数学试验在概率教学中的重要作用研究——以《有限样本空间与随机事件》教学为例

康博宇 陈艳华

(1海拉尔区伊敏小学，内蒙古 呼伦贝尔 021000;2牡丹江市教育教学研究院，黑龙江 牡丹江 157000)

概率论是研究随机现象规律的一门学科，它的主要育人功能是培养学生分析随机现象的能力，提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理以及数学运算等素养。在人教A版教材高中数学必修第二册第十章第一节随机事件与概率这一章教材中，编者共计编写十多个数学小试验，用这些小试验增加数学课堂的趣味性与实用性，培养学生动手实践能力，利用试验结果分析抽象数学概念，培养学生的数据分析和数学抽象能力。在课堂教学中这些数学小试验往往不被重视，教师轻描淡写的讲述或者学生阅读学习一带而过，教材精心编写的这些小试验失去了原有的价值。在多数孩子眼中的数学是抽象的，教师枯燥讲授更加使数学教学失去该有的活力。数学试验是增加学生学习兴趣，探索数学知识的基石，数学试验在概率教学中极其重要的。

一、数学试验能够增加学生学习兴趣，提高学生动手能力，提升学生合作意识，为终身发展奠定基础

多数学生认为数学学习是枯燥的，觉得数学学科没有物理、化学、生物学科那么多实验，没有语文学科的诗情画意，没有历史学科事件和人物故事等等，新教材概率统计编写很多数学小试验恰好弥补这个不足，用贴近学生生活，简单易操作的小试验提高学生的兴趣，增加课堂教学参与度，使抽象的概念变得生动活泼、引人探究，培养数学抽象核心素养，提升学生合作意识和动手能力。例如：《10.1.1有限样本空间与随机事件》第一个概念“随机试验”。教材这样说：研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果。然后举出五个例子，如果教师研究教材时不注意就会忽略这五个小例子的价值，我们在设计时，是选择了三个小例子设计成学生自己动手的小试验，引起学生兴趣后，再抽象出随机试验的概念。

(一)试验准备

试验1：准备硬币1枚；试验2：随意指出班级的10名学生，让学生观察近视的人数；试验3：带去若干个已经泡了两天的黄豆。

(二)课上操作

分别请三位学生到前面做这三个小试验，其他同学注意观察，这时候，全体学生的注意力已经非常集中，到前面的三位学生也非常兴奋。

试验1：学生1将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况，请大家猜想结果，学生1先不公布答案，提问几个同学猜想答案，其他学生会非常兴奋关心他们是否猜对了，此时，学生1再说出答案，然后教师提出问题：这个试验有哪些特点呢？

试验2：学生2在班级随机选出10名学生，观察近视的人数，先让其他两位同学猜想结果，然后学生2再给出结果。教师再问：这个试验有哪些特点呢？

试验3：学生3在教师带来泡发的黄豆中随意拿出10颗，观察发芽的豆子颗数，先让其他两位同学猜想结果，然后学生3再给出结果，可以根据时间再重复几次这个动作，不用教师再问：这个试验有哪些特点，学生就会思考同样的问题，这就是惯性思维，习惯了这样提出问题后，学生今后就会养成提出问题的思维习惯，这是至关重要的，教学目标并不只是本节课的知识是什么，更长远的目标是培养学生提出问题、解决问题的思维能力。

(三)试验结果

这三个小实验非常简单易操作，可对于孩子们来说却异常兴奋，他们一边观察试验，一边努力思考教师提出的问题，然后努力组织语言抽象结果。此时让学生1、2、3组织其他同学研讨随机试验的特点并总结，在孩子们合作参与下，很快得出三个特点：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。这样得出的随机试验的概念和三个特点学生亲身经历并合作抽象出来的，所以很容易理解，并且此时学生大脑细胞兴奋度高，对接下来探究的问题产生期待。

二、数学试验能够调动学生的参与度，开发学生创新意识

课堂教学效率取决于学生的参与度，孩子创新意识的开发来自于他们对所研究事物的兴趣，正如爱因斯坦所说：“若无某种大胆放肆的猜想，一般是不可能有知识的进展的。”借助试验，促进学生根据试验结果进行大胆猜想，得出概念或应用概念，能开发学生思考问题的新思路，大胆猜想勇于探索，无论对错只要能提出问题、能有自己的见解即可。

(一)试验准备

试验4：准备一个纸箱，10个质地和大小完全相同的乒乓球，并分别标号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；

试验5：准备几枚质地相同的一元钱硬币；

试验6：准备一枚骰子。

(二)课上操作

试验4：请抽签学生4到前面，在装有10个小球的纸箱中，充分搅拌后摸出一个球，观察这个球的号码，先提问其他同学(可根据时间掌握提问人数)猜想这个小球的号码(此时学生很兴奋会非常积极猜想结果)，教师借机问：学生4摸出的小球号码可能有几种结果呢？你们能想办法表示所有可能的结果吗？学生4组织学生大胆猜想，互动补充，学生可能得出不同的结论，最终得出可以用集合表示所有可能出现的结果{0，1,2,3,4,5,6,7,8,9}，教师适时给出：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般用Ω表示样本空间，用ω表示样本点。通过试验4学生自己得出的样本点和样本空间的概念不仅能提高学生参与度，而且学生大胆猜想用集合语言表示样本空间，为今后用数学方法描述和研究随机现象奠定了思维基础，鼓励学生大胆猜想，勇于发现问题。

