基于二项分布近似运算的课程思政探究

宁明明

（苏州大学应用技术学院 通识教育学院）

一、引言

坚持中国特色社会主义教育发展道路，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人是教育的根本任务[1]。2020年印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》强调各高校要深化教育体制改革，把立德树人放在教育的中心环节，把思想政治教育贯穿整个人才培养过程中。指导纲要有关教育的重要论述指明了高校工作的重心，在课程建设中挖掘思政元素，结合专业背景，培养出高质量、有爱国情怀、有政治认同、有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义建设者和接班人。

要在高校落实立德树人任务，就要发挥好每一门课程的育人作用，概率统计作为高校的一门基础数学课程就要发挥好它培养人的作用。概率统计有其公理化体系，从假定条件出发通过定理、定义有着严密的推理计算过程，同时它又是面向数据的学科，它受制于数据的总量、统计手段和方法等诸多因素。传统的教学方法形式重理论轻实际，理论灌输式教学，让学生对这门抽象的课程理解更加模糊。数学课程中的理论思想很多都是来自于生活的，所以教师要结合专业背景挖掘思政元素，将思政教育融入课程，将思政元素渗入案例分析中。本文中主要以二项分布及其两个近似运算为例，理论运用到实际中去，让学生认识事物发展规律，引导学生勿以善小而不为，劝诫学生勿以恶小而为之，激发学生的家国情怀和使命担当。

二、教学现状及思政融入

（一）改变重理论轻实际现状

二项分布作为伯努利试验结果发生次数的分布，学生在实际生活中会遇到许

多类似的案例，但过去单一的教学手段、重视理论的讲解、只进行定理的证明推导这都使学生感触不到生活中的数学，也就违背了立德树人的教学理念。因此在这一部分内容进行教学设计时需要结合实际案例，融入思政元素到课程中去，例如讲到伯努利模型时可以解释其中体现出的量变与质变的规律，量变是引发质变的前提条件，质变是量变的最终结果。常言道“常走山林必遇虎、常走河边鞋必湿”；“不积跬步无以至千里，不积小流无以致江海”这些名言警句都是不无道理的。在日常生活中学生既要重视日积月累不要好高骛远，也要警醒自己勿以恶小而为之，不要存在侥幸心理小问题最终也会酿成大错。二项分布的教学过程中应融入这些思政元素，帮学生树立正确的三观。

（二）追根溯源解决问题

学生在学完概率统计这门课后总是无法深刻理解二项分布所带来的启发，追其根本原因是引发质变的前提——“量变”是需要大量的试验次数和数据来支撑，但二项分布公式计算对于试验次数较高的情况下要得到结果是很复杂的，所以学生也就无法理解这其中“量变与质变”的规律。因此，教师应该把二项分布的两种近似运算“泊松逼近”“正态逼近”在教学设计中结合在一起作为教学重点，这样在各类情况下都可以得到一个比较精确的近似值，也能让学生更容易结合实际案例理解课程思想。

三、教学过程实践探究

（一）思政案例引入

案例一：持之以恒、日积月累，积跬步行千里、积小流成江海，有一个正确的人生观、价值观待人以诚，哪怕再微小的恋爱概率都有很大的机会收获爱情，转角遇到爱的场景也会在现实发生。

案例二：常走山林必遇虎、常走河边鞋必湿，勿以恶小而为之。在宿舍使用大功率电器，无论做的保护措施多么好，都有很大可能引发火灾。

上述两个案例是与学生的生活有着紧密联系的容易使学生共鸣，所以需要在二项分布的教学设计中融入思政元素，引导学生重视积累，养好习惯，勿以善小而不为，懂得聚沙成塔海纳百川的道理；劝导学生注重细节，防微杜渐，勿以恶小而为之，明白千里之堤溃于蚁穴的道理。在课程设计中把二项分布及二项分布的两个近似计算放在一起去进行比较讲解，让学生能更容易理解量变引发质变的规律。

（二）内容讲解

1.二项分布介绍二项分布又称伯努利分布是由瑞士数学家、天文学家雅各布·伯努利提出的概念，这一离散型随机变量的分布在经济学、管理学、医学等都有着广泛的用途。雅各布·伯努利的一生的经历可以说是非常丰富，17岁获得“自由艺术”硕士学位，22岁获得神学硕士学位但他却醉心于数学与天文学。24岁之后的3年游历多个国家学习，丰富的阅历也为他之后的成就打下了牢固的基础。

