基于控制力矩陀螺的航天器功率最优姿态控制

李兵科,于延波,王蜀泉,谭永华,岳文龙

1. 北京航天动力研究所, 北京 100076 2. 中国科学院空间应用工程与技术中心, 北京 100094 3. 航天推进技术研究院, 西安 710100

0 引 言

在航天器姿态控制领域,控制力矩陀螺(control momentum gyroscope,CMG)是一种高效的执行机构[1-2].与反作用轮相比,CMG利用扭矩放大的陀螺效应能显著提高姿态控制输出力矩;但是,CMG组的控制规律非常复杂,存在构型奇异导致输出无效问题.变速控制力矩陀螺(variable speed control moment gyroscopes,VSCMG)可以采用反作用轮控制模式在构型奇异时产生有效输出,从而避免奇异状态[3-8].

许多文献[3-16]研究了CMG及VSCMG,其中大部分文献[3-10]的关注重点为航天器控制的精度、稳定性及其控制与能量的复合设计.文献[14]提出了一种基于交叉反馈控制方案的章动模式跟踪补偿方法,文献[15]提出了一种分析装有控制力矩陀螺的航天器机动性的方法.文献[16]介绍了在抛物线飞行产生的微重力环境下使用控制力矩陀螺仪进行视线(LOS)姿态控制的结果.文献[17]研究了单框架控制力矩陀螺群的奇异问题.关于姿态控制系统功率优化的研究较少[11-17].

航天器姿态控制消耗的功率占总消耗功率很大比重,因此,如何以更有效的控制方式来降低航天器姿态控制中的功率消耗是非常值得研究的.文献[11]研究了利用反应轮装置控制航天器的局部最优姿态控制,利用冗余反应轮的零子空间,开发了一种局部最优的姿态控制算法.仿真结果表明,新的控制方法相比于传统控制方法可以降低约10%的功率消耗[11].

本文研究基于CMG的航天器姿态控制的功率优化问题.对一个包含4个控制力矩陀螺(4-CMG)的组合,存在一维的零运动.通过恰当定义关于功率的代价函数,利用此零运动空间,根据最优化算法,原理上可以获得功率最优解.为验证航天器姿态控制功率优化算法的有效性,设置了测试模型参数,进行数值仿真,对基础控制律与功率优化控制律户进行了对比分析.

1 基于CMG的航天器姿态控制动力学方程

一个CMG由一个固定的旋转轮和一个框架组成.对于由多个控制力矩陀螺(N-CMG)组合控制的航天器,系统可以分为3个部分:航天器本体、框架和CMG的转子.推导此系统的姿态动力学方程,最常用的方法是分别对这3部分建模,然后综合各种因素,获得最终的动力学方程.

从基本欧拉角动量方程出发

(1)

式中,H是系统的总的角动量,L是系统的外部力矩.

在此,假定没有外部力矩作用于系统.因而有

L=0

(2)

(3)

为了单独研究系统中各部分,将总角动量分为3个部分角动量之和

H=Hs+Hg+Hω

(4)

式中,Hs是航天器自身的角动量,Hg是框架的角动量,Hω是转子的总角动量.

(5)

式中,[I]是整个系统的转动惯量,ω是航天器的角速度.注意,由于陀螺框架的运动,[I]在航天器固定坐标系内不是恒定的.本文下标“s”、“t”、“g”分别代表航天器本体、转子、框架.[Gs]、[Gt]、[Gg]是3个3×N矩阵

(6)

图1 第i个框架的三轴示意图Fig.1 Triaxial diagram of of the i-th frame

τs、τt、τg为如下力矩组:

(7)

(8)

(9)

各个CMG的旋转电机控制力矩usi和框架电机控制力矩ugi如以下方程:

(10)

(11)

2 CMG基础控制律

本节给出基于速度的CMG控制法,将其作为进一步开展功率优化前的基础控制律.以姿态跟踪问题为例,采用修正罗德里格斯参数法(modified rodrigues parameters,MRP)描述航天器本体坐标系相对于惯性参考坐标系的姿态(σB).用σBR表示姿态跟踪误差,为航天器相对参考姿态σR的姿态偏差

(12)

角速度跟踪误差

δω=ω-[BN]ωr

(13)

这里,[BN]表示从惯性坐标系到航天器本体坐标系的转换矩阵.所有的向量运算,在同一坐标系中进行.在此,使用航天器本体坐标系.因参考角速度ωr通常表示在惯性坐标系,所以通过转换矩阵[BN]将ωr投影到航天器本体坐标系.

采用非线性控制法进行姿态控制律设计,定义Lyapunov函数

(14)

对式(14)求导,得到

(15)

设Lyapunov函数变化率为

(16)

将式(15)代入式(16),可得Lyapunov稳定的条件为

(17)

将航天器的姿态动力学方程组(EOM)式(5)代入Lyapunov稳定条件式(17),就能得到满足稳定性要求的控制律.

