基于SEA的常规导弹封锁机场跑道作战效能分析的系统建模和解析

李新其,李红霞,邱艳粉

(1.火箭军工程大学 初级指挥系,陕西 西安 710025;2.西北政法大学 军民融合发展研究院,陕西 西安 710025;3.中国人民解放军96723部队,广西 柳州 545000)

常规导弹武器系统效能分析的方法大致分为统计试验方法和解析方法两大类[1]。解析法具有公式透明性好、推导过程严密、理论体系完备等优点,便于快速分析武器系统的作战效能;系统效能分析(system effectiveness analysis,SEA)方法是目前效能分析理论中研究复杂动态环境下系统效能的最得力工具,具有较强的分析能力与广泛适用性[2-3]。

目前,以跑道失效率(disability pavement rate,DPR)为指标的封锁把握程度的建模研究都以成爆弹量(成功命中单个目标所需导弹数量)为基础和前提,但无法描述动态、不确定条件下突防战法、突防技术对于作战效果的影响[4-6]。因此,在推导出封锁把握程度的解析模型后,还必须根据导弹攻防体系对抗的特点,对封锁把握程度的分布密度进行统计推断分析[7]。因此,本文从作战效能分析理论的基本原理出发,结合常规导弹封锁机场跑道的作战特点,建立一种常规导弹封锁机场跑道作战效能分析的解析方法。在此基础上,根据SEA效能分析的要求,结合现有研究成果,建立了封锁时间性能量度的解析计算模型,并重点就封锁时间性能量度的分布函数进行统计推断。

1 基本框架

运用SEA方法分析常规导弹打击机场跑道作战效能的步骤如下：

①确定常规导弹封锁作战的系统、环境和使命。

这里,系统指常规导弹武器系统。环境指与系统发生作用而不属于系统的所有元素的集合。如图1所示,展示了导弹武器系统与作战环境。

图1 导弹武器系统及其环境Fig.1 Missile weapon system and its environment

可用以下两方面数据作为描述系统环境的环境原始参数：一是目标信息,包括跑道长Lx、宽Ly,最小起降窗口长Lx,min、宽Ly,min,单弹坑平均修复时间等;二是导弹飞行环境参数,包括各类反导防御武器系统的组成、部署、技术战术指标、战法等。令A表示所有环境原始参数组成的向量。

使命是系统运动过程的秩序,常规导弹武器系统封锁机场的使命就是使敌空军基地在一定时间内丧失保障飞机起降的主要功能。

②由作战使命抽象出性能量度空间{Oi}。

描述系统完成使命品质的“量”称为性能量度或属性,记为O。第i个性能量度则记为Oi,i=1,2,…,n。令描述封锁把握程度的性能量度及跑道封锁时间分别用O1和O2表示,则：

式中：φDPR为跑道失效率,tf为跑道失效时间。

③根据封锁作战特点,建立系统原始参数到性能量度的映射。

描述系统能力,影响性能量度的独立变量被称为系统原始参数,这里主要指武器方面的性能及数据,如武器精度、抛撒半径、装填子弹数、单枚子弹对跑道的毁伤能力(毁伤面积),发射弹量、发射成功率、飞行可靠性、突防概率等。令V表示所有系统原始参数组成的向量。如果性能量度空间O是n维的,那么

{Oi}v={fvi(V,A)}v,i=1,2,…,n

根据攻防对抗环境和封锁与反封锁对抗过程,需要分别建立O1和O2的映射,即研究突防及封锁与反封锁对抗条件下跑道失效率φDPR和跑道失效时间tf的建模问题。

④根据封锁作战的任务要求,建立使命原始参数到性能量度的映射。

用于描述使命特征的基本变量称为使命原始参数,这里使命原始参数就是作战要求的封锁时限和封锁把握程度。令G表示所有使命原始参数组成的向量。使命映射通过把使命原始参数的值域要求转化为性能量度O的值域要求而实现。显然使命映射fg(G,A)也应是n维,且有：

{Oi}g={fgi(G,A)}g

导弹部队封锁机场跑道的任务要求可以简单表示为至少封锁机场若干时间(tXX)的把握程度不低于某一概率(PYY),其使命轨迹在性能空间内的区域必须满足不等式：

⑤由fv和fg在{Oi}空间上产生系统轨迹Lv和使命轨迹Lg。

假设经过推导或统计分析得到O1和O2的分布密度函数,分别记为f1(O1)和f2(O2);O1和O2的联合分布密度函数记为f(O1,O2)。根据前文的分析,可以画出系统映射和使命映射在性能空间{Oi}上所生成的系统轨迹Lv和使命轨迹Lg。如果O1和O2的分布密度函数相互独立,当f1(O1)和f2(O2)都为正态分布,或都为均匀分布时,Lv和Lg的关系分别如图2、图3所示。

