重过程，促反思：“二元一次方程”的教学案例

江苏省如皋初级中学

陆智红

数学教学的过程教育是关注学生体会知识的发生过程，在探究学习的过程中积累活动经验，学会思考的方法，提升综合素质.因此,数学教学不仅要关注结果，更要兼顾过程.过程教育是激发学生学习兴趣的动力，通过过程学习才能形成全面的认识，真正让学习发生.在日常教学中普遍存在过程教育不够充分，匆匆忙忙展示结果的现象，导致学生的认识不全面，学生的知识迁移能力弱等问题.笔者在教学中也在不断思考和实践过程教育，经过不断的反思和实践，初步形成了一点自己的认识.本文以“二元一次方程”为例，与大家分享本课的教学设计，供大家讨论交流.

1 教学实录

环节1：发现和提出问题的过程——明确研究对象.

师：我们学习过一元一次方程的应用，同学们学会了在实际问题中应用一元一次方程解决问题，那么我们还能从实际的生活问题中抽象出其他的应用形式吗？大家思考并讨论下面的问题1.

问题1小明要到邮局寄信，一共需要3元8角的邮费，小明现在有一些面额是6角和8角的邮票，请问他用这两种邮票，一共需要多少张才能凑够邮资？

师：首先这个问题我们需要解决几个未知量？你能从中找到几个等量关系？

生1：需要解决面额是6角和面额是8角的邮票张数这两个未知量，其中有一个等量关系，面额为6角的邮票张数乘0.6与面额为8角的邮票张数乘0.8的和为3.8元.

师：很好，我们找到了等量关系，那么能否根据这个等量关系列出我们所熟悉的一元一次方程呢？

生2：有两个未知数，不能列出一元一次方程.

师：如果将面额为6角和面额为8角的邮票的张数分别设为x与y，那么可以列出一个什么样的方程呢？

生3：0.6x+0.8y=3.8.

师：正确.这说明我们从这个生活问题中构建了含有两个未知数的方程.事实上，这样的情景还有许多，如，根据课本的前言内容能列出方程2x+1.2y=10.8；还有方程2a=3b+20也在很多生活场景中可以使用.

师：看来一元一次方程不能应用的场景中，含有两个未知数的方程也有非常广泛的用途.那么就需要我们去研究这样的方程有什么特征？在什么样的场景下可以使用？该如何求解呢？这节课我们就要来研究这些问题(揭示问题).

环节2：认识二元一次方程的特征活动——形成二元一次方程的概念.

师：请问方程0.6x+0.8y=3.8有哪些特点？

生4：这个方程有两个特点.第一，有两个未知数；第二，含有未知数的项的次数都为1.

生5：这个方程左右两边都是整式.

师：很好！那么方程2x+1.2y=10.8是否具备这样的特点？还有方程2a=3b+20呢？

生6：它们都具备这几个特点.

师：好的，那么我们给这样的方程下一个定义——含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程叫做二元一次方程.就像0.6x+0.8y=3.8，2x+1.2y=10.8，2a=3b+20这些方程一样.

师：很好！那么一元一次方程和二元一次方程的解有什么区别呢？

生9：一元一次方程只有一个未知数，所以解也是一个数；二元一次方程含有两个未知数，所以解也是一对，而且不唯一.

师：观察得很仔细.方程的形式变了，方程的解以及个数自然也发生了变化.

环节3:探索解方程的过程——形成解二元一次方程的思想.

师：怎样解二元一次方程0.6x+0.8y=3.8？如果把x当成已知数，把该方程看作一元一次方程，可以求y这个未知数吗？

生10：可以.

师：那反过来，把y当成已知数，可以求解x这个未知数吗？

生10：当y是已知数时，这就变成了关于x的一元一次方程，所以可以求x的值.

师：很好.那么根据方程0.6x+0.8y=3.8，请尝试完成以下习题.

(1)用含有x的代数式表示y；

(2)当x分别为0，1，2，3，4，5，6时，请求出相应y的值；

(3)写出方程0.6x+0.8y=3.8的七个解.

学生思考答题.

师：哪位同学来回答第(1)问？

师：第(2)问哪位同学来接着回答？

师：好，第(3)问谁来？

师：好的，那么方程0.6x+0.8y=3.8一共有多少个解呢？

生14：有无数个解.

师：其中有几个解是符合问题1的条件？

师：这样，一开始的问题就解决了.一共需要面额为6角和8角的邮票分别为1张和4张，或者5张和1张.

在方程0.6x+0.8y=3.8中，能不能用含有y的代数式来表示x呢？应该如何求解？

生16：计算的方法和刚才是一样的.

师：那么我们回顾一下，解二元一次方程0.6x+0.8y=3.8一共有哪几个步骤？

生17：先将要求的未知数用含有另一未知数的代数式表示出来，接着由一个未知数的值求出另一个未知数相应的值，最后写出方程的解.

师：很好.那能不能归纳出一个普遍适用的解二元一次方程的步骤？

生18：一共三个步骤.第一步，表示出含有未知数的代数式；第二步，求出两个未知数相对应的值；第三步，写出方程的解.

师：总结得很好.其实解方程时采用了化归思想，也就是将二元一次方程化为一元一次方程，用三个字概括求解过程也就是解、代、写.

环节4:参与反思提升的活动——总结研究内容和方法.

(1)教师通过思维导图(如图1)的方式将本课的研究方法进行了图示和总结.

图1

(2)引导学生总结交流，认识到研究的方法和二元一次方程在实际生活中的运用，建构数学模型，积累利用方程解决问题的经验.

2 教学说明

本课中不仅带领学生认识了二元一次方程的概念，还引导学生探究了解二元一次方程的方法，在学习过程中渗透了数学的化归思想，使学生能将方程的知识应用到实际问题中，建构模型，解决具体问题.通过教师的引导和总结，学生总结出解二元一次方程的基本步骤，并反思内化，提升了认识.整个学习过程充分体现了学生的主体地位，学生在自主探究中积累了活动经验，提升了探究的能力.通过教学，实现了利用数学知识解决现实世界中的数量关系的教学目标，落实了学科的核心素养.本课将重点放在列方程和解方程的过程中，以学生的知识经验为基础，鼓励引导学生自主解决，提升了学生的学习力.

以上教学充分体现了关注过程教育的重要性，让学生充分体验知识的产生过程.同时，突出重点，突破难点，让学生感悟到二元一次方程在现实世界中的运用，体会到二元一次方程解的不唯一性，由具体到抽象，实现了认识的升华，体现了过程教育的价值.