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

应用以上定义,并将式(5)代入稳定性条件式(17),得到简洁的稳定性约束条件

(24)

[D]=[D1]-[D2]+[D3]+[D4]

(25)

Lr是保证渐近稳定的力矩矢量

(26)

(27)

注意到,Jsi>Jti、Jgi,Ωi>>ωsi,由式(25)即有

[D]=[D1]-[D2]+[D3]+[D4]≈[D1]

(28)

则保证系统渐近稳定的力矩矢量进一步近似为

(29)

式中,[D1]是一个3×N矩阵,当N>3时,除非CMG组达到奇异状态,否则方程(29)有无穷多解.从最小范数解开始,得到满足稳定性条件的控制律特解如下:

(30)

(31)

式中,α是当矩阵[D1]接近奇点时引入的一个小扰动量(当矩阵[D1]接近奇异时,令α为一个大于0的小值(例如取0.01),从而避免奇异性导致的求解问题.当矩阵[D1]远离奇异时,再将α设置为0),[I3×3]是一个3×3单位矩阵.

方程(31)是CMG基础控制律表达式,这是本文将要设计的CMG功率最优控制律的基础.

3 CMG功率优化控制律及求解

由于式(29)在稳定性约束条件下有无穷多解,则存在自由度来改进控制.本文设计了对于4-CMG姿态控制问题的功率优化算法.

首先,需要确定功率函数的表达式.在本文中,“功率最优”是指姿态控制的功率(能量)最小化.功率函数定义为

(32)

式(32)表明,转子与支架的加速和减速都会消耗能量.据此,定义代价函数Z为

(33)

功率优化算法的思想是利用式(29)的自由度,寻找一个最优解析解,使得代价函数Z最小.

本文考虑4-CMG进行姿态控制,矩阵[D1]是一个3×4矩阵.因此,它具有一个自由度的零子空间,这个零子空间为1×4维度.在零子空间中的向量可以表示为βd,这里:β是一个标量,d是系数矩阵[D1]的零子空间的基本向量.d表达式为

d=SD1ν={[E4]-[D1]T([D1][D1]T)-1[D1]}ν

(34)

在式(34)定义下,有[D1]d=0,即操纵律中的d不输出三轴力矩,一般称为零运动.

则能够使得系统稳定的控制律通解可表示为

(35)

由式(32)～(33),功率优化问题转化为寻找最优的β,使得(32)定义的代价函数J最小[19-20].

将N个CMG的轴向与框架电机输出力矩写为矢量形式

(36)

ug=[…,ugi,…]T

(37)

(38)

本文功率优化问题的数学模型[15]为

最小化Z

符合条件β≥0.

对Z关于β求导数,得到

(39)

(40)

β*是代价函数Z的一个极值点.

对Z关于β求二阶偏导数,得到

(41)

这就证明了β*是最小化代价函数Z的最佳点[15].

(42)

4 数值仿真与结果分析

为验证使用4-CMG的航天器姿态控制功率优化算法的有效性,采用基本参数如表1所示的测试模型进行数值仿真,数值积分方法采用龙格库塔(runge-kutta)法.

表1 仿真参数设置[18]Tab.1 Simulation parameters setup[18]

图2～4为这两种控制算法在姿态跟踪控制问题中的仿真结果.

图2所示为只应用基础4-CMG控制的仿真结果.图3所示为应用4-CMG功率最优控制时的仿真结果.

比较图2与图3这两组结果,可见功率最优控制并没有改变航天器的动力学特性,但转子电机的扭矩和支架电机力矩稍有变化,如图2(d)、图2(e)和图3(d)、图3(e)所示.

图4所示为采用功率优化算法后对比原控制律算法的姿态跟踪控制过程的功率节省百分比的仿真结果,两种控制方法的功率之差在1.5%以内,表明功率优化控制算法在姿态跟踪控制方面没有大的改进.

图5～7所示为这两种控制算法在姿态稳定控制问题中的仿真效果.在这组仿真结果中,两种控制算法在姿态稳定控制中的最大功率消耗都大于在姿态跟踪控制中的最大功率消耗.由图7可知,功率优化控制算法比基础控制算法在姿态稳定问题上的节能高达9%(在系统运行时间42 s左右时),这表明功率优化姿态控制算法在航天器姿态稳定控制方面的效果更好.

图2 采用基于4-CMG的基本姿态跟踪控制Fig.2 Baseline attitude stabilization control using 4-CMGs

图3 采用基于4-CMG组功率优化的姿态跟踪控制Fig.3 Power optimized attitude stabilization control using 4-CMGs

图4 采用功率优化算法后姿态跟踪控制过程的功率节省百分比Fig.4 Percentage of power saved due to power optimization during attitude tracking

图5 采用基于4-CMG组的姿态稳定控制Fig.5 Baseline attitude stabilization control using 4-CMGs

图7应用功率优化的姿态稳定功率节省百分比Fig.7 Percentage of power saved due to power optimized attitude stabilization

5 结 论

本文基于传统CMG控制的速度定律,利用冗余CMG组零运动空间开发了功率优化姿态控制算法,以4-CMG为例获得最优解.对4-CMG,零运动空间只有一个自由度.使用恰当定义的功率代价函数,根据最优化算法,求解到最优解.对设置测试参数模型的仿真结果表明,这种功率最优算法在航天器稳定控制方面的功率优化效果优于姿态跟踪控制方面的功率优化效果.