解读隐含条件，避免化简出错

周澜

对于二次根式，我们要注意被开方式的取值范围，特别是在一些较复杂问题中。

例1 已知实数n满足[（2-n）2]+[n-5]=[n2]，求n的值。

【错误解法】将等式两边平方，得（2-n）2+n-5=n2，4-4n+n2+n-5=n2，化简得3n=-1，n=[-13]。

【纠错】如果将结果n=[-13]代回到等式中，会使得式子没有意义！问题出在何处呢？从第一步看，等式两边平方就出错了。等式左边不可能是（2-n）2+n-5，根据完全平方式展开，左边应该是（2-n）2+n-5+2[（2-n）2]·[n-5]，所以后面全部是错误的。

【思路分析】那就从n的取值范围出发，发现[n-5]隐含着n-5≥0，容易得出n≥5。

将等式化简为含绝对值符号的形式，[2-n]+[n-5]=|n|，结合n≥5，得n-2+[n-5]=n，进一步化简为[n-5]=2，即可解得n=9。

【变式】已知实数a满足[2019-a]+[a-2020]=a，求代数式a-20192的值。

【思路分析】观察等式，发现隐含着a-2020≥0，即a≥2020。于是等式左边的[2019-a]可以去掉绝对值符号，得a-2019

+[a-2020]=a，进一步化简为[a-2020]=2019，这样两边平方，得a-2020=20192，即a=20192+2020，代入代数式a-20192，可求出值为2020。

例2 化简求值：已知y=[8x-1]+[1-8x][+12]，求代数式[xy+yx+2]

[-xy+yx-2]的值。

学生1的解法：

由[8x-1≥0，1-8x≥0，]得x=[18]，

∴y=[12]。

[xy+yx+2][-xy+yx-2]

=[x2+y2+2xyxy][-x2+y2-2xyxy]

=[（x+y）2xy][-（x-y）2xy]

=[（18+12）218×12][-（18-12）218×12]

=[14]×[58][-14]×[38]

=[116]。

学生2的解法：

先求出x=[18]，y=[12]。

[xy+yx+2][-xy+yx-2]

=[（x+y）2xy][-（x-y）2xy]

=[（x+y）-（x-y）xy][xy]

=[2yxy][xy]

=[2x][xy]

=[218]·[18×12]

=16×[14]

=4。

【糾错】学生1的思路是先根号内通分，然后代入x、y的值，但在计算过程中处理分数的运算出错（最后两步出错）；学生2的主要思路是根号内通分，配成完全平方式后化为最简二次根式，但第二步就出错，因为将根号内（x-y）2开方时没有加绝对值，即[x-y]，而是跳步骤直接写成了x-y，从而出现“高位错误”，究其原因是忽略了x、y的值已被确定，x-y是一个负数。我们可以发现，学生1若不是计算出错，应该能获得正确结果（答案为1）；而学生2是对二次根式性质[a2]=[a]的理解不够透彻，忽略了对被开方式中底数a的正负情况讨论。

为了巩固这个易错点，给出如下一道习题，作为跟进训练。

甲、乙两人计算a+[1-4a+4a2]的值，当a=2时，得到不同的答案。

甲的解答是：a+[1-4a+4a2]=a+[（1-2a）2]=a+1-2a=-a+1=-1；

乙的解答是：a+[1-4a+4a2]=a+[（1-2a）2]=a+2a-1=3a-1=5。

请评价甲、乙两人的解答。

（作者单位：江苏省海安市城南实验中学）