图2 正态分布下性能量度空间上示意图Fig.2 Performance measure space under normal distribution

图3 均匀分布下性能量度空间上示意图Fig.3 Performance measure space under uniform distribution

⑥根据两轨迹空间的重合程度求解封锁作战效能E。

(1)

式中：Lv∩Lg为系统轨迹Lv与使命轨迹Lg的交集。

根据式(1),可以计算出常规导弹封锁机场跑道的作战效能E。如果f1(O1)和f2(O2)相互独立,联合分布密度函数f(O1,O2)=f1f2,则常规导弹封锁机场跑道的作战效能为

E=∬Lv∩Lgf1(O1)f2(O2)dO1dO2

2 封锁把握程度的解析模型

2.1 成爆弹威力环“切割”跑道的解析模型

为解决子母弹封锁机场跑道毁伤效果指标计算的解析算法问题,本文提出采用威力环“切割”跑道思想8-9]。具体思想为：

①按最小起降窗口的长度要求,将跑道“切割”分成若干段;

②假设子弹在抛撒圆内均匀散布,其半径为Rth,子弹对跑道的平均毁伤半径为Rde,用Rλ表示威力环半径,则Rλ=Rth+Rde。

③当导弹抛撒子弹后形成的威力环使跑道不存在供飞机起降的最小起降窗口时,认为该段跑道被成功“切割”。

④综合各段跑道成功“切割”的概率,得到多枚弹打击下整条跑道的失效概率。

按以上思想可以得到单瞄准点、单枚成爆弹情况下,跑道被成功“切割”概率的解析表达式[10]。

命题一假设第j段待“切割”的跑道,其宽为Ly,b,其长为2Lx,d,最小起降窗口长Lx,min,宽Ly,min,导弹的瞄准点位于该段跑道中央。第j段跑道被一枚成爆弹成功“切割”的概率[5]的解析计算式为

证明

1)以跑道中心为原点,跑道方向为x轴方向,建立直角坐标系。

根据瞄准点选取方法,可知待切割的长为2Ld这段跑道,一般2Lx,d≤2Lx,min,令ΔL=Lx,min-Lx,d。

2)根据母弹落点、威力环与被“切割”跑道之间的几何关系,确定有利弹着区。

②母弹弹着点向左移动。显然横向(即左右方向)之间的移动,不能超过-Rλ-ΔLx。

④母弹弹着点向其他方位移动。

图4 母弹有利弹着区示意图Fig.4 Schematic diagram of the favorable impact area of projectile

3)计算单瞄准点、单枚成爆弹情况下,某段跑道被成功“切割”的概率。

根据火力运用理论可知,求某段跑道被成功“切割”的概率,就是计算母弹落入有利弹着区内的概率。为此,做如下假设：

①导弹瞄准点与落点中心重合,即不考虑系统误差;

②母弹弹着点散布为圆散布,即σx=σy=σ,弹着点纵向和横向的分布密度分别为

为便于计算,把图4中的有利弹着区划分为5个部分,如图5所示。

图5 有利弹着区划分示意图Fig.5 Carve out spheres of favorable target

弹着点于有利弹着区内的概率为

由于正态分布密度函数对于分布中心(与瞄准点重合)是点对称的,而区域SQFTGP对于瞄准点也是点对称的,且被积函数相等,所以：P{(x,y)∈D1}=P{(x,y)∈D2}=P{(x,y)∈D3}=P{(x,y)∈D4}。

对于D1有：

为保证计算积分的精度,将区域按x0,x1,…,xn等距离分割,则：

同样,可得到P2,P3,P4的积分表达式。经整理得：

对于D5,知其为一矩形区域,即：

简化为

故单瞄准点、单枚成爆弹情况下,某段跑道被成功“切割”的概率P0为

证毕。

2.2 跑道失效率的解析计算模型

在此基础上,可以推导出多枚成爆弹、多瞄准点情况下跑道失效概率的计算式。

推论设某跑道瞄准点有m个,与各个瞄准点相对应的各枚导弹发射、突防及解爆情况如表1。表中,解爆成功率为导弹命中机场跑道后,在爆炸前的一定时间内,被对方解除爆破的成功概率。