雅各布·伯努利在数学上的成就有很多，例如“伯努利微分方程”“悬链线问题”“曲率半径公式”“伯努利双纽线”这些都与他有联系，当然伯努利在概率方面的成就对后人在概率领域有着及其重要的作用，伯努利一生最具代表的著作《猜度术》，这是概率论及组合数学的一本经典著作，其中就提出了大数定律的早期形式“伯努利定律”，表明在重复试验过程中随着次数的增加频率会逐渐趋向稳定——“概率”，这一结果也成为了概率统计的基石。

我们的学生同样也需要有这样拼搏努力的精神，穷极一生致力于一件事的研究终将有所成就。下面介绍伯努利提出的离散型分布定义。

二项分布定义[2]：将只有两种结果A和发生的随机事件E， 独立重复n次，并且P(A)=p, 0＜p＜1， 则 有=1-p，设X为n次试验中A发生的次数，X可能取值为0，1，…,n，则X是一个离散型随机变量，对任意k=0,1,…,n，有

上述分布称为二项分布，记为b(n,p)。若随机变量X满足上述条件，则

称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，并记作X～b(n,p)。当参数n很大时，二项分布公式计算十分复杂，所以我们选取它的两个近似运算，在合适的条件下不仅能简化计算，也可以得到较精确的结果。

2.二项分布的逼近-泊松分布

泊松分布是经典离散概率分布之一，1838年由法国数学家西莫恩·德尼·泊松提出的。泊松作为一个科学工作者，他的成就很少有人能与之相比较，在数学、物理学、固体力学、引力学方面都有很高的成就。泊松能在数学与物理方面有所成就与他自己的坚持和善于发现有着很大关系，正因为他的坚持才让他走到了数学的高峰。作为新时大学生也应该学习泊松坚持不懈的精神，愿意为自己的热爱奉献一生。

定理1[3]（泊松定理） 在n重伯努利试验中，用Pn（与试验总数n有关）

作为每次试验事件A发生的概率，且有为正数，则对任意k≥0有

定理1证明参考文献[3]37-38页。

在二项分布中当n很大时，计算十分复杂，依据泊松定理可做到近似计算，

若试验次数n很大，p较小，np较合适(p≤ 0.1,np≤5)，可用λ=np泊松分布近似计算。

3.二项分布的逼近-正态分布

正态分布的提出者亚伯拉罕·棣莫弗曾著概率史上三部里程碑著作之一的《机会的学说》，他对概率统计最大的贡献莫过于中心极限定理的提出了，中心极限定理本质上说明许多不属于正态分布的随机变量，在他们共同作用下形成的新的随机变量的极限分布是正态分布。

棣莫弗对科研的热爱，对真理的渴望值得所有学生学习，借此培养学生精益求精的工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当[1].

定理2[4]（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）设随机变量Xn～b(n,p)，0＜p＜1，则 对 任意x，有证 明： 设ξ1～b(1,p)， 令则Xn～b(n,p)，因 此 有E(Xn)=np，D(Xn)=np(1-p)，根据参 考文献[4]131页林德伯格-莱维中心极限定理可知定理成立。

上述定理可以用来近似计算二项分布，当np≥5和n(1-p)≥5都成立时，

对于二项分布可由式（2）近似计算概率：

对于固定的p和k，n→∞时，(1-p)n-k→0，因此对于概率,P(a＜Xn≤b)，P(a≤Xn≤b)，P(a≤Xn＜b)，P(a＜Xn＜b)均可以利用上述方法近似计算。

综上当p≤ 0.1,np≤5时用泊松分布近似计算二项分布较精确，当np≥5和n(1-p)≥5时，用正态分布近似计算二项分布较精确，下面利用两个实际案例给学生进行分析。

