说，确定无疑的内容显然并不重要，重要的反而是一种方法，这个方法的实质在于将几何图形与方程组进行对应，使得图形的性质得以表现出来［2］.

因此，在相关教学中，笔者努力渗透与“解析法”相关的各种数学思想方法，使它们在学生各类优势智能中形成关联与互动，以此体现数学思想方法之间的统一性，进而使它们在学生的头脑中串联成思维导图，并沉淀内化为牢固的知识.知识的外形可以忘记，而经过内化的知识，犹如盐之在水，可以了无痕迹地影响学生的一生.

（三）以人际关系智能助推数理逻辑智能

合作探究可以为独立思考锦上添花.在椭圆定义、标准方程的学习环节中，笔者引导学生构建数学学习共同体，并组织不同程度的合作探究活动.如在得到椭圆标准方程之后，笔者给学生学习共同体布置以下探究任务.

问题1：椭圆标准方程中蕴含着三个参数a，b，c，这三个参数的几何意义是什么？

问题2：三个参数间的关系a2=b2+c2与勾股定理有着惊人的巧合，你能否在椭圆图形中找到这样的等量关系？

问题3：焦点位置不同，椭圆的标准方程会发生怎样的变化？

问题4：如何从椭圆的标准方程中辨别出椭圆的焦点位置？

笔者充分调动学生的人际关系优势智能，让学生在数学学习共同体中充分争鸣、辨析、论证、共鸣，使其对所得结论既知其然又知其所以然，从而把握住相关概念的来龙去脉.

（四）以自我认知智能助推数理逻辑智能

《椭圆》是《圆锥曲线的方程》这一章的第一节，因此在教学时，教师有必要让学生对所学的阶段性知识进行内省.笔者设计各种变式帮助学生巩固椭圆定义的内涵和外延，调动学生的自我认知智能.

变式1：若平面内一动点M到两点F1（-3，0），F2（3，0）的距离之和为8，则点M 形成的轨迹是什么？

变式2：若点M 在运动过程中满足式子=12，则点M形成的轨迹是什么？

变式3：若点M 在运动过程中满足式子=8，则点M形成的轨迹是什么？

变式4：若点M 在运动过程中满足式子=10，则点M形成的轨迹是什么？

变式5：已 知Δ ABC 的 周 长 为10，点B( -4,0 )，点C( 4,0 )，则点A形成的轨迹是什么？

此外，调动自我认知智能的另一种途径是开展编题活动，编题是解题的延伸且境界更高，是自我认知的进阶阶段.在《椭圆》教学中，笔者“即兴小酌”式地渗透编题意识，让学生进行以下思考.

思考1：求椭圆标准方程需要几个条件？你能编制一个求解椭圆标准方程的问题吗？

思考2：如果已知某一个椭圆的标准方程，你能从此标准方程中获取哪些信息？你能就此编制一个问题吗？

（五）以运动智能助推数理逻辑智能

拥有运动优势智能的学生擅长采用动手的方式学习，喜欢直接接触那些能够体现或表达某一种观念的信息或素材.课堂中，教师可以根据学情设计如下数学实验［3］.

（1）折纸活动：如图1-1，在一张圆形纸片内部设置一个不同于圆心的一点，折叠纸片，使圆的周界上有一点落于设置点；如图1-2，折叠数次，形成一系列折痕，它们整体地勾画出一条曲线的轮廓.

图1 圆形纸片折叠

（2）观察、猜想：众多折痕围出一个椭圆.

（3）“几何画板”动态演示折纸过程及形成的椭圆.

（4）探究椭圆上的点到点C、点B的距离和等于圆的半径，引领学生发现椭圆的本质特征，进而由学生概括、教师补充，形成椭圆的定义.

（5）根据椭圆的定义，推导椭圆的标准方程.

（六）以自然观察者智能助推数理逻辑智能

笔者努力延伸课堂，引导学生在课后探寻自然界和实际生活中椭圆的范例与应用，挖掘其中的探究点，并与同学分享.这可以作为数学研究性学习或数学建模的良好素材，为拥有自然观察者优势智能的学生提供用武之地.以下是学生课后分组合作探究形成的部分成果.

成果1：电影放映灯泡的椭圆面反射镜，可以证明椭圆的光学性质：光线从椭圆内一定点出发，经过椭圆反射后都经过椭圆内另一定点，这两个定点称为椭圆的焦点.利用这个光学性质可以确定片门（电影胶片通过的地方）的位置，并使在片门处的光线最强.

成果2：为了给开展劳动教育创设情境，学校决定开垦出一块平行四边形形状的自留自种地，并为其建立围墙，现计划以A，B 两点作为该平行四边形一条对角线的两个顶点，提供总长为2000米的围墙，如果你是设计师，请指出这个平行四边形区域另外两个顶点C，D可选择的位置.

成果3：开放性任务，查阅关于太阳系的信息，阐述为什么椭圆在太阳系研究中很重要，解释为什么一个精确描述行星运动轨迹的方程很有用.

这样的研究问题没有一个可以预期的解题路径，需要学生具有较为复杂、综合、多元的非算法化思维，是激发学生多元智能的良好素材.

三、渗透多元智能进行教学的思考

（一）潜移默化，让人人都学习到属于自己的数学

将多元智能渗透于教学，需要教师长期坚持，潜移默化.在制订单元课时教学目标时，教师就要考虑实现教学目标的路径，因为道路虽有千万条，但适合才是第一条.教师可以针对大问题，设计基本问题和具体问题，在具体的教学过程中以问题串的形式激发学生潜藏的多元智能，为学生指明通向数学知识的多条路径，让学生都能够学习到属于自己的数学（即适合自己智能特征的数学，或在学习过程中能引起智能共鸣），而不是为学生提供一连串的概念、方法或定义等.

（二）遍地开花，让人人都收获到意想不到的数学

将多元智能渗透于教学，需要教师精心预设，多元生成.在进行单元课时教学设计时，教师需要大胆精心地作出预设，既要设计教学问题，又要给学生留足自由发挥的空间.教师要转变理念，由知识传授者转变为学习设计者和引导者，让拥有不同优势智能的学生都有展示自我、发挥优势智能的机会与空间，进而促使学生由碎片化知识的获取转变为整合性结构化知识体系的构建，促使学生由被动接受的浅层学习转变为主动迁移应用的深度学习.在此过程中，学生不仅能使自身的优势智能得到体现，而且可以经历与同伴间多种智能的碰撞.在碰撞中，学生会摩擦出灵感的火花，收获意想不到的数学，最终实现核心素养的发展.□◢