表1 瞄准点与各枚导弹的发射成功概率、突防概率及解爆成功率关系表Table 1 Aim point and probability of Successful launch,Penetration probability,probability of Successful disexplosion

则跑道失效率的计算式为

(2)

式中：P0,ε为第ε枚成爆弹成功“切割”某段跑道的概率。

2.3 封锁把握程度O1分布规律推断

突防情况对封锁把握程度计算结果的影响是显著的,需结合具体的作战环境,对O1的计算结果进行分析推断。

在设定具体攻防对抗条件的基础上,主要考虑运用古典概率论方法研究各突防事件出现的概率,根据各突防事件的成爆弹量情况计算相应的φDPR值,再综合得出φDPR值的概率分布情况,最后对数据进行回归分析,推断φDPR服从何种分布。

2.3.1 问题描述

在导弹攻防对抗环境描述中,多枚导弹成功突防的概率服从二项式分布：

式中：Nmax为反导系统可同时拦截的来袭导弹枚数的最大值;N0为Nmax枚导弹中突防成功的枚数;Pxy为反导武器对来袭导弹的拦截概率,1-Pxy为突防概率。

假设常规导弹部队为打击某机场跑道,瞄准点的选择和分配弹量分别为θ和αθ,其中θ=1,2,…,m。

表2 发射导弹编号与瞄准点对应关系表Table 2 Missile number and its aim point

2.3.2 确定基本事件

2.3.3φDPR的分布函数

令某枚导弹被拦截记为“0”,该枚导弹成功突防记为“1”,某次突防对抗的结果可表示成如表3所示。

表3 发射导弹编号与瞄准点对应关系表Table 3 The missile number and its aim point

P{φDPR=φDPR(AL)}=P(AL)

根据上式,得到φDPR的分布函数：

F1(φDPR)=P{φDPR≤φDPR(AL)}

2.3.4φDPR分布密度统计推断

大量的统计分析表明,对于导弹的发射成功率、飞行成功率等成败型事件,其参数大都服从于Beta分布[12],在推断φDPR的概率密度函数时,首先假设其近似服从Beta分布。

Beta分布的密度函数为

式中：0

2.3.5 关于模型计算精度的说明

用解析法建立起来的跑道失效率计算模型存在系统误差。按本模型计算出来的结果,要略低于实际值,故要分析其计算的精度。

命题二本模型的计算精度估算公式为

根据该精度估算公式,可以计算出母弹抛撒半径Rth=200 m,子弹毁伤半径Rde=200 m,δCEP=180 m,最小起降长度为800 m,实际选取瞄准点间隔为700 m时的φDPR计算精度,其值为0.951 9;即使当实际选取瞄准点间隔为750 m时,模型的计算精度仍有0.913 8,此计算精度可以满足作战需要。

3 封锁时间性能量度O2的映射

3.1 延时子母弹排爆时间的计算模型

3.1.1 排爆作业过程的描述

为构建延时子母弹排爆时间的计算模型,做出如下假设：

①攻方在对机场跑道进行打击时,可单独使用侵彻子母弹,也可组合使用延时子母弹,侵彻子母弹中的子弹成爆率为Px,未爆子弹和延时子母弹都视为排爆对象;

②所投放的所有子弹在跑道上分布均匀,且弹坑不重合;

③为保证跑道在最短时间内恢复一定的起降能力,排爆分队仅对某块能够满足飞机最小起降要求的矩形区域进行排爆作业;

④起爆时间按正态分布模型装定,即：在侵彻跑道35～65 min的时间范围,以均值为50 min,标准差为5 min进行装定;

⑤机场排爆分队有M1组人机系统,每组均可独立作业(或并行作业),每组系统可经受k次毁伤;

⑥延时子母弹的反排概率为Pr,每个排爆小组排除一枚延时子母弹的平均时间为t,并定义一轮排爆任务,是指各排爆小组同时开始排爆,每组都排完一枚未爆弹或延时子母弹所需的时间,可以认为每轮的时间均相同,都为t;

