一组根式化简规律的猜想、证明与运用

汤晓丽

数式的运算在化简后能得到一些规律（或性质）。比如乘法公式，我们在发现并证明之后，可以进一步运用乘法公式来简化计算或求值。本文以二次根式的化简为例，带领同学们发现一些规律并证明其一般性，然后再将规律用于一些较难问题的快速求值。

【题组】观察下列等式，回答问题：

①[1+112+122]=1[+11][-11+1]=[112]，

②[1+122+132]=1[+12][-12+1]=[116]，

③[1+132+142]=1[+13][-13+1]=[1112]，

……

（1）根據上面三个等式的信息，猜想[1+142+152]= ；

（2）请按照上式反映的规律，试写出用n表示的等式；

（3）验证你的结果。

【解析】（1）根据上面三个等式的信息，猜想[1+142+152]=[1120]。

（2）[1+1n2+1（n+1）2]

=1[+1n][-1n+1]。

（3）证明：[1+1n2+1（n+1）2]

=[［n（n+1）］2+（n+1）2+n2［n（n+1）］2]

=[［n（n+1）+1］2［n（n+1）］2]

=[n（n+1）+1n（n+1）]

=[n（n+1）+（n+1）-nn（n+1）]

=1[+1n][-1n+1]。

【回顾】上面的验证过程中，有两个重要的结论值得积累。

【结论1】若n为正整数，求证：[1n（n+1）]=[1n][-1n+1]；

【结论2】若n为正整数，求证：1[+1n2+1（n+1）2]=（[n+1n][-1n+1]）2。

“结论1”比较简单，可直接通分计算等式右边，即可获得证明。“结论2”可以对右边展开计算，整理成左边的形式；也可以从左边变形出发，得到右边，即

1[+1n2][+1（n+1）2]

=（1+[1n]）2[-2n][+1（n+1）2]

=（[n+1n]）2[-2n][+1（n+1）2]

=（[n+1n][-1n+1]）2。

这样也就再次解释了上面“题组”的猜想：

[1+1n2+1（n+1）2]=[n+1n][-1n+1]

=1[+1n][-1n+1]。

接下来，运用上述结论解决一些有挑战性的问题。