解答数学填空题的几个技巧

尚丽丽

填空题与选择题同属客观性试题，具有客观性试题的特点，即题目短小精悍、知识覆盖面广、考查目标集中、形式灵活，答案简短、明确、具体.但填空题还有其本身的特点，即没有备选答案可供选择，避免了选择项所起的暗示或干扰作用.填空题不要求给出解题过程，在解答过程中比解答题有着更大的自由度.因此，在解填空题时，同学们一定要选择最佳解题技巧，提高解题的速度和准确度.

一、直接求解

直接求解是指直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.它是解填空题最基本、最常用的方法.

例1〈

解析：〈

说明：直接求解时就要熟悉试题所要考查的知识点，快速找到相应的定理、性质公式等.此题主要是运用消元法把方程组的问题转化为一元二次方程问题，根据根的判别式求解.

二、巧取特殊值

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值，而已知条件中含有某些不确定的量时，可以从不定量中选取一些符合条件的、恰当的特殊值（或特殊函数，或特殊角、特殊模型等）进行处理，得出结论，从而大大简化推理、论证的过程.

例2有理数 a，b 满足：-1

解析：

说明：1.不是所有的填空题都适用特殊值法，要根据题目的特点决定能否采用特殊值法.2.采用特殊值法，设特殊的值或特殊的点时，一定要在题目给定的范围内.

三、数形结合

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形的方式优化解题过程.由于填空题不必写出论证过程，因而对于抽象、复杂的数量关系，我们可以借助图形进行直观分析，并辅之以简单计算得出结论.

例3已知函数 y =〈?（ì） x（x）-5（1）2（2）-1（1），（，）若使 y＝k成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为  .

解析：此题主要考查了利用二次函数的图象解答交点问题.解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题.首先在坐标系中画出已知函数 y =〈?（ì） x（x）-5（1）2（2）-1（1），（，）的图象：

根据图象知道当 y ＝3时，对应成立的 x 有恰好有三个，所以 k ＝3.

说明：此题主要考查了利用二次函数的图象解答交点问题.解题的关键是利用数形结合思想，把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题.

四、归纳猜想

归纳猜想是根据已有的数学理论和方法，通过观察题目中所给出的一些“数或图形”的特点，分析其规律，从而总结出一般结论.这种方法一般适用于规律探索题.

例4一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和．即23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；若73也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中最小的奇数是  .

解析：首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再得出每一组分裂中的第一个数是底数×（底数-1）+1，

由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1，

∴m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m（m -1）+1，

∴73“分裂”出的奇数中最小的奇数是7×6+1＝43，

故答案為43.

说明：当某个数学问题涉及到的是至无穷多的情形，很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行观察，从中找出一般规律，求得问题的解.

五、逆向思考

逆向思考是一种从已有思路的反方向考虑问题的思维方法，是一种发散性的思维方式.有些问题我们无法直接正面求解时，要克服思维定势，变换角度，可以由题目中给出的条件逆向思考、推理，得出结论.

例5甲、乙、丙三个箱子内共有小球384个，先由甲箱取出若干个球放入乙、丙箱内，所放个数分别为乙、丙箱内原有的个数，继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内，最后由丙箱取出若干个球放入甲、乙两箱内，放法同前，结果三箱内的小球个数恰好相等.问甲、乙、丙各箱内原有小球分别为  个.

解析：直接入手需要设元，列方程（组），但列方程（组）时却无从下手.那逆向思考，从最后三箱的小球相等入手，易知最后每箱各有小球384÷3＝128（个）；由后到前三次调动时各箱中的球数容易列出下表：

所以，由表知甲、乙、丙三箱原有小球分别为208个、112个、64个.

说明：当遇到的问题有多种情形或从正面入手解决比较繁杂时，可采用逆向思维.解答此题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果.