怎样用坐标法求曲线的轨迹方程

吕继君

我们知道，曲线与方程的关系为：曲线上任意一 点的坐标都满足曲线的方程，以方程的解为坐标的点 都在曲线上.用坐标法求曲线的轨迹方程，只需将数形 结合起来，将曲线问题转化为点的坐标的问题，求满 足曲线上任意一点坐标的方程.下面结合实例来进行 探讨.

一、用坐标法求曲线的普通方程

用坐标法求曲线的普通方程的一般步骤为：（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）设出动点的坐标，并建立等量关系；（3）将点的坐标代入等量关系式中，并将其化为最简方程；（4）检验所得的方程，并将不符合条件的点去除.解题的关键是找到满足动点的等量关系.

例1.

解：

由于無法判断出圆心 P 的轨迹，不能用待定系数法求方程，只能用坐标法，根据关于点 P 的等量关系PA =PD =r ，建立关于动点坐标（x，y）的方程，即可求得曲线的普通方程.

例2.

解：

由于曲线 C1 的方程是参数方程，所以可以尝试用 坐标法求曲线 C2 的轨迹方程.先设出P、M点的坐标； 然后根据点 P 和点 M 的关系：OP = 2  OM ，列出关于 动点P的坐标的方程，化简该方程即可解题.

二、用坐标法求曲线的极坐标方程

用坐标法求曲线的极坐标方程，可以先求出其轨 迹的普通方程，然后再将其转化为极坐标方程，但这 样做的计算量较大.我们还可以尝试，先建立极坐标系， 即以某一点为极点，其中一条直线为极轴；然后将各个 点用极坐标表示出来，并求得动点的极坐标或方程.

例3

解：

P 的极坐标为 （ρ，θ） ，其中涉及了长度和角度，通 常都要构造三角形，通过解三角形来求得问题的答案. 对于本题，需构造Rt△OAP，根据锐角三角函数求出P 点轨迹的极坐标方程.

可见，不论是用坐标法求曲线的普通方程，还是 用坐标法求曲线的极坐标方程，其思路与过程基本一 致，而解题的关键都是要找到关于动点的等量关系， 建立关于动点的坐标的关系式.

本文为甘肃省教育科学“十四五”规划重点课题 （课题立项号：GS[2022]GHBZ144）“新课程背景下通 过单元（主题）教学优化高中数学课程结构的有效策 略研究”阶段性成果.

（作者单位：甘肃省武威市天祝藏族自治县第二中学）