变式连接体 “题”升核心素养

聂应才 付先贵

(1.江西省南丰县第一中学;2.江西省南丰县第二中学)

轻杆(绳)连接体运动习题需要综合运用解动力学问题的三个基本观点而备受命题人青睐,解题者要有较高的科学思维才能解答此类问题。

1 系统机械能守恒

能量守恒定律是十九世纪三大发现之一,是自然界普遍遵守的法则。力学中的连接体问题,表现为系统机械能守恒。

图1

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2 系统机械能守恒,动力学视角

【例2】(多选)如图2,滑块a、b的质量均为m,a套在固定直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上,a、b通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。则

图2

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A.a落地前,轻杆对b一直做正功

C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g

D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg

【变式1】(多选)如图3,竖直墙面和水平面均光滑,可视为质点的质量分别为m1、m2(m1、m2相差不是很大)的A、B两球用轻杆连接,开始时A球靠在竖直墙面上,B球放在水平面上,杆与竖直方向的夹角为θ=37°。由静止释放两球,当杆与竖直方向的夹角为53°时,B球仍做加速运动,此时小球B的速度为v。已知重力加速度大小为g,sin37°=0.6,A、B两球始终在同一竖直面内运动,在A球落地之前的运动过程中,下列判断正确的是

图3

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A.小球A不会一直沿着墙面向下运动

B.小球A沿墙面向下运动的加速度不可能大于g

【质疑】例2、变式1题目中两物体质量大小有什么要求?

物体质量大小本身没有要求,但是质量间不能相差太大,因为相差太大会造成失去题意。如滑块a(A球)比滑块b(B球)大得多,系统质心几乎与a(A)重心重合,a将做自由落体运动,A球不会离开墙面;反之,b(B)比a(A)大得多,系统质心几乎与b(B)重心重合,系统仍近似保持静止状态。

【创新】球B获得水平速度v从功能关系看,是球A重力做功的原因,但从动量角度看,是系统外的墙面对球A的冲量作用。

3 系统机械能守恒,动力学视角,分动量观

如果墙壁不存在,连接体物体运动规律如何?

【例3】(多选)如图4所示,质量分别为m、2m的小球A、B用一根长为l的轻杆通过铰链相连,竖直放置在光滑水平地面上。扰动轻杆使小球A向左倾倒,小球B在水平地面上向右运动。小球A落地后不反弹,重力加速度为g。下列说法正确的是

图4

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A.A球机械能一直增加

C.小球B对地面的压力大小不可能小于2mg

D.A球下落过程中,A、B两球的水平加速度大小之比始终为2∶1

【变式2】(多选)如图5所示,质量均为m的小球A、B用一根长为l的轻杆通过铰链相连,竖直放置在光滑水平地面上,质量也为m的小球C挨着小球B放置在地面上。扰动轻杆使小球A向左倾倒,小球B、C在同一竖直面内向右运动。当杆与地面有一定夹角时小球B和C分离。已知C球的最大速度为v,小球A落地后不反弹,重力加速度为g。下列说法正确的是

图5

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A.球B、C分离前,A、B两球组成的系统机械能逐渐减小

B.球B、C分离时,球B对地面的压力大小为2mg

【拓展】如果开始小球C离小球B有一定距离,则它们可以弹性碰撞多少次?

【变式3】(多选)如图6所示,用铰链将三个质量均为m的小球A、B、C与两根长为L的轻杆相连,B、C置于水平地面上。在轻杆竖直时,将A由静止释放,B、C在杆的作用下向两侧滑动,三小球始终在同一竖直平面内运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,则此过程中

图6

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A.球A的机械能一直减小

D.球B对地面的压力可小于mg

4 系统机械能守恒,动力学视角,动量观

物体放在水平面上,将几个物体用轻绳连接,当某物体有速度后,将如何牵连其他物体运动?

【例4】如图7所示,三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球B一个水平初速度v0,方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失,轻绳不可伸长。求:

图7

(1)当小球A、C第一次相碰时,小球B的速度;

(2)当三个小球再次处在同一直线上时,小球B的速度;

(3)运动过程中小球A的最大动能EkA和此时两根绳的夹角θ;

(4)当三个小球处在同一直线上时,绳中的拉力F的大小。

【思维导向】三球组成系统机械能守恒,动量守恒。设沿水平初速度v0方向为竖直方向,垂直初速度v0方向为水平方向,这两个方向动量皆守恒。

【拓展1】第(1)中去掉“第一次”限制条件,小球B的速度如何?

【拓展2】小球A的动能EkA最大时,小球B处于什么位置?

【拓展3】求三个小球相邻两次处在同一直线上的过程中两绳对小球B的冲量大小。

【质疑】小球有一定的体积,当A、C相碰时,三球不会在同一竖直直线上,B的速度就跟球半径有关,这应该偏离了命题者的意图。为了避免这种分歧,小球均可视为质点。

【变式4】如图8所示,三个质量均为m的弹性小球(小球均可视为质点)用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。现同时给两边的小球A、C一个水平初速度v0,方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失,轻绳不可伸长。求:

图8

(1)当小球A、C第一次相碰时,小球B的速度;

(2)当三个小球再次处在同一直线上时,小球B的速度;

(3)运动过程中小球B的最大动能EkB和此时两根绳的夹角θ;

(4)当三个小球处在同一直线上时,绳中的拉力F的大小。