（）案例分析

案例一：持之以恒，量变会引发质变

例1 据科学数据显示，人一生会遇到2920万人，在青春岁月遇到近30万青年异性，按照大学生四年大约1/3的青春时光，在校园中遇到并有交流接触的占比8%，因此大学生每年在校园里大约会和2000名青年异性有交流。善良、真诚、积极阳光的人总会容易获得别人的好感，假设这类人与年龄相仿的单身异性相处时有0.001的概率会获得对方的表白，与每一个人相遇的过程都是相互独立的，问一年内一位善良、真诚、积极阳光的大学生至少会获得2次表白的概率是多少？

解析：对于这个案例，与每个人相遇都是相互独立的，获表白率为0.001，

即不被表白率为0.999，问至少有2次发生的概率。

思路一：学生首先会想到这是一个与二项分布有关的问题，设Y表示“获

得表白的次数”，则Y～b(2000,0.001)，利用二项分布式计算概率即可。

按照思路一做如下计算：

思路一虽然也可以求出最终近似结果，但是计算过程比较复杂，若所求为至

少10次、100次发生的概率，那过程会更加繁琐，继续做如下思考。

思路二：根据二项分布的泊松逼近，λ=np=2000 × 0.001= 2 ＜5，满足

定理1的要求，由式（1）计算概率得：

两次计算结果近似一致，但是思路二采用二项分布泊松计算过程可查泊松分布表，过程简便很多。

上述案例中一位善良而又积极向上的大学生被表白的概率是0.001，这已经是一个相当小的概率，但只要持之以恒最终每年获得两次以上被表白的概率达到60%，由此可见不要忽视任何一个小概率事件，量变终会引发质变。每天把自己打扮得精神、得体出门是有必要的，教育学生注重仪表、精神面貌，有个好的修养，那么转角遇见爱偶像剧场景现实生活也是会发生的。

案例二：常走河边鞋必湿，常走山林必遇虎

例2 大学生宿舍安全隐患一直都是学校重点关注的问题，对于学生私自使用大功率电器导致火灾的情况近些年也是时常出现，某高校宿舍有100名学生偷偷使用大功率电器，每名学生每次使用大功率电器都相互独立的，假设每次使用大功率发生短路、过负荷、设备问题等故障的概率是0.001，据消防救局统计电器短路，乱拉电线导致过负荷是引发火灾的最大凶手，学生宿舍发生电路故障后约有60%的可能会引发火灾，用Y表示一学期内（120天）大功率电器发生故障的次数。

（1）求一学期内使用大功率故障数超过5次的概率；

（2）求一学期内发生火灾的概率是多少？

解析：（1）在这个案例中对于电器故障次数Y可看作一个随机变量，

Y～b(12000,0.001)，由n= 1 2000,p=0.001直接利用二项分布做计算会比较复杂，又因为np=12＞5满足二项分布正态逼近条件，所以可以使用二项分布正态逼近式（3）做近似计算：

（2）用X记作“一学期内电器引发火灾”的次数，则X～b(12000,0.0006)，

由式（3）电器发生火灾的概率为：

案例二中一学期内发生大功率电器故障数超过5次的概率达到97%，发生火灾的概率达到99.6%，这几乎已经接近必然事件了，可见无论学生在宿舍使用大功率电器有多么小心，但是如果不去重视这件事情，最终都会酿成很严重的后果。因此，不要忽视小事情、小错误，河边常走，鞋哪能不湿，养成良好习惯及时改正，恶小不为，善小为之。

四、结束语

思政教育是国家培养人才必不可少的方式，重要性日益凸显，因此一位合格的高校老师不仅仅是一个单纯灌输知识的教书匠，还要是学生思想教育的引导着，在知识传授及能力提升培养中塑造正确的世界观、人生观、价值观。作为一名新时代数学老师更需要在枯燥的理论教学中挖掘可以融入的思政元素，围绕立德树人这一根本教育中心，培养出一批有丰富学识、有文化信念、有家国情怀、有使命担当的拼搏努力的社会主义接班人。

【相关链接】

苏州大学应用技术学院（Applied Technology College of Soochow University，其前身为苏州大学职业技术学院）成立于1997年，是苏州大学的二级学院。2002年1月由原公办二级学院改为公有民办二级学院。 2003年11月学院正式更名为苏州大学应用技术学院。

2005年5月按照教育部2003（8）号文件精神，由苏州大学申办，经国家教育部批准为新机制、新模式举办的本科二级学院——独立学院。