关于指对同构思想的一点思考

晏廷凤

（曲靖市教育科学研究所，云南 曲靖 655000）

1 对同构思想的思考

“同构式”指“结构相同的式子”[1]，是指除了变量不同，其余结构均相同的方程或不等式[2]。同构思想通过合理变形，得到两个相同结构的式子，在利用不等式处理函数的求值或不等式恒成立问题中，有一部分试题是命题者利用函数单调性构造出来的，再利用单调性解方程或者比较大小[3]，同构的思想方法常常应用到高考压轴题的导数综合性问题中。如果能找到不等式两边对应的同一函数，无疑会大大简化解题过程，如F（x）≥0能变形为f（g（x））≥f（h（x）），再利用f（x）的单调性，如果单调递增，则g（x）≥h（x），这种方法称为同构方法[4]。

2 针对题型及解决方案

主要针对指数和对数混合的导数问题，这类题型主要出现在解答题的压轴位置，如果函数结构中同时包含对数式和指数式，通过适当的指对变形、配凑，调整不等式结构，转化为积型、商型、和差型3 个同构基本型，同构为同一个函数，即得到两个相同结构的式子，利用同构函数的单调性，再把复杂的不等式转化为简单的不等式，问题将会迎刃而解[5]。

3 常见的指对变形

常见的指对变形如式（1）所示。

以上这些变形近几年十分流行，对解决指对混合不等式问题，例如，恒成立求参数取值范围，或证明不等式，都带来了极大的便利。当然，在具体使用中，往往要结合切线的放缩或换元法。可以说掌握了这些变形及常见切线型不等式，就大大降低了这类题的难度，能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程。

4 指对同构的3 种模型（积型、商型、和差型）

（1）积型模型如式（2）所示。

（2）商型模型如式（3）所示。

（3）和差型如式（4）所示。

5 同构方法在经典例题中的应用

5.1 利用同构思想求参数的取值范围

例1：（2020 全国新高考）已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna。

（1）当a=e 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。

（2）若f（x）≥1，求a 的取值范围。

解析：（1）当a=e 时，（fx）=ex-lnx+1，有f（′x）=ex-所以k=f′（1）=e-1。

因为f（1）=e+1，从而知道切点坐标为（1，e+1），所以函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e+1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x+2。

（2）由f（x）≥1 可得式（5）。

构造g（x）=x+ex，显然函数g（x）=x+ex在（0，+∞）上是单调递增的函数。

由elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx 有g（lna+x-1）≥g（lnx），又函数g（x）=x+ex在（0，+∞）上单调递增，所以lna+x-1≥lnx，故lna≥（lnx-x+1）max，令h（x）=lnx-x+1，则h′（x），所以当x∈（0，1）时，h（′x）＞0，函数h（x）=lnx-x+1 在（0，1）上是单调递增的，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）=lnx-x+1 在（1，+∞）上是单调递减的，所以h（x）max=h（1）=1，故a≥1。所以a 的取值范围为[1，+∞）。

例2：对任意x∈（0，+∞），不等式a（eax+1）≥2（x+）lnx 恒成立，求实数a 的取值范围。

（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间。

（2）设g（x）=eax-ax2+ax，当x＞0 时，2f（x）-g′（x）≤0，求a 的取值范围.

（2）设g′（x）=a（eax-2x+1），因为2f（x）-g′（x）≤0，则lnx-2ax-a（eax-2x+1）≤0，即2（x2+1）lnx≤ax（eax+1），即（x2+1）lnx2≤（eax+1）lneax；设h（x）=（x+1）lnx，则可得h（ea）x≥h（x2），因为，则设u（x）。

当0＜x＜1 时，u′（x）＜0，当x＞1 时，u′（x）＞0，所以函数u（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以u（x）≥u（1）=2，即h′（x）≥h′（1）=2，则函数h（x）=（x+1）lnx 在（0，+∞）上单调递增，则由h（eax）≥h（x2），得eax≥x2在（0，+∞）上恒成立，即ax≥2lnx 在（0,+∞）上恒成立。

例4：已知函数f（x）=aexlnx（a＞0），g（x）=x2+xlna。

（1）讨论函数f（x）的单调性。

（2）设函数h（x）=g（x）-f（x），若h（x）＞0 对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数a 的取值范围。

解析：（1）函数当f（x）=aexlnx 的定义域为（0，+∞）时，，令，则m（′x），当x∈（0，1）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；所以m（x）≥m（1）=1＞0，又因为a＞0，ex＞0，所以f′（x）=aex（lnx+）＞0，故（fx）在（0，+∞）上单调递增。

（2）由题意可知：aexlnx=ex+lnalnx＜x2+xlna=x（x+lna）。

5.2 利用同构思想判断单调性及求参数的值

例5：已知函数f（x）=xe-ax-lnx+ax-1（a∈R），其中e为自然对数的底数。

（1）当a=0 时，求函数f（x）的最值。

（2）若当x＞0 时，函数y=xe-ax的图像与y=1 的图像有交点，求a 的最大值。

（3）若f（x）的最小值为0，求a 的最大值。

解析：（1）当a=0 时，f（x）=x-lnx-1，f（′x）=，所以x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）min=f（1）=0。

（2）由题得方程xe-ax=1 有正实数解，两边取对数，得lnx-ax=0，所以，令，当x∈（e，∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，所以F（x）max=F（e）=，则F′（x）=，所以a 的最大值为。

（3）由题意得f（x）≥0，且能取等号，即xe-ax-lnx+ax-1≥0 且能取等号，令t=xe-ax（t＞0），两边取对数，得ln（xe-ax）=-ax+lnx=lnt，所以f（x）=xe-ax-lnx+ax-1=t-lnt-1≥0 恒成立，且等号成立，由（1）可知f（x）=g（t）=t-lnt-1≥g（1）=0，且t=1 时等号成立，即t=xe-ax=1 时，xe-ax-lnx+ax-1=0≥0，且等号成立，即xe-ax=1 有正实数解，两边取对数，得lnx-ax=0，所以，令，则F（′x）=，当x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，所以F（x）max=F（e）=，所以a 的最大值为。

5.3 利用同构思想处理导数问题中的零点问题

（1）若f（x）≥0，求a 的取值范围。

（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＜1。

（2）因为f（x）有两个零点x1，x2，则等价于t=x-lnx有2 个不同的解x1，x2，故，所以x1-lnx1=x2-lnx2，则，由对数平均不等式可得，故x1x2＜1。

6 结语

同构法构造函数是高中数学解题的一种常见方法，在解题实践过程中，若能通过观察、分析、整理等变形手段，看清题中函数结构的共性或等式（或不等式）两侧同构，则可轻松构造函数，巧妙利用函数单调性解题。指数和对数混合的导数题，许多情况下，需要凑出同构的形式来，因为指数和对数之间可以互相转换，尽量转换为常见的积型、商型、和差型3 种同构形式。利用同构思想方法构造函数的基本策略与流程是：“不等式同解变形，左右形式相当；一边一个变量，取左或取右，构造合适的函数”。新高考形势下试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出学生对关键能力的考查，要求学生理解准，速度快，思维强，才能拿高分。因此平常要培养学生善于总结方法，不断提高学生的创新能力、转化化归的能力，突出逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养。以上几个经典例题充分体现了“同构”思想在解决导数综合题中发挥着不可估量的作用。同构思想是解答数学题的一种常用方法与技巧，特别是在解决压轴选择题、填空题、压轴解答题时发挥着奇特功效。在教学中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，可以拓宽学生的思维，把抽象问题直观化，用直观函数的特征、性质，建立问题中的不等关系，以提高解题的能力和速度。