⑦当全部排爆小组都被炸毁,排爆作业视为瘫痪,停止排爆,弹坑抢修分队直接开始作业[13-14]。

3.1.2 排爆时间建模

根据前文中命中跑道子弹数的计算方法,可以得到某块最小起降窗口区域内实际含有的未爆侵彻子母弹和延时子母弹的总数,记为M2每个排爆小组一次只对一颗子弹进行排爆,则M1个排爆小组完成第一轮排弹任务时,共对M1枚子弹进行排爆操作,其中反排成功的弹为M1(1-Pr)个,则有M1Pr个排爆小组受到一次损伤。记每组受损伤概率为Pda,则Pda=Pr。由于每个排爆小组可承受k次损伤,定义每个小组的受损伤状态集为D={W0,W1,…,Wk}。对于任意一个排爆小组在排除n枚弹时,所处的状态是一个随机变量,记为Xn。由于对任意n≥1,该小组的状态值都只与前一轮状态值有关,故这是一个马尔科夫链[15]。

M1个排爆小组处于状态Wρ的有：

当所有的排爆小组都处于Wk状态时,有：

M1个小组参与第n轮时所排除的弹数为

完成第n轮排爆作业时所排除的弹数为

完成第n轮排爆作业所用时间为tc=nt。比较M2与M3,当M2=M3时,表示完成了最小起降区域的排爆工作。

3.2 弹坑修复时间的计算模型

3.2.1 弹坑抢修过程的描述

弹坑抢修过程指跑道抢修分队在抢修区域内填补弹坑、修复道面的过程。对机场封锁与反封锁对抗过程的4个阶段进行描述的基础上给出如下假设：

①为保证跑道在最短时间内恢复一定的起降能力,跑道抢修分队采取重点抢修策略,即弹坑抢修分队的作业区域为某块能够满足飞机最小起降要求的矩形区域;

②最小起降区域内需修复的弹坑总数应为已爆侵彻子弹(其成爆率为Px)与排爆失败后延时子弹弹坑数(其反排概率为Pr)之和,令Mx1、Mx2分别为落入跑道的侵彻、延时子母弹总数,则弹坑总数M4为

③跑道抢修分队的编组能力视子母弹战斗部的毁伤威力的不同而相应变化,对第ω型战斗部,可编成M5个组,由于不同型号战斗部对跑道的毁伤能力相差很大,机场抢修分队抢修时的工作量差别也很大,故进行这样的假设是必要的;

④各个修复分队可并行作业,且修复弹坑的能力相同;

⑤每个抢修分队修复弹坑的时间服从于(αω,βω)间的均匀分布。

3.2.2 弹坑修复时间建模

命题三已知随机变量X的概率密度函数为fX(x),分布密度为FX(x)。今取出容量为ψ的样本,分别记为{x1,x2,…,xψ},记Y为样本中的最大值,则Y=max{x1,x2,…,xψ},记Y的分布密度函数为FY(y),则样本的最大值的概率密度函数为

证明

FY(y)=Pu(Y≤y)=Pu(x1≤y,…,xψ≤y)=
Pu(x1≤y)…Pu(xψ≤y)=[FX(y)]ψ

故其概率密度函数为

当X服从均匀分布时,有：

经简化得：

(3)

证毕。

根据式(3),结合上述假设可以计算出重点抢修策略下的弹坑修复时间trp的概率密度函数。

①如果M4≤M5,则：

(4)

最后一轮修复时间的概率密度函数为

累计弹坑修复时间为

trp=M6trp1+trp2

(5)

由trp2

根据连续型随机变量分布密度求取方法[15],可推导其概率密度函数为

(6)

3.3 跑道失效时间的计算式

根据3.2.1中的分析,跑道失效时间应为判定跑道损毁情况、确定应急跑道抢修方案、排爆作业和弹坑修复四部分时间之和,记判定跑道损毁情况时间为tdm,确定应急跑道抢修方案为tpl,排爆作业时间为twk,则有：

tf=tdm+tpl+twk+trp

(7)

式中：tdm和tpl均为定值。

3.4 O2的分布特性

由式(3)、式(6)和式(7)可推导得概率密度函数：

4 结束语

在机场遭受攻击后,机场毁损情况判定系统完成判定所需时间tdm及机场确定应急跑道抢修方案需要时间tpl往往并不是固定的,这里,为简化问题,都取其均值。如果能给定tdm、tpl的概率密度函数,可以根据随机变量和的卷积公式,获得更为精确的跑道失效时间tf的概率密度函数。

如果直接根据式(5),利用随机变量和的卷积公式[15]来推导累计弹坑修复时间trp的概率密度函数,其结果非常复杂,因此,对最后一轮修复时间trp2进行了简化处理。考虑到实际对抗过程中某些不确定因素的存在对跑道修复时间的影响,这种简化是合理的。