试验5：抽出学生5(可以随机抽取学生)到前面做试验，抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，在黑板上写出样本空间。教师请还有其他想法的学生再来做这个试验，此时这个试验就是让孩子们玩得高兴，对写出样本空间的结果形式没有影响，但是孩子们会争先恐后来做这个简单的试验，然后再黑板上写出不同形式的样本空间，教师观察，是否有学生大胆创新，用数字表达样本点结果，如果有要大力表扬，如果没有则启发学生放开想象的翅膀开发不同表达形式的样本空间，直至得到文字、字母、数字这三种形式的表达样本空间的方式，学生解决问题的思维得到扩展，这是创新意识的基石，思维扩展，展开想象和联想，才有创新的可能。

试验6：抽取学生6到前面做试验，抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，在黑板上写出试验的样本空间。因为骰子的点数本身就是数字，所以学生6会直接写出正确答案。这个试验的作用是进一步把随机现象与一个数字联系起来。

试验7：抽取学生7到前面做试验。抛掷两枚硬币，观察他们落地时朝上的面的情况，(为了区别两枚硬币，教师准备的是两枚不同的硬币。)在黑板上写出试验的样本空间。此时学生7写出的样本空间可能会出现很多问题，因为影响样本点的是由两个结果组成，此时正是学生大胆猜想，创新思维培养的好时机，教师一定沉住气，让有不同想法的学生再做试验，然后在黑板上写结果，并且鼓励学生互相质疑，合作探究大胆争论，猜想表达样本空间的方法，这个过程可能需要时间较多，要相信孩子们一定能够给出一个满意的结果！你给孩子们插上想象的翅膀，并给予足够的时间和空间，他们一定能给你惊喜！这个试验完成后，样本点的表达已经从一个数字i到一个数组(x,y)了，数学方法与概率进一步联系，教师此时可以给学生留下思考：如果抛掷三枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，你能写出试验的样本空间吗？这个问题，估计学生课下会很积极进行试验，第一时间完成这个任务，这就是数学试验的魅力！

三、数学试验能够提高课堂教学效率，增加课堂容量，减轻学生和教师的负担

前面七个试验做完后，在学生头脑中已经留下深刻的印象，不仅仅本节课后面的概念可以继续使用，而且10.1“随机事件与概率”甚至是第十章后续很多问题都可以继续使用这七个试验结果进行说明。例如：试验4样本空间学生已经完成，教师问：如果摸出的球号码为奇数，是随机事件吗？摸出的球号码是3的倍数，是随机事件吗？你能用集合的形式表示它们吗？这些集合与样本空间有什么关系？学生轻松口答这两个问题，教师顺势指出：就像这样，一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，例如前面例子第一个事件A={1,3,5,7,9}，第二个事件B={3,6,9}，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件，随机事件一般用大写字母A,B,C,...表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。此时学生已经把集合与样本空间建立联系，子集的出现会使学生产生联想，教师要给学生质疑的机会，并抓住学生思维闪光点，提升学生对问题产生联想，提出问题分析问题的能力得到进一步升华。学生会问出这样的问题：既然样本空间的自己成为随机事件，样本空间Ω由多少，个子集，分别具有什么意义？教师不要急于告诉学生，要继续给时间让学生自己去争论，然后再让学生结合前面的小试验进行分析讲解。得到Ω为必然事件，空集为不可能事件的概念。接着教师还可以鼓励学生再结合其他试验，让学生自己编写问题来说明理解随机事件、必然事件和不可能事件的概念。通过前面的试验，使概念的得出顺其自然而且学生容易理解掌握，大大提高了课堂教学效率，教师轻松教，学生轻松学，并且学生积极性一直可持续到课下，增加学生对数学学习的兴趣和期待感！

四、数学试验的设计使用应简单易操作，课堂教学应避免设计繁琐浪费时间的试验

数学试验目的是调动学生积极性，通过试验过程能够抽象出数学问题，试验结果为学生分析问题、理解问题、解决问题提供有力依据，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力和数学直观、数学抽象的核心素养，培养学生创新思维。课堂教学时间有限，如果数学试验占用大量时间，学生提出问题、分析问题、解决问题的时间就相应减少，数学试验不能发挥应有的作用，反而降低课堂教学效率就得不偿失了，所以数学试验的设计要尽可能简单易操作，孩子们喜欢参与，并且能够通过思考或者研讨给出解决问题的方案，鼓励学生在做中学，在学中做，相互质疑，只有亲身经历才能提出创新问题和创新方法，只靠老师讲授给予是不能产生创新思维的。

数学教学应注重学生数学思维的培养，借助一切教学手段比如多媒体教学，开发身边的教具，自制必要的教具，设计有趣的数学小试验，设计多样化的课堂教学模式，充分调动学生参与度，促动学生提出问题的意识，鼓励学生大胆猜想和质疑及合作探究的行为，培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生核心素养和创新思维，提高灵活应用能力，成长为创新型人才，这些目标达成关键在于教师要用心设计好每一节课，要不畏惧麻烦长期坚持做最好的教学设计，为了学生学真正的数学而教数学。